Genèses instrumentales et ressources en ligne en mathématiques Ghislaine Gueudet (CREAD, IUFM de Bretagne)

0. Préliminaire : pourquoi étudier les ressources en ligne ? Surtout : des bases d’exercices en ligne ; pas seulement des exerciseurs. Un apport technologique moindre que les calculatrices graphiques ou les tableurs. Mais une intégration très rapide dans les classes. Une production de ressources qui se répand mondialement. Des différences par rapport au support papier qu’il faut comprendre et anticiper. Les logiciels que nous considérerons ici sont principalement des bases d’exercices de mathématiques en ligne. Elles proposent donc des exercices, mais aussi des éléments de cours, des méthodes etc. dans l’environnement de chaque exercice. A priori leur apport technologique est moindre que celui d’autre logiciels utilisés couramment dan l’enseignement des maths. C’est un peu comme la question de ce qu’apporte un tableau blanc interactif par rapport à un tableau, ce n’est pas toujours évident.

0. Préliminaire : pourquoi étudier les ressources en ligne ? D’où des retombées possibles de la recherche en termes d’action didactique : conception de nouvelles ressources, évaluation des ressources existantes ; conception et évaluation des « guides du professeur » ; formation initiale et continue. Ni opération marketing, ni diabolisation…

Plan L’approche instrumentale Genèses instrumentales, versant élèves Genèses instrumentales, versant professeurs

Approche instrumentale: ergonomie cognitive, Rabardel 1995 Artefact Sujet Schèmes d’utilisation Instrument

1. Approche instrumentale, ergonomie cognitive L’instrument est issu de la genèse instrumentale : Instrument = Artefact + Schèmes d’utilisation Deux dimensions de la genèse : Instrumentation : émergence et évolution des schèmes Instrumentalisation : émergence et évolution des composantes artefact

Approche instrumentale: ergonomie cognitive. Artefact Sujet Instrumentation Instrumentalisation Instrument

1. Approche instrumentale, ergonomie cognitive Artefact (a priori) : Fonctions constituantes, modes opératoires prévus, logique d’utilisation. Après la genèse, instrument : Fonctions constituées, schèmes d’utilisation. Eventuellement détournements (catachrèses) Nouvelle conception...

1. Approche instrumentale, didactique des mathématiques Artigue, M. (2002) Learning mathematics in a CAS environment: the genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal for Computers in Mathematical Learning, Kluwer. Lagrange, J.-B. (2000) L’intégration d’instruments informatiques dans l’enseignement : une approche par les techniques. Educational Studies in Mathematics, Kluwer. Guin D. et Trouche L., éds (2002) Calculatrices symboliques : faire d’un outil un instrument du travail mathématique. Pensée Sauvage, Grenoble. Artefacts : calculatrices, logiciels de géométrie dynamique, tableurs... Sujet : élève.

1. Approche instrumentale, didactique des mathématiques Schème (Vergnaud 1996): But Règles d’action, de prises d’information, de contrôle Invariants opératoires : théorèmes en acte Inférences Praxéologies, organisations mathématiques (Chevallard 1992) Tâches/Techniques/Technologies/Théories Techniques instrumentées comme observables des schèmes.

1. Etendre le champ d’application de l’approche instrumentale en didactique des mathématiques Prendre en compte de nouveaux artefacts : ressources éducatives en ligne. (Gueudet 2006, Learning mathematics in class with online ressources, ICMI17 – groupe INRP/IUFM Hyperpro- projet KANT) Etudier l’utilisateur enseignant. (Bueno-Ravel & Gueudet 2007, Online resources in mathematics: teachers’ genesis of use, CERME 5 - groupe INRP/IUFM EMULE – projet GUPTEn) Etudier des phénomènes collectifs de genèse, d’usage, et de conception dans l’usage. (groupe INRP/IUFM ECUM – équipe EducTice) Regard a posteriori sur 4 ans de travail. Et aussi : intégrer les nouvelles évolutions du travail de l’équipe de Rabardel, avec Luc Trouche : activité productive/activité constructive ; genèses conceptuelles et identitaires ; monde commun...

Entracte

Sinus et sa famille, fonctions Cosinus Tangente

Sinus et sa famille, triangle rectangle Dans ce cadre sinus n’est même pas vraiment une fonction, c’est un rapport entre deux longueurs. (On peut quand même penser qu’il s’agit d’une fonction qui associe un nombre à un angle).

