Concavité et points d'inflexion Jacques Paradis Professeur Département de mathématiques

Plan de la rencontre Élément de compétence Concavité vers le haut et le bas Lien entre la concavité et la dérivée seconde Nombre critique et point d’inflexion Tableau de variation relatif à f’’ Exemples et exercice Test de la dérivée seconde Département de mathématiques

Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Relier la concavité d’une fonction au signe de sa dérivée seconde Déterminer les intervalles de concavité vers le haut et de concavité vers le bas Déterminer les points d’inflexion d’une fonction Construire un tableau de variation relatif à f’’ Donner une esquisse du graphique d’une fonction Utiliser le test de la dérivée seconde pour les extremums d’une fonction Éléments de compétence nos 1 et 4. Département de mathématiques

Concavité (1 de 2) Soit une fonction f définie sur un intervalle I, f est concave vers le haut sur I si la courbe de f est au-dessus de ses tangentes dans cet intervalle. f est concave vers le bas sur I si la courbe de f est au-dessous de ses tangentes dans cet intervalle. Un point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f si la courbe change de concavité en ce point. La concavité fait référence à la courbure d’une fonction. haut   bas Département de mathématiques

Concavité (2 de 2) Concavité et signe de la dérivée seconde f’’ (x) > 0 sur ]a,b[  f(x) concave vers le haut sur [a,b] f’’ (x) < 0 sur ]a,b[  f(x) concave vers le bas sur [a,b] f’(x) est décroissante, d’où sa dérivée f’’ < 0 f’(x) est croissante, d’où sa dérivée f’’ > 0 m=0 m<0 m>0 m>0 m<0 m=0 Département de mathématiques

Nombre critique / Point d’inflexion Remarque : Le point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f ssi f’’(x) change de signe lorsque x passe de c à c+. Nombre critique de f’ : une valeur c du domaine de f’ pour laquelle f’’(c) = 0 ou f’’(c) n’existe pas. (Un point d’inflexion potentiel) Exercices : page 246, nos 1 (sauf e) et 2. Remarque : Le fait qu’une valeur doit être dans le domaine de f’ pour être un nombre critique implique que les bornes d’un intervalle ne peuvent être des nombres critiques de f’(x), car ils n’appartiennent pas au domaine de f’(x). Département de mathématiques

Tableau de variation relatif à f’’ Borne inférieure Nombres critiques Borne supérieure x f’’(x) f(x) Valeurs de x  Valeurs de f’’(x)  Valeurs de f(x)  Points d’inflexion Pour une fonction définie sur un intervalle : - - - - - Département de mathématiques

Exemple 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 – 10x3 + 36x – 12. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f’’(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f’ Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f x - 5  f’’(x) +  f(x)  -12  -457 inf Département de mathématiques

Exercice 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 - 24x2 + 14x + 40 définie sur [-5,2 ; 4,6]. x -5,2 -2 2 4,6 f’’(x) +  f(x) 49,4  -68  -12 44,3 inf Département de mathématiques

Exemple 2 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x -2 2 f’’(x) +  f(x)   inf Exercices : page 246, no 4. Département de mathématiques

Test de la dérivée seconde (1 de 2) Soit une fonction f et c un nombre critique de f tel que f’(c) = 0. 1) Si f’’(c) < 0, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f. 2) Si f’’(c) > 0, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f. 3) Si f’’(c) = 0 ou n’existe pas, alors le test ne fonctionne pas et il faut revenir au test de la dérivée première. Département de mathématiques

Test de la dérivée seconde (2 de 2) Exemple : Soit f(x) = 2x3 – 0,25x4 – 0,2x5, déterminer les points de maximum relatif et les points de minimum relatif de f à l’aide du test de la dérivée seconde. Étape 1 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible Étape 2 : Identifier les nombres critiques de f ayant f’(x) = 0 Étape 3 : Trouver f’’(x) (Inutile de factoriser) Étape 4 : Évaluer f’’(x) pour les nombres trouvés à l’étape 2 Étape 5 : Utiliser le test de la dérivée première si le test de la dérivée seconde ne permet pas de conclure Exercices : page 247, nos 5a et 5b. x f’(x) + f(x) Département de mathématiques

Devoir Série 6.2, page 246, nos 1 à 5. Exercices récapitulatifs, page 284, no 4. 4a) concavité vers le haut : - ; 0,25], concavité vers le bas : [0,25 ; , point d’inflexion : (0,25 ; 0). 4c) concavité vers le haut : [2 ;  , concavité vers le bas : - ; 2], point d’inflexion : (2 ; 16). 4e) concavité vers le haut : [-2 ; 0] , concavité vers le bas : [0 ; 2], point d’inflexion : (0 , 0). Département de mathématiques