Axiomatique de Von Neumann et Morgenstern M. Clévenot 2017-2018 Partie 2

L’économie de l’assurance est issue de deux domaines qui étaient restés séparés jusqu’au début des années 1960, les statistiques et l’économie de l’incertain. L’économie de l’incertain ou de la prise de décision en univers incertain tente de comprendre comment les agents prennent lors décision lorsqu’ils se trouvent dans une configuration où ils ne possèdent pas toute l’information nécessaire à une prise de décision. Soit qu’ils ne connaissent pas à l’avance les conséquences de leurs décisions car ils se trouvent en interaction avec d’autres agents soit en raison d’un environnement économique changeant (phénomène de contingence). Dans ce type d’environnement de nombreuses questions se posent sans qu’il soit malheureusement possible d’y répondre de manière complète. C’est pour cette raison que va être développée une axiomatique, c'est-à-dire un ensemble d’hypothèses raisonnables mais restrictives visant à limiter le champ des possibles pour pouvoir modéliser les comportements raisonnables des agents économiques.

On peut parler de noyau dur au sens de Lakatos On peut parler de noyau dur au sens de Lakatos. Si on n’accepte pas cet ensemble d’hypothèses, on ne peut pas traiter de l’économie de l’assurance, ou bien il faut développer un autre noyau dur, une nouvelle approche. Le premier élément qui vient délimiter l’axiomatique de Von Neumann Morgenstern est qu’il existe deux notions différentes : la notion de risque et la notion d’incertitude. Cette distinction est réalisée par F. Knight dans son ouvrage de 1921 Risk, Uncertainty and Profit et Keynes A Treatise on Probability 1921

Le risque correspond au contraire à des systèmes fermés où il est possible de déterminés précisément les probabilités d’occurrences des événements ainsi que de quantifier leurs conséquences. Les loteries sont des systèmes fermés. On verra qu’elles sont utilisées fréquemment afin de représenter les comportements des agents en univers incertain, probabilisable. L’incertitude correspond à des systèmes ouverts au sens de Faber et Proops. C'est-à-dire que l’ensemble des événements possibles n’est pas défini ex ante. Autrement dit, on ne peut uniquement connaître tous les Etats de la nature possibles avec leurs conséquences qu’après qu’ils se soient réalisés. Limite de l’inférence statistique, le signe noir, le soleil.

On parle également d’incertitude radicale et d’incertitude probabilisable. Pour résumer en simplifiant, il y a les risques quantifiables et non quantifiables. L’assurance s’intéresse aux premiers, les seconds ne pouvant être tarifés dans le cadre d’un contrat d’assurance. L’économie de l’incertain va donc abandonner une partie des événements possibles car on pourra les traiter dans ce cadre. Un autre élément de complexité entre dans les questions touchant aux décisions prises en univers incertain. C’est le passage de probabilités subjectives à des probabilités objectives. Chaque agent économique en fonction de son éducation, de son milieu sociale, de son niveau de patrimoine et de richesse va aborder la notion de risque avec des aprioris différents.

Certains, très riches pourront prendre des risques importants du fait qu’ils détiennent un coussin de sécurité important. D’autres aussi riches mais plus prudents auront peur de s’engager dans telles aventures. Réciproquement, des gens pauvres n’ayant rien à perdre pourraient être tentés de se lancer des activités fortement risqués. Au contraire, sans le sou, et ne souhaitant pas perdre le peu qu’ils possèdent, ils adopteront une attitude prudente. Le propos ici est de souligner la divergence de l’appréciation du risque en fonction des individus. Ainsi trois type de comportement vont être identifiés, les individus adverse au risque, les prudents, les individus indifférents au risque, afin les individus qui apprécie le sel du risque. Ces notions seront définies formellement dans le cadre de l’utilité espérée.

On peut également ajouter qu’un individu peut voir ses probabilités subjectives évoluer au cours du temps. Les personnes âge sont plus attachées à leur sécurité, les adolescents au contraire sont disposés à prendre des risques. Par ailleurs en fonction de la structure des risques, des gains et des pertes des positions différentes pourraient être adoptés qui ne serait pas congruente vis-vis de l’axiomatique VNM. On verra ainsi le paradoxe de Allais. L’axiomatique VNM sans pouvoir répondre à l’ensemble de ces limites va néanmoins constituer le bloc à partir duquel l’économie de l’assurance est construite. Il faut avoir conscience de ces limites, mais par définition le risque et la subjectivité des agents ne peuvent entièrement entrer dans un cadre formel quantifiable. Néanmoins cette approche permet d’aborder de manière cohérente et systématique les problématiques assurantielles, c’est le cadre à traves lequel on peut essayer de modéliser le comportement des agents face au risque. Dans cette partie on va tenter d’appréhender les notions théoriques de base qui régissent le fonctionnement des assurances. Ces notions sont l’aversion au risque, la prime de risque, l’équivalent certain, l’espérance d’utilité et surtout les hypothèses qui composent l’axiomatique Von Neumann Morgenstern.

