La loi des cosinus b2 = a2 + c2 - 2ac cosB a2 = b2 + c2 - 2bc cos A (a – x) h x c b a D b2 = a2 + c2 - 2ac cosB a2 = b2 + c2 - 2bc cos A c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Remarque : Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

A C B h D Traçons un triangle quelconque et nommons-le ABC. b c (a – x) x a Dans le triangle ABC : - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B; - posons c pour représenter le côté en face de l’angle C; - posons a pour représenter le côté en face de l’angle A. Traçons la hauteur AD (h). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle ADC et le triangle ADB. Posons x pour représenter le segment DB. Le segment CD peut alors être représenté par le binôme (a – x). En utilisant la relation de Pythagore, établissons le système suivant : h2 = b2 – (a – x)2 h2 = c2 – x 2 En utilisant la méthode de comparaison, nous obtenons : b2 – (a – x)2 = c2 – x2

A C B (a – x) h x c b a D Développons b2 - (a - x)2 = c2 - x2 b2 - (a2 - 2ax + x2) = c2 - x2 b2 - a2 + 2ax - x2 = c2 - x2 b2 - a2 + 2ax = c2 Isolons b2 : b2 = a2 + c2 - 2ax cos B = x c Dans le triangle ADB, nous avons le rapport : Isolons x : x = c cos B Dans l’expression b2 = a2 + c2 – 2ax, remplaçons x par c cos B : b2 = a2 + c2 - 2ac cos B En construisant une hauteur pour chaque sommet et en utilisant la même démarche, on en déduit que : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Cette loi des cosinus nous permet donc de calculer toutes les mesures d’angles et toutes les mesures de côtés dans les triangles qui ne sont pas rectangles.

La formule des cosinus s'utilise lorsqu'on connaît les mesures des éléments suivants : les 3 côtés Un angle compris entre 2 côtés B C c b A a A B C c b

Comment utiliser cette loi ? a B C c b A Si on veut connaître la mesure de l’angle A ou la mesure du segment représenté par a. On associe le côté en face de l’angle avec le cosinus de l’angle. a2 = cos A b2 + c2 – 2bc Les autres parties de la formule proviennent des côtés adjacents.

 3,2 Exemples Détermine la mesure du côté BC. B 4 m Nous avons donc besoin de la formulation : a 530 a2 = b2 + c2 – 2 x b x c x cos A C A 3 m a2 = 32 + 42 – 2 x 3 x 4 x cos 530 Avec la calculatrice : a2 ≈ 9 + 16 – 24 x 0,6018 priorité d’opérations a2 ≈ 25 - 14,4432 a2 ≈ 10, 5568 a ≈ 10, 5568  3,2 m BC  3,2 m Remarque : 2nd x2 (3^2 + 4^2 – 2 x 3 x 4 cos 53)  3,249

Détermine la mesure de l’angle B. Nous avons donc besoin de la formulation : 4 m 3,2 m b2 = a2 + c2 - 2 x a x c x cos B 530 A C 32 = 3,22 + 42 - 2 x 3,2 x 4 x cos B 3 m b 9 = 10,24 + 16 - 25,6 cos B Isolons cos B : 9 - 10,24 - 16 = - 25,6 cos B cos B ≈ 0,6734 Avec la calculatrice : Donc, cos-1 0,6734  47,70 - 17,24 = - 25,6 cos B -25,6 m  B ≈ 47,70 = cos B -25,6 - 17,24 ≈ 0,6734 Remarque : Cos-1 ((9 – 10,24 – 16) ÷ (-)25,6)  47,70

Détermine la mesure de l’angle B. 530 B C 4 m A 3 m 3,2 m Détermine la mesure de l’angle B. Remarque Comme la mesure du segment BC avait déjà été déterminée, on aurait pu déduire la mesure de l’angle B en utilisant la loi des sinus.

5 cm 6 cm 4 cm A B C Détermine la mesure de l’angle A. Nous avons donc besoin de la formulation : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Isolons cos A : = - 2bc cos A a2 - b2 - c2 - 2bc a2 - b2 - c2 - 2bc = cos A 42 - 62 - 52 - 2 x 6 x 5 = cos A 16 – 36 – 25 - 60 - 45 - 60 = = 0, 75 cos A = 0,75 Donc, cos -1 0,75 ≈ 41, 40 m  A ≈ 41, 40

5 cm 6 cm 4 cm A B C Détermine la mesure de l’angle A. b a c Nous avons donc besoin de la formulation : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Cette formulation pourrait s’écrire aussi : (m BC)2 = (m AC)2 + (m AB)2 – 2 (m AC) (m AB) cos A Comme la formulation est un peu longue, utilise a, b et c. Identifie-les sur la figure (par des lettres minuscules).

Détermine la mesure de l’angle B. 3 km 4 km 1,95 km Nous avons donc besoin de la formulation : b2 = a2 + c2 – 2ac cos B b c a Isolons cos B : = - 2ac cos B b2 - a2 - c2 C - 2ac b2 - a2 - c2 - 2ac = cos B 42 – 32 – 1,952 - 2 x 3 x 1,95 16 – 9 – 3,8025 - 11,7 = 3,1975 - 11, 7 = cos B ≈ - 0, 2733 cosinus négatif cos B ≈ - 0,2733 Donc, cos-1 - 0,2733 ≈ 105,90 m  B ≈ 105,90 La calculatrice tient compte des cosinus négatifs; elle donnera la bonne valeur de l’angle. Elle tient compte du fait que : cos (1800 – θ) = - cos θ