Taux de variation moyen (TVM) 2.1 Taux de variation moyen (TVM)

Rappel sur les droites m représente la pente de la droite

Taux de variation moyen 2.1.2 Une droite sécante est une droite coupant la courbe décrite par une fonction f (x) en un ou plusieurs points. Le taux de variation moyen (TVM) de la fonction f (x) sur l’intervalle [3, 10] est la pente de la sécante passant par les points (3; 0,9) et (10, 10). Taux de variation moyen (TVM)

Cas général La variation d’une fonction continue f (x) sur l’intervalle [a, b] est Δf = f (b) – f (a). Le taux de variation moyen de la fonction f(x) sur l’intervalle [a, b] est la pente de la sécante passant par les points (a, f (a)) et (b, f (b)).

Calculer la vitesse moyenne du coureur entre x = 1 et x = 7. Exercice : Calculer la vitesse moyenne du coureur entre x = 1 et x = 7. (x représente le temps écoulé en secondes depuis le début de la course et y la distance en mètres).

Calculer la vitesse moyenne du coureur entre x = 1 et x = 4. Exercice : Calculer la vitesse moyenne du coureur entre x = 1 et x = 4. (x représente le temps écoulé en secondes depuis le début de la course et y la distance en mètres).

La pente de la tangente à la courbe en x = 1 donne la vitesse instantanée du coureur précisément 1 seconde après le début de la course. Sans contexte, il s’agit du taux de variation instantané de f (x) en x = 1.

Taux de variation instantané (TVI) 2.2 Taux de variation instantané (TVI)

On a vu tantôt que : Le taux de variation moyen (TVM) de la fonction f(x) sur l’intervalle [a, b] est la pente de la sécante passant par les points (a, f (a)) et (b, f (b)). On peut écrire ce TVM : Le taux de variation instantané (TVI) de f (x) en x = a est la pente de la tangente à la courbe en x = a. Il est donc obtenu quand Δx tend vers zéro. Ainsi, il est donné par l’expression :

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exercice 1 Rép.: -1/9

Exercice 2 Rép.: -8

Exercice 3 Rép.: -2/121

Exercice 4 Rép.: 1/4

Exercice 5 Rép.: 45/7

Équation de la droite tangente 2.2.2 Exemple 2.6 : Déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −1 en 𝑥=2.

Équation de la droite normale 2.2.3 Exemple 2.7 : Déterminer l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −1 en 𝑥=2. Lire les exemples 2.8 et 2.9

Pour les exercices 1 à 5 de la section précédente, déterminer l’équation de la tangente et l’équation de la normale au point mentionné. Réponses Droite tangente Droite normale 1. 𝑦=− 1 9 𝑥− 2 3 𝑦=9𝑥+ 80 3 2. 𝑦=−8𝑥−11 𝑦= 1 8 𝑥+ 21 4 3. 𝑦=− 2 121 𝑥+ 21 121 𝑦= 121 2 𝑥− 6653 22 4. 𝑦= 1 4 𝑥+1 𝑦=−4𝑥+18 5. 𝑦= 45 7 𝑥− 3 7 𝑦=− 7 45 𝑥+ 277 45

Dérivée en un point et fonction dérivée 2.3 Dérivée en un point et fonction dérivée

Dérivée d’une fonction en un point 2.3.1 Se lit «f prime de 𝑎».

Exemple : Calculer 𝑓 ′ 4 si 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 . Si on doit calculer successivement, 𝑓 ′ 3 , 𝑓 ′ −2 , 𝑓 ′ 5 𝑒𝑡 𝑓 ′ (−6), plutôt que de recommencer le calcul de la dérivée pour chaque valeur de x, on définit la fonction qui donne la dérivée en tout point de la fonction.

Fonction dérivée 2.3.2 Exemple : Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 .

Exercice 1 : Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 2 . Rép.: f’(x) = -2x

Exercice 2 : Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−3 . Rép.: 𝑓 ′ 𝑥 = −1 𝑥−3 2

Exercice 3 : Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥−5 . Rép.: 𝑓 ′ 𝑥 = 1 2 𝑥−5

Exercice 6

𝑅é𝑝.: 𝑓 ′ (𝑥)= 6 7 𝑥+ 39 7

m sec

m sec