Exercice 1 On tire 7 fois avec remise dans une urne contenant 1 jeton Noir et 2 jetons Rouges. X est la variable aléatoire donnant le nombre de fois où l’on a pioché un jeton noir. 1°) La variable aléatoire suit-elle une loi binomiale ? Quels seraient alors ses paramètres ?

Exercice 1 On tire 7 fois avec remise dans une urne contenant 1 jeton Noir et 2 jetons Rouges. X est la variable aléatoire donnant le nombre de fois où l’on a pioché un jeton noir. 1°) La variable aléatoire suit-elle une loi binomiale ? Quels seraient alors ses paramètres ? 2°) Déterminez l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire. 3°) Quel est le nombre de jetons noirs que j’aurai le plus de chance de piocher ? Déterminez à 0,1 % près la probabilité de piocher ce nombre de jetons noirs. 4°) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire. Mettez les valeurs dans un graphe. Quelle est la forme de la courbe ? Démontrez numériquement les formules ayant permis de déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire.

La variable aléatoire suit une loi binomiale car : 1°) La variable aléatoire suit-elle une loi binomiale ? Quels seraient alors ses paramètres ? La variable aléatoire suit une loi binomiale car : on répète plusieurs fois la même expérience. cette expérience n’a que 2 issues ( Réussite ou Echec ). la variable aléatoire donne le nombre de Réussites. X suit ß( 7 ; 1/3 ) car p = 1jeton noir/3 jetons

2°) Déterminez l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire. E(X) = n p = 7 (1/3) = 7/3 car X suit une loi binomiale. Idem : σ(X) = √[ n p ( 1 – p ) ] = √[7 (1/3) ( 1 – (1/3) ) ] = √[ 7 (1/3) (2/3) ] = √(14/9) ≈ 1,247… Qui est beaucoup plus rapide que de faire la loi de probabilité de X, et de déterminer E(X) et σ(X) !

3°) Quel est le nombre de jetons noirs que j’aurai le plus de chance de piocher ? … Déterminez à 0,1 % près la probabilité de piocher ce nombre de jetons noirs.

3°) Quel est le nombre de jetons noirs que j’aurai le plus de chance de piocher ? E(X) = 7/3 ≈ 2,33… donc en moyenne probable je piocherai 2 jetons noirs. Déterminez à 0,1 % près la probabilité de piocher ce nombre de jetons noirs. X suit une loi binomiale donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k A la calculette : ( 7 ; 2 ) = 21 branches de l’arbre. P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21 (1/3)2 (2/3)5 ≈ 0,307 ≈ 30,7%

4°) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire. X suit une loi binomiale donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37) xi 1 2 3 4 5 6 7 p(X =xi) 21(25)/(37)

4°) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire. X suit une loi binomiale donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37) xi 1 2 3 4 5 6 7 p(X =xi) 1(27)/(37) 7(26)/(37) 21(25)/(37) 35(24)/(37) 35(23)/(37) 21(22)/(37) 7(21)/(37) 1(20)/(37)

4°) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire. X suit une loi binomiale donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37) xi 1 2 3 4 5 6 7 p(X =xi) 1(27)/(37) 7(26)/(37) 21(25)/(37) 35(24)/(37) 35(23)/(37) 21(22)/(37) 7(21)/(37) 1(20)/(37) ≈ 0,059 0,205 0,307 0,256 0,128 0,038 0,006 0,0005

4°) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire. X suit une loi binomiale donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37) xi 1 2 3 4 5 6 7 p(X =xi) 1(27)/(37) 7(26)/(37) 21(25)/(37) 35(24)/(37) 35(23)/(37) 21(22)/(37) 7(21)/(37) 1(20)/(37) ≈ 0,059 0,205 0,307 0,256 0,128 0,038 0,006 0,0005

4°) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire. X suit une loi binomiale donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37) La forme de la courbe est une courbe appelée « courbe de Gauss ». xi 1 2 3 4 5 6 7 p(X =xi) 1(27)/(37) 7(26)/(37) 21(25)/(37) 35(24)/(37) 35(23)/(37) 21(22)/(37) 7(21)/(37) 1(20)/(37) ≈ 0,059 0,205 0,307 0,256 0,128 0,038 0,006 0,0005

σ(X) = √[Σ ni xi² - (E(X))²] = √[(1(27)/(37)) (0²) + (7(26)/(37)) (1²) 1 2 3 4 5 6 7 p(X =xi) 1(27)/(37) 7(26)/(37) 21(25)/(37) 35(24)/(37) 35(23)/(37) 21(22)/(37) 7(21)/(37) 1(20)/(37) J’utilise ma calculatrice dans le Menu STAT avec des effectifs entiers, puis je lis Σx = 5103 et Σx² = 15309 : E(X) = Σ ni xi = (1(27)/(37)) (0) + (7(26)/(37)) (1) + … + (1(26)/(37)) (7) = 5103/(37) = 7/3 = n p σ(X) = √[Σ ni xi² - (E(X))²] = √[(1(27)/(37)) (0²) + (7(26)/(37)) (1²) + … + (1(26)/(37)) (7²) - (7/3)²] = √[(15309/(37)) - (7/3)²] = √[ ( 15309 - 7²(35) ) / (37) ] = √[ 3402/ (37) ] = √[ 14 / 9 ] = √[ n p ( 1 – p ) ] xi 1 2 3 4 5 6 7 ni 1(27) 7(26) 21(25) 35(24) 35(23) 21(22) 7(21) 1(20)