Exercice 6 : Soit la pyramide suivante : 1000 Ligne 1 980 976 972 968 964 960 956 952 etc... 1°) Combien faut-il de nombres pour remplir 20 lignes ?

1°) Combien faut-il de nombres pour remplir 20 lignes ? Soit la pyramide suivante : 1000 Ligne 1 996 992 988 984 Ligne 2 980 976 972 968 964 960 956 952 etc...

1°) Combien faut-il de nombres pour remplir 20 lignes ? Je nomme Nn le nombre de termes wn pour remplir n lignes, et un le nombre de termes de la ligne n. u1 = 1 u2 = 4 u3 = 7 etc... un+1 = un + 3 donc la suite (un) est une suite arithmétique, donc un - u1 = ( n - 1 ) r donc un = u1 + ( n - 1 ) r = 1 + ( n - 1 ) 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2 Nn = u1 + u2 + ... + un La suite (un) est une suite arithmétique, donc Nn = nb de termes ( 1er terme + dernier terme ) / 2 Nn = n ( u1 + un ) / 2 = n ( 1 + (3n - 2) ) / 2 = n ( 3n - 1 )/2 N20 = 20 ( 3(20) - 1 )/2 = 590 Il faut 590 nombres pour remplir 20 lignes.

2°) Quels sont les premier et dernier nombre de la 40ème ligne ? Je les appelle Xn et Yn. D’après la question 1°), pour remplir 39 lignes il faut N39 = 39 ( 3(39) - 1 ) /2 = 2262 termes. Xn est le 1er terme de la ligne suivante, donc le 2262 + 1 = 2263ème terme. w1 = 1000 w2 = 996 w3 = 992 etc... wn+1 = wn - 4 donc la suite (wn) est une suite arithmétique, donc wn - w1 = ( n - 1 ) r donc wn = w1 + ( n - 1 ) r = 1000 + ( n - 1 ) (- 4) = 1000 - 4n + 4 = 1004 - 4n X40 = w2263 = 1004 - 4(2263) = - 8048

Yn est le dernier nombre de la ligne 40, et pour remplir 40 lignes il faut N40 nombres ; N40 = 40 ( 3(40) - 1 ) /2 = 2380 nombres, donc Y40 = w2380 = 1004 - 4(2380) = - 8516 Les premier et dernier nombre de la 40ème ligne sont - 8048 et - 8516. Comme je vais avoir besoin à d’autres questions des 1er et dernier nombre d’autres lignes, je vais généraliser ce que je viens de faire : Xn = wN’ = 1004 - 4 N’ avec N’ = Nn-1 + 1 = [(1/2) (n - 1) (3(n-1) - 1)] + 1 = (1/2)(n - 1)(3n - 4) + 1 donc Xn = wN’ = 1004 - 4[(1/2)(n - 1)(3n - 4) + 1] = 1004 - 2(n - 1)(3n - 4) - 4 = 1004 - 2( 3n² - 3n - 4n + 4 ) - 4 = 1004 - 6n² + 14n - 8 - 4 = - 6n² + 14n + 992 Vérification : X40 = - 6(40²) + 14(40) + 992 = - 9600 + 560 + 992 = - 8048 OK et Yn = wN = 1004 - 4N =1004 - 4[(1/2)n(3n - 1)] = 1004 - 2n(3n - 1) = 1004 - 6n² + 2n = - 6n² + 2n + 1004 Vérification : Y40 = - 6(40²) + 2(40) + 1004 = - 9600 + 80 + 992 = - 8516 OK

3°) Quelle est la somme de la 25ème ligne ? Je la nomme S25. S25 = Xn + ... + Yn qui sont tous des termes de la suite arithmétique (wn), donc Sn = nb de termes ( 1er terme + dernier terme ) / 2 = un ( Xn + Yn ) / 2 = (3n - 2) [ (- 6n² + 14n + 992) + (- 6n² + 2n + 1004) ] / 2 = (3n - 2) [ - 12n² + 16n + 1996 ] / 2 = (3n - 2) [ - 6n² + 8n + 998 ]   S25 = (3(25) - 2) [ - 6(25²) + 8(25) + 998 ] = - 186296 

4°) Quelle ligne contient le nombre le plus proche de 0 ? wn = 0 1004 - 4n = 0 - 4n = - 1004 n = - 1004 / (- 4) = 251 donc w251 = 0 ou le nombre le plus proche de 0. Quelle ligne contient w251 ? Il faut avoir un nombre N de termes qui atteigne au moins 251 pour que la dernière ligne contienne w251. N ≥ 251 (1/2) n ( 3n - 1 ) ≥ 251 n ( 3n - 1 ) ≥ 2(251) 3n² - n - 502 ≥ 0 Δ = (- 1)² - 4 (3) (- 502) = 6025 n1 = [ - (- 1) + √ 6025 ] / [ 2 (3) ] ≈ 13,1 et n2 = [ - (- 1) - √ 6025 ] / [ 2 (3) ] ≈ - 12,8 Le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’extérieur des racines et on veut qu’il soit ≥ à 0 donc n  ] - ∞ ; n2 ]  [ n1 ; + ∞ [ n est un entier naturel donc n  { 14 ; 15 ; etc... } La première ligne qui contient w251 = 0 est la 14ème ligne.

