Animation pédagogique Mathématiques situations problème cycle 2 Dates : 20 janvier et 24 mars Lieu : Ecole élémentaire Docteur Roux 130 rue des Cités 77500 Chelles 2 x 3 heures 9 heures : accueil Présentation de l’intervenante Prise de parole des participants : présentation école et niveau de classe Présenttaion du cadre de l’animation : Le dispositif Plan d’aniimation pédagogique n° de l’animation, dtes prévues, leiux, horaires Le contrôle : la feuille d’émargement M Koch janvier 07

Animation pédagogique Les situations problème en mathématiques les caractéristiques de la démarche de résolution de problèmes. les liens entre les situations problèmes et les outils ou supports d’activités. Des pistes de travail exploitées en classe nous permettront d’échanger et de mutualiser nos pratiques L’économie générale de la réflexion Intitulé de l’animation M Koch janvier 07

Les raisons de l’animation Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible. La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée. NOTE DE LA dep N)04;12 Les raisons de cette animation : Référence PISA Evaluations nationales de circonscription Constat lors des inspections M Koch janvier 07

Un exemple tiré des évaluations 6ème Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos Les raisons de cette animation On constate: 1 élève sur 5 en difficulté sur les compétences de base à l’entrée en 6 ème M Koch janvier 07

Combien y-a-t-il de pages complètes? 54% de réponses justes M Koch janvier 07

Combien y-a-t-il de photos sur la page incomplète? 57% de réponses justes M Koch janvier 07

Pourtant Division par 6 stabilisée au CM1 Encadrement par deux multiples de 6 Tables de multiplication (CE2) Addition de 6 en 6 Additions CE1 Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Les raisons de cette animation On constate : Les élèves français sont les plus impressionnés par les épreuves de mathématiques. Ils ont le plus fort taux de non réponse, ils peinent à sortir de l’exercice d’application. Résultats aux évaluations nationales Constat lors des inspections M Koch janvier 07

Plan de travail des deux demi-journées 1ère séance Se mettre en situation Synthèse Commentaires théoriques Regard sur les textes Adapter les situations problèmes à nos élèves Production d’outils de travail Plan de travail des deux demi-journées 1ère séance Se mettre en situation Synthèse Commentaires théoriques Regard sur les textes Adapter les situations problèmes à nos élèves Production d’outils de travail Inter séance Développer et expérimenter les prévisions 2ème séance Confronter nos expériences Avec les traces Mettre en commun nos constatations, les éléments à retenir, les éléments à rejeter Regarder nos outils habituels Adapter encore nos outils M Koch janvier 07

Entre janvier et mars Mettre en œuvre avec les élèves Plan de travail des deux demi-journées suite M Koch janvier 07

Plan de travail des deux demi-journées 2ème séance Confronter nos expériences Mettre en commun nos constatations éléments à retenir, éléments à rejeter Regarder nos outils habituels 2ème séance Confronter nos expériences Mettre en commun nos constatations Éléments à retenir Elements à rejeter Regarder nos outils habituels Adapter encore nos outils M Koch janvier 07

Chercher en groupe Groupes constitués de personnes d’écoles différentes et de niveaux différents 1 observateur note tout ce qui se dit et se fait Production d’une affiche (par groupe) qui permettra d’exposer aux autres son résultat Retour en collectif à 9h40 M Koch janvier 07

Situation problème Vous allez devoir construire une boîte sans couvercle à partir d’une feuille rectangulaire Pour ce faire vous découperez un carré de même dimension dans chaque sommet du rectangle Puis vous rabattrez les onglets ainsi définis de façon à former la boîte Situation problème : le volume de la boîte (45 mn) 1 Découverte de la situation (5 mn) Vous allez devoir construire une boîte sans couvercle à partir d’une feuille rectangulaire. Pour ce faire, vous découperez un carré de même dimension dans chaque sommet du rectangle. (faire un schéma au tableau) Attention: la longueur du côté du carré doit être inférieure à la demi-largeur du rectangle. Puis vous rabattrez les onglets ainsi définis de façon à former la boîte (schéma 3D) 2 phase de manipulation (5 mn) Mise en groupe. Manipulation. Retour au collectif. 3 Formulation du problème et phase de recherche (25 mn) Consigne : A partir d’un rectangle de même dimension, le volume de la boîte diminue-t-il si l’on augmente l’aire des carrés découpés? Recherche par groupe et production de traces écrites 4 Phase collective (15 mn) Présentation des recherches par groupes et argumentation sur la validité des propositions Correction La mise en équation de la situation conduit à résoudre une équation du 3ème degré. Cela nécessite le calcul de la dérivée qui fait apparaître une fonction croissante puis décroissante. M Koch janvier 07

