Croissance et extremums Jacques Paradis Professeur

Plan de la rencontre Éléments de compétence Croissance et décroissance Lien entre la croissance et la dérivée Maximum et minimum relatifs Maximum et minimum absolus Test de la dérivée première Tableau de variation relatif à f’ Exemples et exercices Département de mathématiques

Éléments de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Relier la croissance ou la décroissance d’une fonction au signe de sa dérivée Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance Déterminer les maximums et minimums de f Construire un tableau de variation relatif à f’ Utiliser le test de la dérivée première Donner une esquisse du graphique de f Éléments de compétence nos 1 et 4. Département de mathématiques

Croissance et décroissance (1 de 2) Soit une fonction f définie sur un intervalle I f est croissante sur I si  x1 , x2  I on a que x1 < x2  f (x1) < f (x2) f est décroissante sur I si  x1 , x2  I on a que x1 < x2  f (x1) > f (x2) Département de mathématiques

Croissance et décroissance (2 de 2) Croissance et décroissance et signe de la dérivée première f’ (x) > 0 sur ]a,b[  f(x) croissante sur [a,b] f’ (x) < 0 sur ]a,b[  f (x) décroissante sur [a,b] m>0 m<0 Département de mathématiques

Maximum et minimum relatifs Soit I un intervalle ouvert autour d’un point c du domaine d’une fonction f, alors f(c) est un 1) maximum relatif ssi f(c) f(x) x  I 2) minimum relatif ssi f(c) f(x) x  I Remarque : Pour une borne, on peut limiter I à un intervalle ouvert d’un seul côté de c (plutôt qu’autour) • max relatif min relatif (c , f(c) (c , f(c) Département de mathématiques

Maximum et minimum absolus Soit une fonction f définie sur son domaine D, alors f(c) est un 1) maximum absolu ssi f(c) f(x) x  D 2) minimum absolu ssi f(c) f(x) x  D Remarque : Il peut arriver qu’une fonction n’aie pas de maximum ou minimum absolu. • max rel et absolu min rel et absolu max rel min rel (c , f(c) (c , f(c) Département de mathématiques

Maximum / minimum et dérivée Si une fonction f atteint un extremum relatif en une valeur c de son domaine, alors : f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas Nombre critique de f : une valeur c du domaine de f pour laquelle f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas. (Un maximum ou un minimum potentiel)* max rel m=0 (La courbe possède un maximum relatif qui est un maximum absolu, mais elle possède un minimum relatif qui n’est pas un minimum absolu) Pas de dérivée min rel *Pour une fonction définie sur [a , b], les bornes sont automatiquement des nombres critiques car la dérivée n’y existe pas. Département de mathématiques

Définitions Le point (c,f’(c)) est un point stationnaire de f si f’(c) = 0. Le point (c,f’(c)) est un point de rebroussement de f si en ce point la tangente est verticale et f’(x) change de signe autour de x = c. Le point (c,f’(c)) est un point anguleux de f si en ce point les portions de courbes admettent deux tangentes distinctes. Exercices : page 230 nos 3, 1a à 1d et 10 (facultatif) Département de mathématiques

Test de la dérivée première Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et c  I, un nombre critique de f (f’(c) = 0 ou f’(x) n’existe pas), 1) Si f’(x) passe de + à – lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f. 2) Si f’(x) passe de – à + lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f. Département de mathématiques

Test de la dérivée première (Illustration) Soit une fonction f définie sur [a , b] Remarque : a et b, les bornes, sont automatiquement des nombres critiques car la dérivée n’y existe pas. Département de mathématiques

Tableau de variation relatif à f’ Borne inférieure Nombres critiques Borne supérieure x f’(x) f(x) Valeurs de x  Valeurs de f’(x)  Valeurs de f(x)  max ou min Pour une fonction définie sur un intervalle : ------ Département de mathématiques

Exemple 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de la fonction f(x) = x3 – 48x. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f Exercice : page 231 no 8 x - -4 4  f’(x) +  f(x) 128 -128 max min Département de mathématiques

Exemple 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 - 14x2 + 24x + 4 définie sur [-4 , 3]. x -4 -3 1 2 3 f’(x)  + f(x) -60 -113 15 12 31 max min Département de mathématiques

Exercice 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 1. x - 3  f’(x)  + f(x) 1 28 min Si terminé, page 231, no 5. Département de mathématiques

Exemple 3 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x -  2 4  f’(x)  + f(x) -1,6 min *Exemple no 5 de la page 225. Département de mathématiques

Exercice 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x - -3 2  f’(x)  + f(x) min Si terminé, page 231 no 5. Département de mathématiques

Devoir Série 6.1, page 230, nos 1,3, 5, 6 et 8. Ex. récapitulatifs, page 284, nos 1, 2 et 3. 1b) f sur - ; -0,41]  [2,41 ;  ; f sur [-0,41 ; 2,41]; max. rel. : (-0,41 ; 4,31); min. rel. : (2,41 ; -18,31) 1d) f sur - , 3] ; f sur [3 ,  ; max. : aucun; min. rel. : (3 , 4). 1f) f sur [0 , 2] ; f sur [2 , 5]; max. rel. : (0 , 2) et (5 , 67); min. rel. : (2 , -14). 1h) f sur [-2 , -1]  [1 , 2 ]; f sur [-1 , 1]; max. rel. : (-2 , 0) et (1 , 3); min. rel. : (2 , 0) et (-1 , -3). Département de mathématiques