Analyses des situations didactiques II - Analyse théorique

1 - Un concept à géométrie variable Qu’est-ce qu’une « analyse théorique » d’une situation didactique ? pas de définition standard différentes conceptions : une auberge espagnole diversité due aux différents objectifs de l’analyse: + du chercheur expérimentant une situation didactique + du formateur étudiant une situation pour ses apprentissages possibles et leurs obstacles + de l’enseignant pilotant sa classe en fonction d'un projet intégré dans une progression Le contenu de l’analyse dépend: + de l'objet de l'étude, + des raisons pour lesquelles elle est menée, + du public à qui elle est destinée.

2 - Une définition L'analyse théorique d'une situation didactique est l'ensemble des études qui concourent à : A - la connaissance du savoir en jeu (analyse épistémologique), B - la description de son fonctionnement dans l'évolution de la situation (analyse didactique), C - l’analyse des comportements possibles des élèves et leur gestion (analyse pédagogique).

3 - Remarques 1) Élève théorique 2) Professeur théorique L'analyse théorique n'a pas pour objet de rendre compte de comportements réellement observés. Elle peut s'inspirer des résultats de recherches ou d’expérimentations, s’ils repèrent des invariants donnant à ces comportements un statut de connaissance théorique. 2) Professeur théorique L'analyse ne prend pas en compte les choix personnels de l'enseignant mais peut examiner les effets de différents types de rapport au savoir que l'on peut rencontrer chez les enseignants en général.

3 - Remarques 3) Analyse a priori 4) Contrôle a posteriori Développée indépendamment de la situation de classe réelle, l’analyse théorique peut être menée avant sa mise en œuvre. D’où le terme d’analyse a priori souvent utilisé. Ne pas confondre analyse théorique et analyse préalable, celle-ci ayant pour but de préparer la gestion de la classe. 4) Contrôle a posteriori L’analyse théorique peut être complétée après la mise en œuvre de la situation, quand les faits observés révèlent ses insuffisances et suggèrent un retour réflexif sur celle-ci.

3 - Remarques 5) L’analyse théorique n’est pas une prévision - Elle permet de mieux cerner les objectifs d’une situation et de comprendre les comportements des élèves. - Elle n'a pas pour fonction d’anticiper sur le déroulement de la situation didactique, qui peut être très varié. - Différents choix de gestion de la classe donnent lieu à des évolutions divergentes. 6) Cadre de la théorie des situations didactiques La notion d'analyse théorique est liée à la théorie des situations, qui lui donne un cadre théorique où la question du milieu est centrale. Mais il ne faut pas limiter l'analyse théorique à l'analyse du milieu.

3 - Remarques 7) Un ensemble d'études Il n’y a pas de texte standard d'analyse théorique, mais des études différentes peuvent faire partie de l'analyse théorique : - épistémologie et histoire des concepts présents, - étude des champs conceptuels, - étude de la transposition didactique et de ses évolutions, - pré-requis, repérage des obstacles épistémologiques, - stratégies de résolution, - description des variables didactiques, - conceptions pré-construites, pré-acquis, - obstacles didactiques et autres, - éléments de contrat didactique et effets de contrat, - erreurs repérables, indices de maîtrise de savoirs, - éléments de validation présents dans le milieu (ou absents), - choix de formulations et d'institutionnalisation.

4 - Présentation d’une analyse théorique 1) Présentation de la situation - Présentation de la classe, niveau, contexte. - Progression dans laquelle s'insérera l'activité. Objectifs mathématiques, didactiques et pédagogiques. - Présentation de la tâche et des consignes telles qu'elles sont proposées aux élèves, mise en place du contrat didactique. - Choix pédagogiques éventuels (exposé magistral, rappels, travail autonome ou en groupes, découpage du temps de l'enseignement, consignes de comptes rendus, objectifs d'évaluation…). - Les attentes concernant les apprentissages produits et les moyens de repérer leurs effets.

4 - Présentation d’une analyse théorique 2) Organisation de l’analyse A) Analyse du savoir en jeu - Analyse mathématique, - Analyse épistémologique - Transposition didactique B) Analyse didactique - Connaissances des élèves - Analyse de la tâche - Rôle du professeur C) Gestion pédagogique

4 - Présentation d’une analyse théorique A) Analyse du savoir en jeu : Analyse mathématique - Notions mathématiques présentes dans le milieu. - Notions connexes implicites. - Champs conceptuels en jeu. - Stratégies de résolution possibles. - Cadres mathématiques et registres de représentations. - Pré-requis suivant les stratégies. - Éléments de validation présents dans le milieu.