Sinus et sa famille, triangle rectangle

Calculer un sinus/Calculer un angle

2. Genèses instrumentales, versant élève. Des traces de phénomènes d’instrumentation, d’instrumentalisation. Un questionnement nécessaire en termes de contrat didactique (Brousseau 1998). Mathenpoche, interface élèves. Dans cette partie 2 je laisse volontairement de côté le scénario mis en place par l’enseignant, j’en parlerai amplement en partie 3. Je me place ici dans le cadre d’une séance MEP où l’élève a une liste d’exercices proposée par la machine en accès libre (pas de contrainte pour passer d’un exercice à l’autre).

2. Genèses instrumentales, versant élève. Premier niveau dans l’activité de l’élève : résolution d’un exercice. Un exercice est proposé par MEP. But : trouver la solution (ou obtenir un feed-back : « Bravo ! » ?) Un système d’artefacts : l’exercice et son environnement. Calculatrice, aide, possibilité de première réponse fausse.

2. Genèses instrumentales, versant élève 2. Genèses instrumentales, versant élève. Niveau 1 : résolution d’un exercice. Instrumentalisation de la possibilité de première réponse fausse. Exemple But : écrire le bon quotient de longueurs pour un sinus. Théorème en actes : « c’est quelquechose sur l’hypoténuse » La possibilité de première réponse fausse permet à coup sûr de choisir entre côté opposé et côté adjacent. Ici on décrit les choses en terme de schème, avec un théorème en actes. Elles peuvent aussi être décrites en termes de praxéologies, de techniques instrumentées par l’environnement de l’exercice.

Instrumentation : adoption par les élèves de formulations MEP. Ici on décrit les choses en terme de schème, avec un théorème en actes. Elles peuvent aussi être décrites en termes de praxéologies, de techniques instrumentées par l’environnement de l’exercice.

Evaluation après la séquence de trigonométrie, copie Thibault.

2. Genèses instrumentales, versant élève 2. Genèses instrumentales, versant élève. Niveau 2 : gérer son parcours (séance). L’élève peut avoir plus ou moins de choix pour son parcours : les exercices ne sont pas forcément abordés dans l’ordre, un exercice peut être relancé ou non... Des comportements stables d’élèves apparaissent. Schèmes ? Contrat didactique. Le contrat usuel de la classe / Le contrat de la base d’exercices : conflits possibles. (Cazes, Gueudet, Hersant, Vandebrouck 2007) Ici on pourrait encore décrire les choses en terme de schème, mais on n’aurait plus de théorème en actes mathématique.

2.Niveau 2 : gérer son parcours. Comportements d’élèves. Faire une fois chaque problème. MEP comme une feuille d’exercices. Contrat classe. Suivre les conseils de MEP : relance de l’exercice quand MEP le demande. Contrat MEP. Visiter les exercices ; Maximiser le score. Rupture des deux contrats

2. Comprendre les apprentissages ? Au niveau 1, les schèmes ou les techniques instrumentées renseignent sur l’apprentissage. Au niveau 2, quel(s) lien(s) entre les comportements interprétés en termes de contrat et les apprentissages ? (Gueudet 2007) Pas de différence claire entre les élèves qui se situent dans le contrat classe et ceux qui se situent dans le contrat BE. A poursuivre ...

3. Genèses instrumentales, versant professeur. Des traces de phénomènes d’instrumentation, d’instrumentalisation : appropriation de fonctions constituantes, élaboration de fonction constituées ; influence sur les pratiques du professeur. Mathenpoche, interface enseignants.

3. Instrumentation/Instrumentalisation Cas de la trigonométrie. Instrumentalisation : l’introduction de sinus. L’enseignante projette au vidéo-projecteur l’exercice « découverte de sinus ». Elle complète la ressource par : une fiche papier à remplir par les élèves, issue des impressions d’écran ; des rappels de formules au tableau, et des écrits ajoutés sur l’image projetée.

3. Instrumentation/Instrumentalisation Cas de la trigonométrie. Instrumentation : accepter l’écriture « sin-1 ? ». Un ostensif venu de la trigonométrie des fonctions trigonométriques. Confusions possibles entre l’angle et son sinus. Les enseignantes observées disent habituellement aux élèves qu’ils ne doivent pas employer cette écriture. Mais : on l’utilise pour le calcul de l’angle, en général sous forme de touche de calculatrice. Ce choix n’est pas stable, il n’y a pas de consensus. Dans tous les cas l’ostensif « -1 » est problématique. C’est un problème lié à l’emploi de la calculatrice, qui serait intéressant à étudier en général. Sur une calculatrice il y a des touches qui font des choses dont le sens mathématique échappe aux élèves. Des fois on s’en sert pour introduire des notions, par exemple pour le nombre pi. Des fois c’est rigoureusement interdit de s’en servir.

Peut-on écrire sin-1 ?