Consigne Que peut-on dire du volume de la boîte si on augmente l’aire des carrés M Koch janvier 07

Des problèmes pour chercher C’est une situation initiale avec un but à atteindre demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation ou la solution n’est pas disponible d’emblée, mais elle est possible à construire « D’après Jean Brun » Analyse à priori La présentation du problème simplement lu n’a pas suffi ou n’a pas favorisé la compréhension de la situation. La difficulté doit résider dans la question mathématique de la situation pas dans sa compréhension, pas dans sa lecture. Les procédures utilisées par les participants: Construction de plusieurs boîtes puis calcul de leur volume, multiplication des essais et ajustements Retour sur des procédures expertes ou personnelles Essai de calcul à partir du schéma, plusieurs schémas pour les plus en difficulté Idée de la représentation nécessaire Essai de mise en équation, abandon, tentative de résolution Appel à des connaissances antérieures mal stabilisées (par exemple la proportionnalité peut être évoquée,…) Idée du conflit socio-cognitif interne Idée de la différenciation Production des traces écrites diverses et des résultats donnés par des procédures personnelles Tous les participants ont réalisé une tâche Les élèves aiment la complexité, la difficulté (mais ZPD) M Koch janvier 07

Pourquoi faire des mathématiques à l’école primaire Donner aux élèves la culture scientifique pour une représentation du monde et la compréhension de leur environnement quotidien Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider …L’élève apprend à conduire ses actions, à en prévoir les résultats, à anticiper les évènements et à les expliquer…. Pourquoi faire des mathématiques à l’école primaire Un problème : C’est une situation intiale avec un but à atteindre demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation ou La solution n’est pas disponible d’emblée mais elle est possible à construire « d’après Jean Brun » Programmes 2002 L’élève apprend à construire ses actions, à en prévoir les résultats, à anticiper les évènements et à les expliquer. A l’école maternelle, il s’agit de donner du sens aux nombres par leur utilisation dans la résolution de problèmes. A la fin de l’école maternelle, l’enfant est également confronté à des problèmes où les nombres peuvent être utilisés pour anticiper le résultat d’une action sur des quantité ou des positions. Documents d’accompagnement L’enfant entre entre également dans l’univers de l’anticipation et de la déduction : essayer de prévoir le résultat d’une action. Socle : Nécessité de développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration Comment Acquisition par la résolution de problèmes à partir de situations proches de la réalité. M Koch janvier 07

Socle commun La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité M Koch janvier 07

Principe dynamique Cycle 1 Des jeux préliminaires, structurés et concrets apportent des expériences nécessaires à partir desquelles les concepts mathématiques peuvent se construire, à condition que chaque type d’activité soit introduit à un moment approprié. Le jeu est l’activité normale de l’enfant….Il se prolonge vers des apprentissages qui, pour être plus structurés, n’en demeurent pas moins ludiques. Principe dynamique : Des jeux préliminaires, structurés et concrets apportent des expériences nécessaires à partir desquelles les concepts mathématiques peuvent se construire, à condition que chaque type d’activité soit introduit au moment approprié. Toute acquisition d’une connaissance prend appui sur l’activation d’une connaissance antérieure. Les conceptions actuelles de l’apprentissage s’efforcent de prendre en compte la diversité des cheminements possibles dans la construction des connaissances et excluent l’existence d’une seule bonne méthode d’apprentissage. Le recours à l’analogie joue un rôle très important dans l’enrichissement des connaissances individuelles. (Bastien P 121 à 141). Programmes 2002 Le jeu est l’activité normale de l’enfant…Il se prolonge vers des apprentissages qui, pour être structurés, n’en demeurent pas moins ludiques. M Koch janvier 07

