Calculs des incertitudes Lundi 30 Avril 2018 Master de Management de la Qualité, de la Sécurité et de l’Environnement

Plan: Introduction Incertitude absolue et relative Incertitude de type A Incertitude de type B Incertitude composées Conclusion

Introduction La pratique des sciences fondamentales et appliquées conduit à réaliser des mesures. Toute mesure est entachée d’erreurs aléatoires dues au matériel, aux paramètres physiques mis en jeu, et à l’opérateur ; ces erreurs ont des valeurs inconnues et l’on peut seulement les estimer.

LA NOTION D’INCERTITUDE DE MESURE incertitude Le mot incertitude signifie doute ; l’incertitude du résultat d’un mesurage reflète l’impossibilité de connaître exactement la valeur exacte du mesurande. Le concept d’incertitude est défini à partir du traitement probabiliste de l’erreur. L’incertitude de mesure U(M) L’incertitude de mesure U(M) est un paramètre, associé au résultat du mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient être raisonnablement attribuées au mesurande. Il faut donc pouvoir caractériser la dispersion des valeurs que peut prendre la valeur attribuée au mesurande. Une mesure de cette dispersion peut être obtenue à partir de l’écart-type de la grandeur aléatoire. 1

L’écart-type de M L’écart-type de M est appelé incertitude-type sur le résultat du mesurage, On note généralement u(M) cette incertitude-type sur M. type A L’évaluation des incertitudes par des méthodes statistiques est dite de type A. Quand la détermination statistique n’est pas possible, on dit que l’évaluation est de type B type B. C’est le cas d’une mesure unique réalisée avec un appareil de classe connue. L’incertitude-type composée L’incertitude-type composée permet de tenir compte à la fois des incertitudes de type A et de type B qui impactent la valeur obtenue du mesurande. 2

L’incertitude absolue L'incertitude absolue ∆x est l'erreur maximale que l'on est susceptible de commettre dans l'évaluation de x. L'incertitude absolue s'exprime donc dans les unités de la grandeur mesurée. Exemple 1: Exemple 1: On réalise 3 relevés de la température d’un patient, on obtient: 36,7°37,1°37,2° Quelle est l’incertitude absolue sur ces relevés ? On calcule la moyenne des ces mesures et on obtient: (36,7 + 37,1 + 37,2) / 3 = 37°C On prend le plus grand écart entre cette moyenne et nos mesures: 37 – 36,7 = 0,3°C Notre incertitude absolue Δx est donc estimée à 0,3°C 3

Incertitude relative L'incertitude relative ∆x/x représente l'importance de l'erreur par rapport à la grandeur mesurée. L'incertitude relative n'a pas d'unités et s'exprime en général en % (100∆x/x). Exemple 2 Exemple 2: Si l’on reprend l’exemple précédent, Δx = 0,3°C Ainsi, l’incertitude relative sur la seconde mesure est Δx / x = 0,3 / 37,1 = 8, soit 0,9%. 4

Les relations concernant incertitude 5

Incertitude de type A (incertitude de répétabilité) Un même opérateur effectue n mesures du même mesurande m dans les mêmes conditions. Si les valeurs mesurées sont différentes, alors il y a une erreur de répétabilité dont l’origine est souvent inconnue. D’une mesure à l’autre, cette erreur peut prendre une valeur différente : l’erreur de répétabilité est une erreur aléatoire. Elle est évaluée par une méthode statistique. La meilleure estimation du résultat de la mesure est donnée par la moyenne arithmétique : On détermine l’écart-type  n-1 = 6

Incertitude de type A (incertitude de répétabilité) On détermine l’incertitude type de répétabilité u(m) du mesurande m à l’aide de la relation suivante : Comme le nombre de mesures est limité, on introduit le facteur d’élargissement k (ou coefficient de Student t(n;x%)) qui dépend du nombre de mesures n et de l’intervalle de confiance (x%) choisi. L’incertitude élargie sur le mesurande se calcule avec la relation : U(m) = k × u(m) = t(n ;x%) × u(m) 7

Incertitude de type A (incertitude de répétabilité) Essain° 1n° 2n° 3n° 4n° 5 m (g)22,8522,8722,8122,7922,84 8

Incertitude de type A (incertitude de répétabilité) Pour une série de mesures et un intervalle de confiance de 95 %, le coefficient d’élargissement (coefficient de Student) vaut t(5 ;95%) = 2,57 L’incertitude élargie de répétabilité de cette série de mesures sera : U(m) = t(5 ;95%) × u(m) = 2,57× 0,071 = 0,18 g, Conclusion : la masse m de cet échantillon vaut : M = (22,83 ± 0,18) g soit M = (22,8 ± 0,2)g 9

Incertitude de type B L’évaluation de l’incertitude de type B est effectuée par des moyens autres que l’analyse statistique de série d’observations. Elle est basée sur la connaissance de la loi de probabilité suivie par le mesurande. Différents cas peuvent se présenter : Le constructeur fournit l’incertitude-type u(m). Dans ce cas, on utilise directement son incertitude. Pour une mesure avec un instrument à graduation (appareil à cadran, lecture d’un réglet, d’un thermomètre …) 10

Incertitude de type B 11

Incertitude de type B Dans la majorité des cas, lorsqu’on a une estimation de type B, on peut montrer que le coefficient d’élargissement k à retenir pour un niveau de confiance de 95 % est k = 2 et pour un niveau de confiance de 99 %, k = 3. L’incertitude élargie U(m) est donnée par la relation : U(m) = k × u(m) Exemple 1 : Un thermomètre à alcool indique une température de = 20,0 °C. La résolution du thermomètre est de 0,5 °C, elle correspond une graduation du thermomètre. 12

Incertitude de type B 13

Incertitude de type B

Incertitude type composée 1.Composition des incertitudes A et B Dans le cas où l’on dispose d’une série de mesures et que chacune d’entre elles est affectée d’une incertitude de type B, on obtient l’incertitude-type composée : 15

Incertitude type composée Cas d'une mesure unique Comme il n'y a qu'une seule mesure effectuée, urép=0 donc : 16

Incertitude type composée 2. Propagation des incertitudes Lorsque X se déduit par calcul à partir de Y et Z connues avec une incertitude-type, la valeur de X est elle aussi entachée d’incertitude. Le calcul de u(X) se fait à partir de u(Y) et u(Z). 17

Conclusion 19

Merci beacoup de votre attention ! À vos Questions !