On a une infinité d’angles remarquables ! Deux réels au même endroit, mais différents : a ≠ b a b

On a une infinité d’angles remarquables ! Deux réels au même endroit, mais différents : x cos ( x + k2π ) = cos x x + k2π sin ( x + k2π ) = sin x

On a une infinité d’angles remarquables ! Deux réels au même endroit, mais différents : x cos ( x + k2π ) = cos x x + k2π sin ( x + k2π ) = sin x k est un entier, positif ou négatif ( leur ensemble est noté Z ). k2π signifie usuellement en trigonométrie que k est un entier. Exemple : π/4 est angle remarquable, donc π/4 + 5(2π) = 41π/4 aussi.

Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée : x π 0 π 0

Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π-x x π 0

Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π-x x cos ( π – x ) = - cos x sin ( π – x ) = sin x π 0 Exemple : π/6 est angle remarquable, donc π – π/6 = 5π/6 aussi.

Deux points symétriques par rapport à l’origine : x π 0 π 0

Deux points symétriques par rapport à l’origine : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x π 0 π + x

Deux points symétriques par rapport à l’origine : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x cos ( π + x ) = - cos x sin ( π + x ) = - sin x x π 0 π + x Exemple : π/6 est angle remarquable, donc π/6 + π = 7π/6 aussi.

Deux points ayant la même abscisse : x

Deux points ayant la même abscisse : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x - x

Deux points ayant la même abscisse : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x cos ( – x ) = cos x 0 sin ( – x ) = - sin x - x Exemple : π/4 est angle remarquable, donc - π/4 aussi.

Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit : π/2 x .

Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2 π/2-x x

Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2 π/2-x x cos ( π/2 – x ) = sin x sin ( π/2 – x ) = cos x Exemple : π/6 est angle remarquable, donc π/2 – π/6 = π/3 aussi.

Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 : π/2 x

Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2+x π/2 x

Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2+x π/2 x cos ( π/2 + x ) = - sin x sin ( π/2 + x ) = cos x Exemple : π/6 est angle remarquable, donc π/6 + π/2 = 2π/3 aussi.

3°) Formule valable pour tout réel x : Le repère est orthonormé, donc x

3°) Formule valable pour tout réel x : Le repère est orthonormé, donc Pythagore x (cos x)² + (sin x)² = 1²

3°) Formule valable pour tout réel x : Le repère est orthonormé, donc Pythagore x (cos x)² + (sin x)² = 1² cos² x + sin² x = 1 Elle permet d’en déduire un cos ou un sin à partir de l’autre, ou de vérifier deux valeurs exactes.

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ …

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point.

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point. Il y 2 points d’ordonnée – ½, donc 2 réels a et b qui conviennent.

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point. Il y 2 points d’ordonnée – ½, donc 2 réels a et b qui conviennent. On veut résoudre, donc déterminer des valeurs exactes, que l’on trouvera à partir des angles remarquables. Dans le tableau des angles remarquables, celui qui s’approche le plus est : sin π/6 = + ½ ( il n’y a pas de négatifs dans le tableau des angles π/6 remarquables, qui sont tous dans le 1er quart de cercle en haut à droite ). b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 sens trigo π/6 0 b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 On aurait aussi pu faire : b = π/6 + π = 7π/6 b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 On aurait aussi pu faire : b = π/6 + π = 7π/6 ou b = a - 4π/6 = - 5π/6 qui est différent mais au bon endroit. b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ Solutions : si j’ajoute un nombre entier de tours à un réel, le nouveau réel est au même endroit, donc l’ensemble des solutions est tous les x de S = { - π/6 + k2π ; 7π/6 + k2π } π/6 π 0 7π/6 - π/6