Principe dynamique cycle 2 et 3 Les connaissances acquises par chaque individu s’organisent en mémoire de manière fonctionnelle, c’est-à-dire, à partir des buts qu’elles permettent d’atteindre. Elles présentent un certain nombre de caractéristiques du point de vue de leur structure, accessibilité et disponibilité. Les problèmes permettent l’utilisation conjointe de plusieurs connaissances dans des situations complexes Principe dynamique Les connaissances acquises par chaque individu s’organisent en mémoire de manière fonctionnelle, c’est-à-dire, à partir des buts qu’elles permettent d’atteindre. Elles présentent un certain nombre de caractéristiques du point de vue de leur structure, accessibilité et disponibilité. Relire p 76 à 90 Idée de connaissance fonctionnelle Ex : dépanneurs débutants et expérimentés. Toute acquisition d’une connaissance prend appui sur l’activation d’une connaissance antérieure. Les conceptions actuelles de l’apprentissage s’efforcent de prendre en compte la diversité des cheminements possibles dans la construction des connaissances et excluent l’existence d’une seule bonne méthode d’apprentissage. Le recours à l’analogie joue un rôle très important dans l’enrichissement des connaissances individuelles. (Bastien P 121 à 141) D’où nécessité pour les maîtres de penser les programmations de cycle M Koch janvier 07

Principe d’expérimentation personnelle Les qualités de représentations mentales formées par les apprenants est un facteur important qui influence le transfert de la solution. M Koch janvier 07

Principe d’expérimentation personnelle L’élève construit ses concepts par ses expériences propres Le problème peut être résolu par la mise en œuvre de ce concept et s’élaborer à l’aide de procédures Les propriétés qui sous tendent ce concept pourront être conscientisées, synthétisées, exprimées, formulées. Principe d’expérimentation personnelle L’élève construit ses concepts par ses expériences propres. C’est ce principe d’expérimentation qui va permettre à l’élève d’approcher le concept. Ce dernier sera approché lorsque : Le problème peut être résolu par la mise en œuvre de ce concept (rôle du maître) Cette résolution pourra s’élaborer à l’aide de procédures automatisées ou raisonnées Les propriétés qui sous tendent ce concept pourront être conscientisées, synthétisées, exprimées formulées. Le langage adapté au concept : analogique (représentation figurale), verbal (quatre), symbolique (4) Une manipulation sans prise de conscience, ni réflexion ne sert à rien. Importance de la situation d’apprentissage Exemple : exercice du coffre et de l’éléphant : Claude Bastien et Mireille Bastien-Toniazzo « apprendre à l’école » p138; 3 groupes l’un manipule, l’autre regarde faire l’expérimentateur, le 3ème suit les explications à partir d’une illustration. La qualité des représentations mentales formées par les apprenants est un facteur important qui influence le transfert de solution. Analogie didactique (p 134) Activation d’une connaissance antérieure Exemple : boîtes des garçons, puis exercice assiette verre et souris :11 élèves réussissent le 2ème exercice, 12 après rappel de la situation antérieure, 9 échouent. M Koch janvier 07

Principe d’utilisation des représentations L’élève doit pouvoir entrer dans le problème par le niveau de solution qui lui paraît abordable. Accepter différentes solutions, différents types de traces. L’enfant découvre que le dessin peut représenter avec précision ce qu’il a observé et rendre partageable les informations dont il dispose L’enrichissement des connaissances passe aussi par la découverte de documents grâce à la médiation de l’adulte Principe d’utilisation des représentations : Entrer dans le problème par un niveau de solution qui paraît abordable, il n’est pas indispensable de passer par le schéma. Eviter de travailler uniquement pour un groupe d’élèves c’est : accepter différentes solutions, différents types de traces Lier les traces à l’action, la verbalisation, la réflexion Cela suppose une démarche de différenciation M Koch janvier 07