La théorie de la décision en univers incertain : Habituellement, la microéconomie décrit le comportement des agents en fonction d’alternatives qui sont certaines. Un consommateur va chercher à maximiser son utilité en fonction de ses préférences qui sont connues, de sa contrainte budgétaire ainsi que des prix des biens et des services auxquels il peut accéder eux-mêmes connus. Dans la réalité les choses sont un peu plus complexes. Un agent s’il décide de produire un certain type de produit ne connait pas à l’avance le montant de la demande pour ce type de bien, il doit donc choisir, ce choix constitue une prise de risque.

Cette prise de risque peut être présentée en fonction de 3 critères : le critère d’action qui relève du choix de l’acteur, le critère lié à l’état de la nature, dans cet exemple le niveau de la demande, et enfin la probabilité de réalisation des différents états de la nature. L’idée principale est que les gains réalisés sont conditionnés par des événements qui ne sont pas sous le contrôle de l’agent individuel. Ces situations peuvent être représentées sous la forme de distribution de probabilité ou de loterie. Mais au final, ces représentation vont servir à établir les niveaux de primes qui pourront être exigées par les assureurs pour se couvrir de divers risques. Ce qui va guider l’agent c’est l’espérance d’utilité de sa richesse. Son critère de décision consiste à choisir la distribution de la richesse finale qui lui permettra de maximiser son espérance d’utilité.

L’axiomatique Von Neumann Morgerstern, le critère d’utilité espéré pour dépasser les limites de l’approche statistique Dans ces situations, les statistiques seules ne peuvent répondre de manière satisfaite à l’établissement de critères de décision. Si on considère les deux loteries suivante on verra que les statisques ne permette pas de rendre compte des comportement dans l’incertain.

Soit un agent joue à la loterie suivante, il peut gagner le montant Z ou – Z avec les probabilité ½, ½. L’espérance de gain de la loterie s’ecrit donc : E(l0) = ½*Z+1/2*(-Z) = 0 La seconde loterie le gain vs. la perte est nulle E(l0) =0 A partir de la seule espérance de gain, il n’est pas possible de faire un choix entre ces deux loteries car leur espérance est la même. Pourtant dans la réalité, les agents vont effectuer des choix que le seul critère d’espérance mathématique ne peut résoudre. Il faut donc trouver autrechose. Avant d’aller plus loin nous revenons sur les notions de base permettant de caractériser les prises de décision dans l’incertain.

États de la nature e1 ei en a1 R1,1 R1,i R1,n aj Rj,1 Rj,i Rj,n am Rm,1 Rm,i Rm,n Prob{e} Prob{e1} Prob{ei} Prob{en} Actions

États du temps Temps humide (e1) Temps moyen (e2) Temps sec (e3) Blé Rb,h Rb,m Rb,s Maïs (a2) Rm,h Rm,m Rm,s Prob{e} Prob{h} Prob{m} Prob{s} Choix de la culture

États du temps Temps humide Temps moyen Temps sec Blé Rb,h 4 t/h Rb,m Rb,s Maïs Rm,h 5 t/h Rm,m Rm,s 3 t/h Prob{e} Prob{h} 0.35 Prob{m} 0.5 Prob{s} 0.15 Choix de la culture Les probabilities de survenu des different états de nature peuvent être établis en fonction de relevés passés de la météo dans la région.