4 - Présentation d’une analyse théorique A) Analyse du savoir en jeu : Analyse épistémologique - Histoire des notions et concepts clés, contextes de leur émergence et de leur évolution. - La place de ces concepts dans les mathématiques contemporaines (savoir savant). - Le fonctionnement des connaissances visées dans la pratique sociale. - Les obstacles épistémologiques repérables dans l'Histoire et dans les pratiques.

4 - Présentation d’une analyse théorique A) Analyse du savoir en jeu : Transposition didactique - Les différentes présentations de ce savoir en vue de l'enseigner. - Les phénomènes de transposition didactique, les créations didactiques de savoir à enseigner. - Évolution des programmes d'enseignement, mise en perspective scolaire de l'activité proposée.

4 - Présentation d’une analyse théorique B) Analyse didactique : Les connaissances des élèves - Leurs connaissances préalables (pré acquis), conceptions pré-construites, théorèmes et définitions en acte. - La mémoire de la classe. - Le contrôle des pré-requis (tests ?). - Les obstacles didactiques (ou psychologiques, techniques, ontogéniques...) possibles. - Les erreurs généralement observables dans cette situation.

4 - Présentation d’une analyse théorique B) Analyse didactique : L'analyse de la tâche - Analyse des variables didactiques, leurs effets sur les stratégies de résolution. - Changements de cadres possibles en fonction des consignes. - La décontextualisation ou les généralisations possibles. - Les réinvestissements envisageables

4 - Présentation d’une analyse théorique B) Analyse didactique : L’action du professeur - Analyse de la dévolution. - Éléments de contrat didactique, niveaux des preuves et démonstrations attendues. - Les connaissances et formulations à institutionnaliser. - Le dispositif d'évaluation. - Les réinvestissements envisageables

4 - Présentation d’une analyse théorique B) Analyse didactique : Le rôle de l’enseignant - Sa place dans la situation a-didactique. - Les éléments de savoir scolaire qu'il peut apporter dans le milieu. - Effets de contrat à sa disposition.

4 - Présentation d’une analyse théorique C) Gestion pédagogique: - Choix pédagogiques en fonction de l'évolution de l'activité. - Choix de variables didactiques. - Contexte de la dévolution. - Gestion des conjectures et stratégies proposées par les élèves. - Gestion des erreurs. - Gestion du temps de l'enseignement et du temps de l'apprentissage (phases didactiques et a-didactiques). - Gestion des effets de contrat. - Décisions d'institutionnalisations. - Choix d'exercices et de problèmes de réinvestissements. - Mise au point et analyse du dispositif d'évaluation.

5 - Exercices d’analyse théorique Le rectangle inscrit dans un triangle rectangle Le triangle ABC est rectangle en A. Quelle position pour le point P sur [B, C] pour que la longueur IJ soit minimale ? Même question pour un parallélogramme quand le triangle ABC n'est pas rectangle.

5 - Exercices d’analyse théorique Des cercles égaux inscrits dans un carré Peut-on calculer la valeur commune r des rayons de ces 5 cercles inscrits dans ce carré de 10 cm de côté ?

5 - Exercices d’analyse théorique Le plus court chemin pour aller chercher de l'eau Le bord de la rivière est rectiligne. Antoine est en A et doit apporter de l'eau en B. Il doit remplir son seau à la rivière. A quel endroit M doit-il le faire pour que la distance AM + MB soit la plus courte possible ?

5 - Exercices d’analyse théorique La feuille de papier trop petite Construire la droite qui passe par A et par l'intersection de d et d', sans sortir du rectangle.

5 - Exercices d’analyse théorique Une construction difficile On donne deux cercles concentriques, de centre O et de rayons respectifs r et R. Peut-on construire un carré dont les sommets sont situés sur les deux cercles? Combien y a-t-il de solutions ? Réinvestissement : construire un triangle équilatéral dont les sommets sont sur trois cercles concentriques.

5 - Exercices d’analyse théorique Un problème difficile d’arithmétique Existe-t-il un entier n tel que √n soit un rationnel non entier ?