Travailler avec l’erreur L’erreur est parfois une erreur par défaut L’élève ne produit pas un résultat juste mais le meilleur de ce qu’il peut faire Accepter différentes solutions, différents types de traces …La réponse n’est alors pas disponible d’emblée et son élaboration nécessite des actions de la part de l’enfant…le recours à des essais et à des ajustements. Comment considérer l’erreur : L’élève ne sait pas, n’a pas compris, expression d’un manque et renvoi à l’élève de ce manque…correction…long terme? Ou erreur=résultat d’une procédure appuyée sur des connaissances antérieures peu solides, mal fixées pas transférables.. Les productions, erreurs, questions, réponses de l’élève constituent des informations sur l’état des connaissances de l’élève. Ce qui doit prévaloir est de comprendre la logique de l’élève, quelles connaissances il a mis en œuvre pour arriver au résultat proposé, quelles connaissances antérieures fait obstacle à l’acquisition d’une nouvelle connaissance. S’appuyer sur les interactions sociales, le groupe. Favoriser et développer les capacités d’invention, de créativité, de prises de risques c’est être : Explicite sur le contrat didactique et la place de l’erreur Savoir donner du temps, ne pas apporter trop rapidement les solutions aux problèmes. Utiliser l’erreur comme indice de compréhension essentiel des procédures utilisées par les élèves. L’erreur n’est pas due à une réponse au hasard. Référence expérience de recherche du jour. Programmes 2002 L’élève apprend à conduire ses actions, à en prévoir les résultats, à anticiper les évènements et à les expliquer… La réponse n’est alors pas disponible d’emblée et son élaboration nécessite dans un premier temps des actions de la part de l’enfant, puis progressivement une anticipation sur l’action à réaliser, le recours à des essais et des ajustements…l’enfant développe des stratégies intelligentes par tâtonnement et régulation. Progressivement il devient capable, d’une part d’anticiper certaines décisions et d’autres part d’expliquer, avec des mots, son intention ou encore les raisons d’un échec ou d’une réussite. Dans les nombreux problèmes qu’il a à résoudre, l’enfant est conduit à faire des essais, à les réajuster en fonction des résultats obtenus, il développe sa capacité à traiter une situation par essais et ajustements. Repérage d’erreurs : Ces erreurs sont elles des erreurs : Quelle est la norme (norme qui renvoie à un savoir savant ou à un produit attendu ?) Quelle est la procédure mise en place par l’élève ? Origine de cette procédure ? (Hypothèse d’une logique appliquée par l’élève) Représentation que l’élève s’est fait de l’énoncé ? . M Koch janvier 07

Principe de constructivité et de variabilité didactique La construction intuitive doit précéder l’analyse et la pensée réflexive Résoudre des problèmes par des cheminements variés rend disponibles différentes stratégies. On apprend aux enfants à changer de points de vue. Il appartient à l’équipe des maîtres d’assurer à leurs élèves, tout au long de leur scolarité l’exploration d’une grande variété de situations et d’univers culturels, l’usage d’outils et d’instruments diversifiés. A l’école maternelle, comme à l’école primaire, la programmation des activités collectivement élaborée est seule susceptible de garantir cette diversité, de l’ordonner. Règles du contrat didactique, comment sont elles appropriées par l’élève, le comportement attendu par l’enseignant Ce contrat détermine explicitement pour une petite part, mais surtout implicitement, ce que chaque partenaire va avoir à gérer et dont il est comptable devant l’autre (G Brousseau). Ce contrat se caractérise par des règles en maths : tout problème a une solution pour résoudre un problème il faut faire des opérations avec tous les nombres de l’énoncé pour résoudre un problème il faut utiliser la dernière notion étudiée Conception de l’élève des concepts en jeu dans l’activité ? Re médiation : aider l’élève à expliciter sa démarche faire prendre conscience à l’élève d’une contradiction entre son résultat et un démenti aider à construire une nouvelle réponse aider à prendre conscience des connaissances qu’il doit mettre en cause, qu’il doit acquérir Pointer les évolutions des modes de résolution Importance de la mise en commun (échanges, explicitations, argumentations) Importance des mises en relation (par l’enseignant) des modes de raisonnement identiques qui se sont traduits par différentes représentations. Importance de la synthèse : termes généraux, génériques donc décontextualisés. L’investigation n’est pas conduite uniquement pour elle-même : elle débouche sur savoir-faire et des connaissances Exemple, lorsqu’il s’agit de compléter une suite selon un rythme non expliqué verbalement, également lorsque l’enseignant amorce un tri, sans rien dire et demande à un enfant de placer d’autres objets. M Koch janvier 07

Analyse à priori Principe de l’utilité mathématique Quelles connaissances mathématiques seront-ils amenés à utiliser ou à construire? Principe dynamique Quels objectifs pour le maître? Principe d’expérimentation personnelle Quelles sont les différentes stratégies qui vont être mises en oeuvre par les élèves? Principe de constructivité Quelle organisation pédagogique mettre en place? Quelles formulations des consignes? Travailler à partir des erreur Quelles seront les difficultés rencontrées? Principe de variabilité didactique Quels moyens envisager pour aider les élèves? Quelles variations de la situation doit on apporter pour les élèves en difficulté, pour ceux qui maîtrisent la situation de base? Quelle évaluation? M Koch janvier 07

Présentation des situations élèves Constituer des groupes par école, cycle ou niveau Prendre connaissance des situations proposées, en choisir une Examiner cette situation à la lumière de la fiche lecture « analyse à priori » afin de la situer : Par rapport au programme La décliner Sur le cycle Sur une séquence La modifier éventuellement Produit fini prévu Disposer d’un outil de travail à mettre en oeuvre d’ici le mois de mars Thèmes retenus, référence des documents utilisés. M Koch janvier 07