Travaux Pratiques de physique Introduction : analyse graphique et erreurs de mesure Version du 28/09/2018

I. Analyse graphique : Lors d’une expérience de physique, on est souvent amené à faire une représentation graphique des résultats. II. Erreurs : On doit, aussi, systématiquement évaluer l’erreur qui entache une mesure.

I. Analyse graphique

Axes orthogonaux orientés : nom de la variable, symbole, unités Titre donnant plus d’informations que le nom des axes Unités et échelles appropriées + repères (pas trop) sur les axes (pas les mesures). Ne tenez pas compte de ceux déjà présents. L’échelle : occuper le plus d’espace possible sur la feuille, représenter tous les points => bien adapter l’échelle de chacun des axes, ne pas nécessairement commencer par zéro Report des barres d'erreurs Points expérimentaux marqués visiblement x ε x ± ε

=> Utilisation de différents types de graphes : Un graphique permet de visualiser la loi suivie par un phénomènes physique. Souvent ces lois peuvent être exprimées par trois types de fonctions : Linéaire Loi de puissance Exponentielle y = mx + p y = βxn y = aebx => Utilisation de différents types de graphes : Normal ou linéaire les deux échelles sont linéaires Log-Log Les deux échelles sont logarithmiques Semi-Log Une échelle est linéaire, l’autre logarithmique

Mais qu’est-ce qu’une échelle linéaire ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La distance entre deux graduations de l’échelle est proportionnelle à l’écart entre les valeurs de la grandeur représentée. Et une échelle logarithmique ? 1 2 3 4 5 6 La distance entre deux graduations de l’échelle est proportionnelle à l’écart entre les logarithmes (décimaux) de la grandeur représentée. … Δx Δx Δx Δx ÷ log(2) ÷ log(3)

L’échelle logarithmique est constitué d’un motif qui se répète Chaque motif est constitué d’une « base » correspondant à une puissance de 10 (en rouge) Chaque « base » est séparée du suivant d’un facteur dix A l’intérieur de chaque motif, les lignes représentent des multiples de la base correspondante Les nombres négatifs ne peuvent pas être représentés en échelle log Le zéro n’est pas représenté en échelle log X 10 X 10 … 50 40 X 10 30 20 … 5 X 10 4 3 2

Les graphes log-log et semi-log permettent de mieux visualiser les lois de puissances et d’exponentielle. Linéaire Loi de puissance Exponentielle y = ax + b y = βxn y = aebx Log-Log Semi-Log

Comment obtenir des informations quantitatives à partir de points expérimentaux formant une droite sur un repère linéaire/log-log/semi-log ?

Exemple de graphe linéaire : force nécessaire pour allonger un ressort

Exemple de graphe linéaire : force nécessaire pour allonger un ressort La « meilleure droite » : Passe au plus près des points expérimentaux Passe dans toutes les barres d’erreurs (ou le plus de barres d’erreurs possibles) Remarque : ne pas tenir compte des graduations sur votre graphe linéaire

Que peut-on tirer de ce type de graphe linéaire : La droite de la pente m, L’ordonnée à l’origine p, Choisir deux points bien éloignés P1(x1,y1) et P2(x2,y2) de la droite, Pour la pente de la droite : Pour l’ordonnée à l’origine : Dans l’exemple de l’élongation du ressort, la pente de la droite correspond à la constante de rappel du ressort, qu’on peut donc déterminer grâce au graphe F en fonction de d.

Exemple de graphe semi-log : croissance exponentielle du nombre de malades au début d’une épidémie

Que peut-on tirer de ce type de graphe semi-log : Des résultats suivant une loi exponentielle vont se placer suivant une droite sur le graphe semi-log : On peut trouver l’argument de l’exponentielle, a, et le facteur b. Choisir deux points bien éloignés de la courbe : P1(x1,y1) et P2(x2,y2), Pour b : Pour a : Dans l’exemple de l’épidémie, on peut déterminer le facteur T de croissance exponentielle du nombre de malades grâce au graphique.

Exemple de graphe log-log : évolution de la distance de freinage d’une voiture en fonction de sa vitesse initiale

Que peut-on tirer de ce type de graphe log-log : Des résultats suivant une loi de puissance vont se placer suivant une droite sur le graphe log-log : On peut trouver l’exposant de la loi de puissance, n, Et le facteur b. Choisir deux points bien éloignés sur le graphe log-log : P1(x1,y1) et P2(x2,y2), Pour n : Pour β : Dans l’exemple du freinage, on peut déterminer l’exposant (n=2) de la relation reliant la distance de freinage à la vitesse initiale grâce au graphique.

y = mx + p y = βxn y = aebx Linéaire Loi de puissance Exponentielle Normal ou linéaire les deux échelles sont linéaires Log-Log Les deux échelles sont logarithmiques Semi-Log Une échelle est linéaire, l’autre logarithmique

