Le théorème de Pythagore Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC

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est l’hypot„énuse du triangle ABC Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. A C B est l’hypot„énuse du triangle ABC

On a quatre triangles rectangles identiques Démonstration On a quatre triangles rectangles identiques a b c a b c a b c a b c

les quatre triangle rectangles On dispose les quatre triangle rectangles dans un carré a b c a b c a b c a b c

On obtient un nouveau carré XYZL X a b c a b c L Y a b c a b c Z

L ’aire du carré XYZL est : b c a b c c² L Y a b c a b c Z

On dispose ensuite les quatre triangles rectangles dans le même carré d ’une autre façon . b b a a

On obtient deux nouveaux carrés : ABCD b C G D a DEFG a F E

L ’aire de DEFG est : B A b b a² C G D a a F E

L ’aire de ABCD est : B A b b b² C G D a a F E

b² + c² a² L ’aire de XYZL est égale à la somme des aires de ABCD et de DEFG X c a b c a b c B A c² a² b² + b b b b L C G E a a Y a a a b c a b c F Z E

Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de : On peut donc écrire pour le triangle a b c c2 = a2 + b2 Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de : théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle , le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés . hypoténuse

Le théorème de Pythagore un autre énoncé Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC² = AB² + AC² A B C ! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC B A C 3 4 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2)

B A C 3 4 Démonstration: Puisque ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres) BC² = 4² + 3² (on remplace les lettres par les longueurs connues) BC² = 16 + 9 (on calcule) BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5) BC = 5 cm (5 > 4, est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté)

DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 12cm. Calculer EF E D F 5 12 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2)

E D F 5 12 Démonstration : Puisque DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres) EF² = 5² + 12²(on remplace les lettres par les longueurs connues) EF² = 25 + 144 (on calcule) EF² = 169 (on écrit la valeur exacte de EF) EF = 169 EF= 13 cm (13 > 12, est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté)

On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC² Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm. Calculer AC A B C 8 6 On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC² AC² = 8² + 6² AC² = 64 + 36 AC² = 100 AC = 100 AC = 10 cm

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH G I H 2 3 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2)

Puisque GHI est un triangle rectangle en I Démonstration : G I H 3 5 Puisque GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres) 5² = 3² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues) 25 = 9 + IH² IH² = 25 - 9 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 de 25) IH² = 16 IH = 16 IH = 4 cm

EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU S T U 5 13 Démonstration : puisque STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU² 13² = 5² + TU² 169 = 25 + TU² TU² = 169 - 25 TU² = 144 TU = 144 TU = 12 cm

fin