A partir de l’ensemble de ces combinaisons Rb,h; Rb,m; Rb,s; Rm,h; Rm,m; Rm,s un ordre de préférence va pouvoir être établi Cet ensemble de résultats forme un cardinal C’est à dire un nombre fini de résultats que l’on peut ordonné

Temps humide Temps moyen Temps sec blé Rb,h 1,4 Rb,m 2,1 Rb,s Maïs L’ensemble des combinaisons va permettre d’établir un ordre de préférence entre toutes ces situations: un cardinal Temps humide Temps moyen Temps sec blé Rb,h 1,4 Rb,m 2,1 Rb,s Maïs Rm,h 1,75 Rm,m Rm,s 1,05

Toutes les résultats des actions de l’agent peuvent être transformé en un loterie à partir de la connaissance du cardinal. Cela signifie que l’on ôte les résultats identiques, mais si des résultats identiques sont possible c’est leur probabilité qui évolue. Quel que soit l’action ménée appartenant à l’ensemble des actions possibles, il existe une probabilité associée à cette action telle que, cette probabilité soit supérieure ou égale à zéro et que la somme de probabilité formée par cette loterie soit égale à 1.

Probabilité que l’action aj conduise au l ième résultat de C* Une action aj peut être caractérisée de la façon suivante : Ou encore :

P(a1)={ 0, 0.5, 0.5,0} P(a2)={ 0.15, 0.35, 0.5} On remarque que les loteries ne diffèrent pas par leurs résultats (les éléments de C) mais diffèrent par les distributions de probabilité p(aj).

Soit l’utilité espérée définit en 1947 par VNM Nous allons définir une relation de préférence dans l’ensemble P et demander à cette relation de vérifier l’axiomatique de Von Neumann et Morgenstern Soit l’utilité espérée définit en 1947 par VNM Von Neumann Oskar Morgenstern (Görlitz 1902 - Princeton 1977) (1903-1957)

Intérêt de l’approche VNM en terme d’utilité espérée (1947) Séparation entre les croyances sur les sources de l’incertitudes représenté par des probabilité sur des évenements incertains, de l’utilité pour les gains certains La séparation entre des situations de risque où les probabilités sont données (jeu de roullette) et des situations où ces probabilités ne sont pas connue (course de cheveaux) est levée. C’est le modèle d’espérance subjective d’utilité de Savage (1954) qui permet le passage de situation d’incertitude à des situation de risque probabilisable. Mais les probabilités ne sont plus objectives, mais subjective.

L’axiomatique de VNM A-1- L’axiome de comparabilité, réflexivité Il faut supposer que deux distributions de probabilités pourront toujours être comparées. A-2- L’axiome de transitivité Cet axiome traduit une rationalité pure qui induit la cohérence entre les classements Les axiomes A1 et A2 forment un préordre, ie une relation une relation binaire réflexive et transitive. Elle est dite totale si elle est complete. Paradoxe de Condorcet, Paradoxe de Allais

A-3- L’axiome d’indépendance forte ou de substitution Cet axiome peut s’interpréter de la façon suivante : L’attitude d’un individu face aux deux loteries ne devra dépendre que de son attitude face à p et q et non pas de la façon d’obtenir p et q.

A-4- L’axiome de continuité ou d’Archimède L’analogie avec le principe d’Archimède vient du fait que : quelque soit un couple (z , z’) de deux entiers naturels, il existe toujours un entier naturel k tel que : kz > z’

Sous les axiomes A-1, A-2, A-3, A-4, il existe une fonction u telle que : Dans le cadre de l’axiomatique établie précédement, la fonction d’utilité espérée de VNM permet de comparer de manière satisfaisante les critères qui vont conduire aux choix de différentes loteries des agents et de pouvoir les comparer.

Limite de VNM Le paradoxe de Allais Soient les loteries : B=L(3 000 €, 0 € ; 1, 0) Soient les loteries : C=L(4 000 €, 0 € ; 0.2, 0.8) D=L(3 000 €, 0 € ; 0.25, 0.75)

u(3000 €) > 0.8 u(4000 €) 0.2 u(4000 €) > 0.25 u(3000 €) 0.8 u(4000 €) > u(3000 €)

L’aversion vis à vis du risque L’attitude face au risque : On suppose qu’un individu a une richesse initiale w0 et détient une loterie . Sa richesse finale est notée : L’agent a le choix entre garder ou obtenir de façon certaine

Si l’agent préfère obtenir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale que la richesse finale, on dit que l’agent est risquophobe. Si l’agent préfère garder sa richesse finale plutôt que d’obtenir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale, on dit que l’agent est risquophile. Si l’agent est indifférent entre avoir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale et aa richesse finale, on dit que l’agent est neutre par rapport au risque.

Soit la loterie : La richesse finale est donc : Nous devons comparer : Avec :

1er cas : agent risquophobe :

2ème cas : agent risquophile :

3ème cas : agent neutre vis à vis du risque :