Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH de côté a et le tétraèdre BDEG. Déterminez sa perspective cavalière ( en prenant a = 10 cm ), son patron avec tous ses angles ( on tracera en prenant a = 4 cm ), l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé, et on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ).

Exercice 6 : Déterminez sa perspective cavalière Exercice 6 : Déterminez sa perspective cavalière ( en prenant a = 10 cm ), H G on dessine le cube ( qui servira d’explications ) ( A, B, C et D se suivent sur une face, E F E, F, G et H se suivent de la même façon sur l’autre face ) D C A B

Exercice 6 : Déterminez sa perspective cavalière Exercice 6 : Déterminez sa perspective cavalière ( en prenant a = 10 cm ), H G on dessine le cube ( qui servira d’explications ) E F puis le tétraèdre D C A B

H G Le tétraèdre est constitué … E F D C A B Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles ( on tracera en prenant a = 4 cm ), H G Le tétraèdre est constitué … E F D C A B

Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles ( on tracera en prenant a = 4 cm ), H G Le tétraèdre est constitué de 4 triangles, dont les arêtes sont toutes des diagonales E F de faces du cube, donc les 4 triangles sont équilatéraux. On tracera le patron en prenant a = 4 cm A-t-on toutes les longueurs nécessaires ? D C A B

Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles ( on tracera en prenant a = 4 cm ), H G Le tétraèdre est constitué de 4 triangles, dont les arêtes sont toutes des diagonales E F de faces du cube, donc les 4 triangles sont équilatéraux. On tracera le patron en prenant a = 4 cm A-t-on toutes les longueurs nécessaires ? a = 4 cm = longueur d’une arête du cube D C EB = longueur d’une arête du tétraèdre = ? A a B

Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles ( on tracera en prenant a = 4 cm ), H G Le tétraèdre est constitué de 4 triangles, dont les arêtes sont toutes des diagonales E F de faces du cube, donc les 4 triangles sont équilatéraux. On tracera le patron en prenant a = 4 cm A-t-on toutes les longueurs nécessaires ? a = 4 cm = longueur d’une arête du cube D C EB = longueur d’une arête du tétraèdre = ? Pythagore dans AEB : EB² = EA² + AB² = a² + a² = 2a² EB = 2a² = a 2 A a B

Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles Exercice 6 : Déterminez le patron avec tous ses angles ( on tracera en prenant a = 4 cm ), H G E F toutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D C triangles équilatéraux de côté de longueur GB. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = a √2 A B D E G D B D

Exercice 6 : Déterminez l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G E F toutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D C triangles équilatéraux de côté de longueur GC. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = a √2 A B D Aire = 4 × aire d’un triangle base × hauteur = 4 E K G 2 Pythagore dans DKG : DK = ? D B D

Exercice 6 : Déterminez l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G E F toutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D C triangles équilatéraux de côté de longueur GC. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = a √2 A B D Aire = 4 × aire d’un triangle Pythagore dans DKG : DK² + KG² = DG² base × hauteur a √2 ² = 4 DK² + = ( a √2 )² E K G 2 2 a² × 2 DK² = a² × 2 - = 2a² - 0,5a² = 1,5a² donc DK = 1,5a² = a √1,5 4

Exercice 6 : Déterminez l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G E F toutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D C triangles équilatéraux de côté de longueur GC. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = a √2 A B D Aire = 4 × aire d’un triangle Pythagore dans DKG : DK² + KG² = DG² base × hauteur a √2 ² = 4 DK² + = ( a √2 )² E K G 2 2 a √2 × a √1,5 a² × 2 = 4 = 2 a² √3 DK² = a² × 2 - = 2a² - 0,5a² = 1,5a² donc DK = 1,5a² = a √1,5 2 4

Exercice 6 : Déterminez le volume du tétraèdre. H G E F base × hauteur V = D C 3 A B Si je choisis comme base EGB, …

Exercice 6 : Déterminez le volume du tétraèdre. H G E F base × hauteur V = D C 3 A B Si je choisis comme base EGB, la hauteur est alors DJ, D avec J le centre de la base, et il faudra déterminer DJ avec …

Exercice 6 : Déterminez le volume du tétraèdre. H G E F base × hauteur V = D C 3 A B Si je choisis comme base EGB, la hauteur est alors DJ, D avec J le centre de la base, et il faudra déterminer DJ avec Pythagore et le centre de gravité.

Tétraèdres ABDE : FEGB ; CDBG ; et HEGD. Exercice 6 : Déterminez le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G E F Le cube est occupé par le tétraèdre étudié, D C et par 4 tétraèdres de mêmes dimensions, A B donc de même volume. Tétraèdres ABDE : FEGB ; CDBG ; et HEGD. Ils occupent chacun la moitié de 3 faces du cube, donc ½ × 3 faces du cube × 4 tétraèdres = 6 faces du cube Le tétraèdre BDEG étudié occupe 4 sommets du cube, il reste 8 – 4 = 4 sommets du cube, qui sont les sommets des 4 tétraèdres, en vis-à-vis des 4 faces du tétraèdre BDEG.

V = Vcube - 4 v = a3 - 4 ( ⅙ a3 ) = a3 - ⅔ a3 = ⅓ a3 Exercice 6 : Déterminez le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G E F Le cube est occupé par le tétraèdre étudié, D C et par 4 tétraèdres de mêmes dimensions, A A B donc de même volume. Par exemple tétraèdre ABDE : v = ⅓ base ABD × hauteur = ⅓ (½ base AD × hauteur AB) × EA = ⅓ ( ½ a × a ) × a = ⅙ a3 V = Vcube - 4 v = a3 - 4 ( ⅙ a3 ) = a3 - ⅔ a3 = ⅓ a3

On pourrait alors en déduire la hauteur du tétraèdre BDEG : H G E F base × hauteur V = D C 3 A B ( ½ × a √2 × a √1,5 ) × DJ ½ a² √3 × DJ ⅓ a3 = = ⅓ a3 3 3 3 × ⅓ a3 1 a 2 DJ = = = a ½ a² √3 ½ √3 √3