Exo 4 : Résoudre dans [ -15π ; -13π ] 4 sin² x – 2(√2 - 1)sinx - √2 < 0 …

Résoudre dans [ -15π ; -13π ] 4 sin² x – 2(√2-1)sinx - √2 < 0 Changement de variable : w = sin x 4 w² – 2(√2-1) w - √2 < 0 ∆ = [ – 2(√2-1) ]² – 4(4)(- √2 ) = 4( 2 - 2√2 + 1 ) + 16√2 = 8 - 8√2 + 4 + 16√2 = 8 + 8√2 + 4 = 12 + 8√2 ∆ > 0 donc deux racines w1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et w2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8

Résoudre dans [ -15π ; -13π ] 4 sin² x – 2(√2-1)sinx - √2 < 0 Changement de variable : w = sin x sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8

Quel est le « problème » actuel ? sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8 On ne trouve pas d’angle remarquable ayant ces sinus, donc on ne pourra répondre à l’exercice en valeurs exactes.

Quel est le « problème » actuel ? sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8 On ne trouve pas d’angle remarquable ayant ces sinus, donc on ne pourra répondre à l’exercice en valeurs exactes. 1ère méthode : on utilise la calculatrice, elle affiche 0,7071067812 et – 0,5 ( avec une calculatrice « normale » ) et √2/2 et – ½ ( avec une calculatrice plus évoluée ). Mais on ne pourra jamais prouver que ce sont des valeurs exactes.

2ème méthode : sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8 Pour que ces deux sinus ressemblent à des valeurs du tableau des angles remarquables, il faudrait qu’il n’y ait pas de …

2ème méthode : sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8 Pour que ces deux sinus ressemblent à des valeurs du tableau des angles remarquables, il faudrait qu’il n’y ait pas de racine du ∆, donc il faut réussir à démontrer que ∆ …

2ème méthode : sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8 Pour que ces deux sinus ressemblent à des valeurs du tableau des angles remarquables, il faudrait qu’il n’y ait pas de racine du ∆, donc il faut réussir à démontrer que ∆ est un carré. ∆ = √(12+8√2) obtenu précédemment par ∆ = [ – 2(√2-1) ]² – 4(4)(- √2 ) = 4( 2 - 2√2 + 1 ) + 16√2 = 8 - 8√2 + 4 + 16√2 = 8 + 8√2 + 4 = ( … )²

2ème méthode : sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √(12+8√2) ] / 8 et sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √(12+8√2) ] / 8 Pour que ces deux sinus ressemblent à des valeurs du tableau des angles remarquables, il faudrait qu’il n’y ait pas de racine du ∆, donc il faut réussir à démontrer que ∆ est un carré. ∆ = √(12+8√2) obtenu précédemment par ∆ = [ – 2(√2-1) ]² – 4(4)(- √2 ) = 4( 2 - 2√2 + 1 ) + 16√2 = 8 - 8√2 + 4 + 16√2 = 8 + 8√2 + 4 = ( 2 ( √2 + 1 ) )²

2ème méthode : w1 = sin x1 = [ 2(√2 – 1) + √∆] / 8 = [ 2(√2 – 1) + 2 ( √2 + 1 ) ] / 8 = [ 2√2 – 2 + 2√2 + 2 ] / 8 = 4√2 / 8 = √2/2 w2 = sin x2 = [ 2(√2 – 1) - √∆] / 8 = [ 2(√2 – 1) - 2 ( √2 + 1 ) ] / 8 = [ 2√2 – 2 - 2√2 - 2 ] / 8 = - 4 / 8 = - ½ Le polynôme est du signe de a = 4 > 0 à l’extérieur des racines, et on veut qu’il soit < à 0 donc w est dans ] - ½ ; √2/2 [ donc sin x est dans ] - ½ ; √2/2 [

sin x est dans ] - ½ ; √2/2 [ … √2/2 - ½

sin x est dans ] - ½ ; √2/2 [ donc x est sur le cercle en ces points :

sin x est dans ] - ½ ; √2/2 [ donc x est sur le cercle en ces points : √2/2 Les angles remarquables nécessaires sont : sin π/4 = √2/2 et sin π/6 = + ½ - ½

sin x est dans ] - ½ ; √2/2 [ On a les symétries géométriques : et avec les angles remarquables on a la valeur des angles

Intervalle [ -15π ; -13π ] - 15π = 0 – 7(2π) – π donc à partir de 0 je recule de 7 tours puis de ½ tour Amplitude = (-13π) – (-15π) = -13π + 15π = 2π = 1 tour

Intervalle [ -15π ; -13π ] - 15π = 0 – 7(2π) – π donc à partir de 0 je recule de 7 tours puis de ½ tour Amplitude = (-13π) – (-15π) = -13π + 15π = 2π = 1 tour

Intervalle [ -15π ; -13π ] Les solutions sont dans les intervalles suivants :

Intervalle [ -15π ; -13π ] Les solutions sont dans les intervalles suivants : d c dont il faut déterminer les bornes. a b

Intervalle [ -15π ; -13π ] Les solutions sont dans les intervalles suivants : d c a = - 15π + π/6 = - 89π/6 a b

Intervalle [ -15π ; -13π ] Les solutions sont dans les intervalles suivants : d c a = - 15π + π/6 = - 89π/6 b = a + 4π/6 = - 85π/6 a b

Intervalle [ -15π ; -13π ] Les solutions sont dans les intervalles suivants : d c a = - 15π + π/6 = - 89π/6 b = a + 4π/6 = - 85π/6 c = - 14π + π/4 = - 55π/4 a b

Intervalle [ -15π ; -13π ] Les solutions sont dans les intervalles suivants : d c a = - 15π + π/6 = - 89π/6 b = a + 4π/6 = - 85π/6 c = - 14π + π/4 = - 55π/4 d = c + 2π/4 = - 53π/4 a b

Intervalle [ -15π ; -13π ] Les solutions sont dans les 3 intervalles suivants : d c a = - 15π + π/6 = - 89π/6 b = a + 4π/6 = - 85π/6 c = - 14π + π/4 = - 55π/4 d = c + 2π/4 = - 53π/4 a b S = [ -15π ; - 89π/6 [ union ] - 85π/6 ; - 55π/4 [ union ] - 53π/4 ; -13π ]