Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : 1°) X = (ABD) ∩ (ACE) A B C D E

Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : 1°) X = (ABD) ∩ (ACE) A B C D E

A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : 1°) X = (ABD) ∩ (ACE) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E

Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : 1°) X = (ABD) ∩ (ACE) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. B C D E

Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : 1°) X = (ABD) ∩ (ACE) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. 3) B, D, C et E ϵ à la même face donc coplanaires, donc (BD) et (CE) aussi, et non // donc sécantes B C en un point F. D E F

Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : 1°) X = (ABD) ∩ (ACE) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. 3) B, D, C et E ϵ à la même face donc coplanaires, donc (BD) et (CE) aussi, et non // donc sécantes B C en un point F. 4) F ϵ à (CE) qui est dans (ACE), donc F ϵ à (ACE). D E F ϵ à (BD) qui est dans (ABD), donc F ϵ à (ABD). F ϵ à (ACE) et à (ABD), donc F ϵ à X. F

Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : 1°) X = (ABD) ∩ (ACE) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. 3) B, D, C et E ϵ à la même face donc coplanaires, donc (BD) et (CE) aussi, et non // donc sécantes B C en un point F. 4) F ϵ à (CE) qui est dans (ACE), donc F ϵ à (ACE). D E F ϵ à (BD) qui est dans (ABD), donc F ϵ à (ABD). F ϵ à (ACE) et à (ABD), donc F ϵ à X. 5) F et A ϵ à X, F et A distincts, et X est une droite donc X est la droite (AF). F

2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A B C D E

A 1) 2 plans non // donc X est une droite. B C D E 2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite. B C D E

2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite. 2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X B C D E

2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite. 2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X 3) B, C, D et E coplanaires car sur la même face, donc (DC) et (BE) aussi, et non // donc sécantes en 1 point G B C G D E

2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite. 2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X 3) B, C, D et E coplanaires car sur la même face, donc (DC) et (BE) aussi, et non // donc sécantes en 1 point G B C 4) G appartient à 2 droites respectivement dans les 2 G plans, donc G appartient à X. D E

2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite. 2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X 3) B, C, D et E coplanaires car sur la même face, donc (DC) et (BE) aussi, et non // donc sécantes en 1 point G B C 4) G appartient à 2 droites respectivement dans les 2 G plans, donc G appartient à X. D E 5) X est une droite, donc X = (AG)

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A B C D E

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A B C D E

A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. B C D E

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC.

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC. Cette // commune ϵ aux 2 plans, donc est dans X, qui est une droite, donc X est cette // passant par A.

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC. Cette // commune ϵ aux 2 plans, donc est dans X, qui est une droite, donc X est cette // passant par A. Nous venons d’expliquer un théorème appelé …

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC. Cette // commune ϵ aux 2 plans, donc est dans X, qui est une droite, donc X est cette // passant par A. Nous venons d’expliquer un théorème appelé « Théorème du toit ».

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. B C D E

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. 3) Théorème du toit : la // à (DE) en A est dans (ADE) ( notée d ). La // à (BC) en A ( notée d’ ) est dans (ABC). B C Comme (BC) // (DE), ces 2 droites d et d’ sont //, et comme elles passent par le même point A, D E elles sont // confondues : d = d’

3°) X = (ABC) ∩ (AED) A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. 3) Théorème du toit : la // à (DE) en A est dans (ADE) ( notée d ). La // à (BC) en A ( notée d’ ) est dans (ABC). B C Comme (BC) // (DE), ces 2 droites d et d’ sont //, et comme elles passent par le même point A, D E elles sont // confondues : d = d’ 4) d ϵ aux 2 plans donc d ϵ à X. X est une droite, donc X = d