5°) Quelle ligne a la somme la plus proche de 0 ? La 14ème ligne contient 0, mais n’est pas forcément celle dont la somme est la plus proche de 0, car les lignes n’ont pas le même nombre de termes, et w251 = 0 peut être très proche de l’une des deux extrémités de la 14ème ligne. Donc la réponse est soit la 13ème ligne ( 0 serait alors le 1er terme de la 14ème ligne, qui comporterait 0 puis que des nombres négatifs ), soit la 14ème, soit la 15ème ligne ( 0 serait alors le dernier terme de la 14ème ligne, qui comporterait que des nombres positifs puis 0 ). Les autres lignes comportent des nombres de mêmes signes, donc ne peuvent avoir une somme plus proche de 0 que les 13, 14 ou 15ème ligne. Sn = 0 (3n - 2) [ - 6n² + 8n + 998 ] = 0 3n - 2 = 0 ou - 6n² + 8n + 998 = 0 3n - 2 = 0 donne n = 2/3 qui est impossible puisque n est un entier naturel. - 6n² + 8n + 998 = 0 Δ = (8)² - 4 (- 6) (998) = 24016 n1 = [ - (8) + √ 24016 ] / [ 2 (- 6) ] ≈ - 12,2 et n2 = [ - (8) - √ 24016 ] / [ 2 (- 6) ] ≈ 13,6

n est un entier naturel donc il n’existe pas de ligne dont la somme est 0.   Remarque : 13,6 est plus proche de 14 que de 13, mais cela ne permet pas d’en déduire que la 14ème ligne est celle recherchée car les lignes n’ont pas le même nombre de termes ; seule la continuité de la fonction définie sur R permet d’éliminer la 12ème ligne qui ne comporte pas le nombre 0 mais a moins de termes que les 13 et 14ème lignes. S13 = (3(13) - 2) [ - 6(13²) + 8(13) + 998 ] = 3256 S14 = (3(14) - 2) [ - 6(14²) + 8(14) + 998 ] = - 2640 vérif : S12 = (3(12) - 2) [ - 6(12²) + 8(12) + 998 ] = 7820 Celle dont la somme est la plus proche de 0 est la 14ème ligne.

6°) Quelle ligne a la plus grande somme ? Soit la fonction définie sur R par f (x) = (3x - 2) [ - 6x² + 8x + 998 ] f ‘(x) = ( u  v )’ = u’ v + v’ u = 3 [ - 6x² + 8x + 998 ] + [ - 12x + 8 ] (3x - 2 ) = - 18x² + 24x + 2994 - 36x² + 24x + 24x – 16 = - 54x² + 72x + 2978 Δ = (72)² - 4 (- 54) (2978) = 648432 x1 = [ - (72) + √ 648432 ] / [ 2 (- 54) ] ≈ - 6,8 et x2 = [ - (72) - √ 648432 ] / [ 2 (- 54) ] ≈ 8,1 Le polynôme est du signe de a = - 54 < 0 à l’extérieur des racines. donc f ‘(x) ≤ 0 pour x  ] - ∞ ; x1 ]  [ x2 ; + ∞ [ et f ‘(x) ≥ 0 pour x  [ x1 ; x2 ]. Par le théorème de la monotonie, sur R+ on en déduit que f est strictement croissante sur [ 0 ; x1 [ et strictement décroissante sur ] x1 ; + ∞ [. On en déduit que la suite (Sn) est strictement croissante sur { 0 ; 1 ; ... 8 } et strictement décroissante sur { 9 ; 10 ; ... }.

x 0 1 2 … 8 x1 9 10 11 … + ∞ f’(x) + 0 - f(x) La fonction admet un maximum en x1 ≈ 8,1 qui n’est pas un entier, donc la suite admet un maximum soit en 8, soit en 9. Même remarque qu’à la question 5°) : 8,1 est plus proche de 8 que 9 mais ce n’est pas suffisant pour éliminer 9.

S8 = (3(8) - 2) [ - 6(8²) + 8(8) + 998 ] = 14916 S9 = (3(9) - 2) [ - 6(9²) + 8(9) + 998 ] = 14600 C’est donc la 8ème ligne qui a la plus grande somme   ( mais pas les plus grands termes, puisque c’est la 1ère ligne qui a le plus grand terme qui est 1000, ni le plus grand nombre de termes qui serait la ligne la plus éloignée du sommet ). Remarque : S1 = 1000 puis la suite est croissante, donc reste positive car le maximum est un nombre positif, donc si l’on atteint une image négative cela ne peut être que sur { 9 ; 10 ; … }, ce qui vérifie la méthode employée à la question précédente.