Méthodes de prévision (STT-3220) Section 4 Concepts fondamentaux de séries chronologiques Version: 8 novembre 2004

STT-3220; Méthodes de prévision 2 Modèles de régression versus modèles versus modèles de type ARIMA On a considéré jusquà maintenant des modèles de la forme: Les variables explicatives x t pouvaient être: – Fonctions du temps t. – Fonctions indicatrices, fonctions trigonométriques, etc. Paramètre : – Constant à travers le temps, ce qui nous amenait à lutilisation des modèles de régression linéaire multiple.

STT-3220; Méthodes de prévision 3 Rôle du lissage exponentiel Le lissage exponentiel tentait dadoucir lhypothèse que le est constant, en permettant des situations où change tranquillement dans le temps. Avec le lissage exponentiel, lidée est de donner plus de poids aux observations récentes, et moins aux observations passées.

STT-3220; Méthodes de prévision 4 Critique des techniques de lissage Conceptuellement, on a modélisé des données que lon présumait implicitement dépendantes, en utilisant des modèles où le terme derreur est non-corrélé! (Rappel: ) Si le terme derreur est non-corrélé, il en va évidemment de même pour la variable dintérêt z t. (exceptions notables: procédures de Cochrane-Orcutt, Hildreth-Lu et premières différences)

STT-3220; Méthodes de prévision 5 Modèles ARMA et ARIMA Classe de modèles issue de notre compréhension des processus stochastiques stationnaires, qui permet de modéliser un grand nombre de séries chronologiques, pouvant admettre une structure assez complexe de corrélation.

STT-3220; Méthodes de prévision 6 Séries chronologiques et processus stochastiques Série chronologique: On considère une série chronologique observée à des temps discrets 1, 2, …, n: z 1, z 2, …, z n ; cette série chronologique est une réalisation finie dun processus stochastique. Processus stochastiques: Famille infinie de variables aléatoires et T pourrait être de cardinalité infinie.

STT-3220; Méthodes de prévision 7 Rappels: fonctions de moyenne, fonction de covariance La fonction de moyenne est: La fonction de variance est:

STT-3220; Méthodes de prévision 8 Processus stationnaires au sens large Le processus est stationnaire au sens large (SSL) si les trois conditions suivantes sont satisfaites: – 1) Existence du second moment, – 2) La moyenne est invariante dans le temps: – 3) La covariance satisfait, pour tous t, s entiers:

STT-3220; Méthodes de prévision 9 Fonction dautocovariance Puisque, on pose: La fonction, est appelée la fonction dautocovariance de délai k du processus.

STT-3220; Méthodes de prévision 10 Propriétés de la fonction dautocovariance En particulier, – La propriété 2. est une application directe de linégalité de Cauchy-Schwartz:

STT-3220; Méthodes de prévision 11 Propriétés de la fonction dautocovariance (suite) 3. La fonction est symétrique par rapport à 0, i.e. paire, car: 4. La fonction est définie non-négative, i.e.

STT-3220; Méthodes de prévision 12 Fonction dautocorrélation Considérons maintenant: On pose:, qui est lautocorrélation de délai k. La fct est la fonction dautocorrélation de

STT-3220; Méthodes de prévision 13 Propriétés de la fonction dautocorrélation La fonction est définie non-négative, i.e. que

STT-3220; Méthodes de prévision 14 Bruit blanc (faible) Définition dun bruit blanc (faible): Une suite de variables aléatoires non-corrélées est un bruit blanc (faible). On note Dans ce cas, on remarque que:

STT-3220; Méthodes de prévision 15 Bruit blanc En particulier, un bruit blanc (faible) est stationnaire au sens large. Remarque: Si est iid, on dit que lon est en présence dun bruit blanc fort. Est-ce quun bruit blanc fort est bruit blanc faible?