II. Erreurs

Même les physiciens font des erreurs Même les physiciens font des erreurs ! Lorsqu’on mesure une grandeur, il faut toujours s’interroger sur la précision de cette mesure. L’intervalle d’erreur d’une mesure correspond à l’intervalle dans lequel on est sûr de trouver le résultat. Voici quelques exemples d’erreur sur la mesure d’une distance : Mesure de la hauteur d’un enfant à la visite médicale, effectuée au mm près. Mesure de la distance entre deux villes sur l’autoroute, au km près. Mesure de la distance entre deux atomes dans une molécule avec une précision de 10-12 m. L’erreur sur la mesure: dépend de l’appareil utilisé ; est acceptable ou non en fonction du contexte de la mesure

L’intervalle d’erreur d’une mesure correspond à l’intervalle dans lequel on est sûr de trouver le résultat. Cela permet de comparer la compatibilité entre deux résultats de mesures. Exemple : on mesure la longueur d’un cube par deux techniques différentes. d1 = 10,19 cm ± 0,01 cm d2 = 10,17 cm ± 0,02 cm 10,20 10,19 10,18 10,17 10,16 10,15 Les barres d’erreurs indiquent des intervalles qui partagent des valeurs communes : on peut donc en déduire que les deux résultats sont compatibles ou égaux aux valeurs expérimentales près.

Vous devez toujours écrire le résultat de vos mesures sous la forme : Règle d’écriture du résultat : Grandeur à mesurer Résultat de la mesure Erreur sur la mesure Unités (Exemple : x = 4,580832 et eX = 0,007804) On commence toujours par arrondir l’erreur: Repérer le premier chiffre significatif (non nul) à partir de la gauche, S’il est plus grand ou égal à 5, on ne gardera que lui, après avoir arrondi correctement (exemple 0.71 => 0.7 ; 0.76 => 0.8,…) S’il est inférieur à 5, on garde ce chiffre et le suivant, correctement arrondi (exemple 0.236 => 0.24 ; 0.234 =>0.23,…) Ensuite, on arrondit le résultat au même niveau que l’erreur.

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804.

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804. Le premier chiffre significatif de εX est 7.

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804. Le premier chiffre significatif de εX est 7 supérieur à 5 d'où un seul chiffre à garder. Le chiffre suivant (8) étant supérieur à 5, on arrondit εX = 0,008

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804. Le premier chiffre significatif de εX est 7 supérieur à 5 d'où un seul chiffre à garder. Le chiffre suivant (8) étant supérieur à 5, on arrondit εX = 0,008 On gardera donc 3 chiffres après la virgule pour x. Le quatrième chiffre après la virgule de x est 8, supérieur à 5, donc on arrondit et finalement, on a : x = 4,581  0,008

Autres exemples : 2) x = 254,53488 et eX = 0,043585 3) x = 653,58856 et eX = 14,89867 4) x = 148532,253 et eX = 6285,624 5) x = 1601,253 et eX = 0,199

Autres exemples : 2) x = 254,53488 et eX = 0,043585  x = 254,535  0,044 3) x = 653,58856 et eX = 14,89867  x = 654  15 4) x = 148532,253 et eX = 6285,624  x = 149000  6000 5) x = 1601,253 et eX = 0,199  x = 1601,25  0,20

Deux types de mesures : Mesure directe : l’appareil donne directement la valeur de la grandeur recherchée, sans qu’on doive mesurer d’autres grandeurs. Deux cas possibles : Une seule mesure Plusieurs mesures Mesure indirecte : on ne sait pas obtenir la valeur d’une grandeur directement avec un appareil. Cette grandeur est calculée comme une fonction d’une ou plusieurs grandeur(s) que l’on a mesurées directement.

Deux types de mesures : Mesure directe : l’appareil donne directement la valeur de la grandeur recherchée, sans qu’on doive mesurer d’autres grandeurs. Deux cas possibles : Une seule mesure Plusieurs mesures Mesure indirecte : on ne sait pas obtenir la valeur d’une grandeur directement avec un appareil. Cette grandeur est calculée comme une fonction d’une ou plusieurs grandeur(s) que l’on a mesurées directement.

MESURES DIRECTES Une seule mesure : Lorsque l’appareil est peu précis, rien ne sert de faire beaucoup de mesures. Dans ce cas, l’erreur absolue est égale à la précision de l’appareil. Par exemple : Mesure d’une longueur avec une latte, erreur = 1 graduation = 1mm, Mesure d’une température au thermomètre, erreur = 1 graduation.

MESURES DIRECTES Un petit nombre de mesures : Dans ce cas, on répète les mesures pour avoir une meilleure précision. L’erreur est alors donnée par la règle suivante : On prend la valeur moyenne des déterminations comme résultat de la mesure, On prend comme erreur absolue la somme de la précision de l'instrument et de la valeur absolue du plus grand écart à la valeur moyenne. Exemple : mesures d’une longueur L à 0,01 mm près, 25,55 / 25,60 / 25,59 / 25,60 / 25,58 / 25,62 mm Moyenne : < L > = 25,59 mm Ecarts entre la moyenne et chacune des valeurs : 0,04 / 0,01 / 0 / 0,01 / 0,01 / 0,03 mm Erreur = Plus grand écart + Erreur de mesure = 0,04 + 0,01 = 0,05 mm L = (25,59 + 0,05) mm

Deux types de mesures : Mesure directe : l’appareil donne directement la valeur de la grandeur recherchée, sans qu’on doive mesurer d’autres grandeurs. Deux cas possibles : Une seule mesure Plusieurs mesures Mesure indirecte : on ne sait pas obtenir la valeur d’une grandeur directement avec un appareil. Cette grandeur est calculée comme une fonction d’une ou plusieurs grandeur(s) que l’on a mesurées directement.

