IV Optimisation Il s’agit de trouver la meilleure des solutions. Exercice 9 : Déterminez la plus grande aire possible d’un rectangle de 50 m de périmètre. 1ère étape : synthétiser le problème et choisir une variable x. a b Je choisis comme variable x la longueur a. x = a Périmètre P(x) = 50 = 2 ( x + b ) Aire A(x) = b x

3ème étape : résoudre. A’(x) = 25 – 2x xmini = 0 ( et b = 25 ) 2ème étape : exprimer la caractéristique recherchée en fonction de la variable. b est une 2ème inconnue, et dépend de x car si x augmente, b diminuera pour rendre le périmètre constant. P(x) = 50 = 2 ( x + b ) donc b = 25 – x A(x) = b x = ( 25 – x ) x = 25x – x² 3ème étape : résoudre. A’(x) = 25 – 2x xmini = 0 ( et b = 25 ) xmaxi = 25 ( et b = 0 ) Amaxi = A(12,5) = (25-12,5)12,5 = 156,25 m² x 0 12,5 25 A’(x) + 0 - A(x)

Exercice 10 Dans un carré de 2 m², on construit un carton sans couvercle. Déterminez le plus grand volume possible ( en valeurs exacte puis approchée ).

V(x) = base × hauteur = ( √2 – 2x )² x Je choisis comme variable x le côté des 4 petits carrés découpés. V(x) = base × hauteur = ( √2 – 2x )² x = ( 2 – 4x √2 + 4x² ) x = 4x3 – 4x² √2 + 2x V ‘(x) = 4(3x²) – 4(2x)√2 + 2(1) = 12x² - 8x √2 + 2 Δ = (8 √2)² - 4 (12) (2) = 128 – 96 = 32 = (4 √2)² Δ > 0 donc deux racines [ - (- 8 √2 ) + 4 √2 ] / (2(12)) = 12(√2)/24 = (√2)/2 et [ - (- 8 √2 ) – 4 √2 ] / (2(12)) = 4(√2)/24 = (√2)/6 √2 x

Vmax = V((√2)/6) = ( √2 – 2 (√2)/6 )² (√2)/6 xmini = 0 et le carton est tout plat donc V(0) = 0. xmaxi = ½ côté = ½ √2 et le carton est une droite verticale donc V(½ √2) = 0. Le polynôme est du signe de a = 12 > 0 à l’extérieur des racines, donc V ‘(x) > 0 sur [ 0 ; (√2)/6 [ donc V(x) y est strictement croissante. Vmax = V((√2)/6) = ( √2 – 2 (√2)/6 )² (√2)/6 = (2(√2)/3)² (√2)/6 = (4(2)/9) (√2)/6 = 16(√2)/27 ≈ 0,210 m3 x 0 (√2)/6 (√2)/2 V’(x) + 0 - 0 V(x)

Exercice 11 Dans un terrain triangulaire, on veut construire un bâtiment à la base rectangulaire la plus grande ( son orientation étant fixée ). Déterminez ses dimensions et son aire. 50 20 40

Je choisis comme variable x = AM MB = AB – AM = 20 – x (QM) // (BD) donc d’après Thalès AM/AB = AQ/AD = QM/BD donc x/20 = AQ/AD = QM/50 donc QM = 50(x/20) = 2,5x (NP) // (BD) donc d’après Thalès CN/CB = CP/CD = NP/BD donc CN/40 = CP/CD = 2,5x/50 donc CN = 40(2,5x/50) = 2x D 50 Q P A 20 M B N 40 C

Je choisis comme variable x = AM MB = 20 – x QM = 2,5x CN = 2x Aire A(x) = MN × MQ = ( MB + BN ) × MQ = ( 20 – x + 40 – 2x ) × 2,5x = ( 60 – 3x ) × 2,5x = 150x – 7,5x² D 50 Q P A 20 M B N 40 C

xmini = AA = 0 et le rectangle est tout plat donc A(0) = 0. xmaxi = AB = 20 et le rectangle est tout plat donc A(20) = 0. A(x) = 150x – 7,5x² A’(x) = 150(1) – 7,5(2x) = 150 – 15x A ‘(x) > 0 sur [ 0 ; 10 [ donc A(x) y est strictement croissante. Amax = A(10) = 150(10) – 7,5(10)² = 750 m² Dimensions 30 × 25 x 0 10 20 A’(x) + 0 - A(x)