Formulation MEP : « on effectue à la calculatrice »

3. Instrumentation/Instrumentalisation Cas de la trigonométrie. Instrumentation : accepter l’écriture « sin-1 ? ». Choix : ne pas l’écrire officiellement, mais ne pas dire non plus à la classe qu’il ne faut pas écrire sin-1. C’est seulement dit individuellement aux élèves lorsque le cas apparaît. Résultat : dans les évaluations, 14 élèves sur 54 l’utilisent (4 avec une erreur). Commentaires :   « Il ne faut pas écrire cela » ; « Cette notation de doit pas apparaître à l’écrit »...

3. Instrumentation, sujet professeur

3. Instrumentation/Instrumentalisation Cas général avec MEP. Fonctions constituantes/ logique d’utilisation Peu de prescriptions explicites, mais : La différenciation encouragée par la possibilité de menus différents ; L’évaluation découragée par la structure des bilans. D’où : production de documents complémentaires par les enseignants qui veulent exploiter les bilans.

3. Instrumentation/Instrumentalisation Cas général avec MEP. Fonctions constituées : l’exemple des aides animées. Les enseignants projettent les aides au vidéo-projecteur par exemple pour faire des rappels de méthodes. Ils doivent donc commettre une erreur dans un exercice. Cette pratique conduit les concepteurs à mettre les aides en ligne. Les « cahiers Mathenpoche » sur le site de Sésamath, prévoient explicitement l’utilisation des aides projetées pour faire cours.

3. Genèses instrumentales, versant professeur. Un indicateur : le scénario d’usage. (Pernin&Lejeune 2004, Gueudet 2006) Deux granularités : séance et séquence. L’évolution des scénarios comme indicateur des processus de genèse instrumentale. Comment la ressource instrumente la mise en place des organisations mathématiques ? Tâches et techniques instrumentées du professeur... Je n’irai pas plus loin sur la description des genèses instrumentales des enseignants. Je vais juste dire quelques mots de l’état actuel du travail, qui avance vite en ce moment, et que Laetitia pourra présenter en 2008 par exemple ici même…L’indicateur qu’on a choisi est le scénario d’usage, qu’on a défini en s’appuyant sur le travail de Pernin. Le scénario est décrit a posteriori, par les enseignants ou par nous-mêmes si on va en classe observer. On y lit les choix d’organisations mathématiques et d’organisations didactiques. Pour les organisations mathématiques, on a un outil d’analyse simple. On peut réaliser une analyse a priori, basée sur une analyse de la transposition didactique. Beaucoup plus complexe pour les organisations didactique. Que signifie réaliser une analyse a priori dans ce contexte, quand il n’y a pas de savoir savant ?

Références (1) BUENO-RAVEL, L. et GUEUDET, G (2007) Online resources in mathematics: teachers’ genesis of use. Colloque CERME5, Larnaca, Chypre. BROUSSEAU, G. (1998) Théorie des situations didactiques, La Pensée Sauvage, Grenoble. CAZES, C. GUEUDET, G. HERSANT, M. & VANDEBROUCK, F. (2007) Using E-Exercise Bases in mathematics: case studies at university, International Journal of Computers for Mathematical Learning, Springer. CHEVALLARD, Y. (1992) Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en didactique des mathématiques. Vol. 12. Num. 1. p. 73-11. GUEUDET, G. (2006) Scénarios d’usage de bases d’exercices de mathématiques en ligne, in H. Godinet, J.-P. Pernin (eds.) Scénariser l’enseignement et l’apprentissage une nouvelle compétence pour le praticien, INRP, 43-48. GUEUDET, G (2006) Learning mathematics in class with online resources, 17ième étude ICMI « repenser les technologies », décembre 2006, Hanoï, Vietnam. GUEUDET, G. (2007) Emploi de Mathenpoche et apprentissage, Repères n°66, pp.5-25 Topiques éditions Metz.

Références (2) GUIN, D., & TROUCHE, L. (Eds.). (2002). Calculatrices symboliques. Faire d'un outil un instrument du travail mathématique, un problème didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage. PERNIN, J.-P. et LEJEUNE, A. (2004) Dispositifs d’apprentissage Instrumentés par les Technologies : vers une ingénierie centrée sur les scénarios. Colloque TICE 2004, UTC, Compiègne. RABARDEL P. (1995). Les hommes et les technologies. Approche cognitive des instruments contemporains. Paris : Armand Colin RARBARDEL, P. & PASTRE, P. (Eds.), Modèles du sujet pour la conception. Dialectiques activités développement (pp. 31-52). Toulouse : Octarès Editions. VERGNAUD, G. (1996) Au fond de l’apprentissage, la conceptualisation, Actes de l’école d’été de didactique des mathématiques, IREM, Clermont-Ferrand, pp.174-185