MESURES INDIRECTES Exemple de calcul d’erreur d’une mesure indirecte : On doit mesurer le volume d’un cube. On mesure un des côtés c0 = 5,10  0,10 cm On calcule le volume du cube : V = c0³ = 132,651 cm³ Sachant que l’erreur sur la longueur est de 0,10 cm, que vaut l’erreur sur le volume ?

c0 = 5,10  0,10 cm signifie que la véritable longueur du coté du cube est comprise entre 5,10-0,10 et 5,10+0,10 cm. V [cm³] ≈ 132,651 + εV ≈ 132,651 - εV 5,10 132,651 C [cm] 5,20 5,00 Grâce au graphe du volume du cube en fonction de la longueur de son côté, on peut visualiser les différentes valeurs possibles que peut prendre le volume quand la longueur du côté est comprise entre 5,10-0,10 et 5,10+0,10 cm.

V [cm³] 5,20 5,00 ≈ 132,651 + εV ≈ 132,651 - εV 5,10 132,651 C [cm] Autour de 5,10 cm, la fonction V ≈ tangente de la fonction en 5,10 cm => On va calculer l’erreur à partir de cette tangente

Le calcul donne : On mesure un des côtés c0 = 5,10  0,10 cm On calcule le volume du cube : V = c0³ = 132,651 cm³

est la dérivée partielle de la fonction f par rapport à xi MESURES INDIRECTES Donc quand u = f(x) est une fonction d’une variable, l’erreur est donnée par : Et quand u = f(x1,x2,…) est une fonction de n variables, l’erreur est donnée par : est la dérivée partielle de la fonction f par rapport à xi

MESURES INDIRECTES Mais qu’est-ce qu’une dérivée partielle? La dérivée partielle de f par rapport à x1 revient simplement à la dérivée « normale » de f par rapport à x1 en considérant toutes les autres variables (x2, x3, …) comme des constantes. Exemple, en prenant des fonctions de deux variables a et b : f(a,b) = ab f(a,b)= a+b2 f(a,b)= cos(a/b)

MESURES INDIRECTES Mais qu’est-ce qu’une dérivée partielle? La dérivée partielle de f par rapport à x1 revient simplement à la dérivée « normale » de f par rapport à x1 en considérant toutes les autres variables (x2, x3, …) comme des constantes. Exemple, en prenant des fonctions de deux variables a et b : f(a,b) = ab f(a,b)= a+b2 f(a,b)= cos(a/b)

MESURES INDIRECTES Exemple de calcul d’erreur d’une mesure indirecte : On connaît la période d’une balançoire T = 5,10  0.10 s Et on veut calculer la fréquence de la balançoire f = 1/T et ef

MESURES INDIRECTES Exemple de calcul d’erreur d’une mesure indirecte : On connaît la période d’une balançoire T = 5,10  0.10 s Et on veut calculer la fréquence de la balançoire f = 1/T et ef f = 1/5.1 = 0.19607 Hz

MESURES INDIRECTES εf = 0.0038 Hz Exemple de calcul d’erreur d’une mesure indirecte : On connaît la période d’une balançoire T = 5,10  0.10 s Et on veut calculer la fréquence de la balançoire f = 1/T et εf f = 1/5.1 = 0.19607 Hz Écriture du résultat : εf = 0.0038 Hz On arrondit f au même niveau : f = 0.1961 Hz => f = (0.1961  0.0038) Hz

ERREUR RELATIVE Tout ce qui précède concerne les erreurs absolues sur une mesure ou un résultat de calcul. On peut aussi travailler avec l’erreur relative εr, définie comme suit : Exemple, on mesure la taille d’un objet au millimètre près : L = (25  1)mm L’erreur relative sur cette mesure vaut donc 1/25 = 0,04 = 4% L’erreur relative n’a pas d’unité, elle peut être exprimée en « % ». Les erreurs relatives sont intéressantes à utiliser lorsqu’on veut comparer la précision de deux mesures.

LE PIED A COULISSE

Pour plus de facilité: tout exprimer en « mm » ! LE COMPAS PALMER Pour plus de facilité: tout exprimer en « mm » !

Groupes de 3. Votre numéro de table est inscrit en haut sur votre table. Vous garderez le même numéro (et la même table) toute l’année. Chaque étudiant rend un rapport à la fin. Les techniciens et moi-même passeront dans les groupes pour vous expliquer le fonctionnement du pied à coulisse et du compas palmer. Prendre connaissance des règlements du labo et des examens notamment disponibles sur le moodle. Remplir la fiche de présence et la rendre avant la fin de séance. Tables 1->10 et 23-24, commencer « graphique ». Tables 11->20 et 21-22, commencer « erreurs »