ACT Cours 18 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-huitième cours

ACT Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement

ACT Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement

ACT Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps

ACT Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps Règles de base pour lamortissement

ACT Cours 18 Dans celle-ci, linvestisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux dintérêt i par période de paiement de lannuité. Les versements dintérêt sont réinvestis au taux dintérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de lannuité. Rappel: Réinvestissement (2 e situation)

ACT Cours 18 La valeur accumulée à la fin de la n e période de paiement par lannuité et les versements dintérêt est Rappel: Réinvestissement (2 e situation)

ACT Cours 18 Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons léquation Rappel: Réinvestissement (2 e situation)

ACT Cours 18 Notons par A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période; I: le montant dintérêt gagné pendant la période; C t : le montant net versé ou retiré du fonds au temps t (Nous supposons que la durée dune période est 1. De plus C t > 0 sil sagit dun dépôt et C t < 0 sil sagit dun retrait); i: le taux de rendement du fonds. Rappel: Taux de rendement dun fonds

ACT Cours 18 Nous avons B = A + C + I où C = t C t est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus. Rappel: Taux de rendement dun fonds

ACT Cours 18 Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant léquation iA + [ t C t (1 + i) (1 - t) ] - C - I = 0 Rappel: Taux de rendement dun fonds

ACT Cours 18 Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant léquation iA + [ t C t (1 + i) (1 - t) ] - C - I = 0 Hypothèse: (Intérêt simple) Rappel: Taux de rendement dun fonds

ACT Cours 18 Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée) Rappel: Taux de rendement dun fonds

ACT Cours 18 Rappel: Taux de rendement pondéré par le temps et C 1, C 2,..., C m sont les m contributions nettes dans le fonds, B k est le solde dans le fonds avant la contribution C k, B 0 est le solde initial et B m le solde final. (1 + i) = (1 + j 1 )(1 + j 2 ) · · · (1 + j m ) où Ce taux de rendement i pondéré par le temps est défini par

ACT Cours 18 Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Rappel: Règles pour lamortissement

ACT Cours 18 Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté Rappel: Règles pour lamortissement

ACT Cours 18 Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté Si le paiement est inférieur à ce montant dintérêt, alors lintérêt qui naura pas été versé sajoutera au capital à rembourser Rappel: Règles pour lamortissement

ACT Cours 18 Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n paiements: P 1, P 2,..., P n faits respectivement aux temps t 1, t 2,..., t n, alors le solde restant du prêt immédiatement après le k e paiement est noté B k. Notons aussi L par B 0. Nous pouvons calculer B k soit rétrospectivement, soit prospectivement. Solde restant dun prêt:

ACT Cours 18 Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Solde restant dun prêt:

ACT Cours 18 Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Prospectivement B k est la somme des valeurs actuelles au temps t k des (n - k) derniers paiements: P k+1, P k+2,..., P n Solde restant dun prêt:

ACT Cours 18 La portion de principal remboursé dans le k e paiement P k est B k-1 - B k. En effet, nous devions avant le k e paiement: B k-1 et, une fois le k e paiement fait, nous ne devons plus que B k. Portion de principal remboursé:

ACT Cours 18 La portion dintérêt du k e paiement est P k - (B k-1 - B k ). En effet, la portion de principal remboursé dans le k e paiement est (B k-1 - B k ) et ce qui reste du paiement, à savoir P k - (B k-1 - B k ) doit être le montant dintérêt payé. Portion dintérêt:

ACT Cours 18 Autre approche pour déterminer les portions dintérêt et de principal

ACT Cours 18 Nous devons au début de la k e période, celle immédiatement après le (k - 1) e paiement, B k - 1 dollars. Le montant dintérêt à payer à la fin de la k e période est où i est le taux dintérêt pour une période. Ceci est donc la portion dintérêt du k e paiement P k, si ce paiement est supérieur à ce montant dintérêt. Portion dintérêt:

ACT Cours 18 Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois la portion dintérêt soustraite du k e paiement. Donc la portion de principal remboursé dans le k e paiement P k est où i est le taux dintérêt pour une période. Portion de principal remboursé:

ACT Cours 18 Un prêt au taux nominal dintérêt i (12) = 6% capitalisé mensuellement est remboursé par 48 paiements à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Les 20 premiers paiements sont au montant de 400$, les vingt suivants au montant de 500$ et les 8 derniers au montant de 600$. Donc le montant emprunté est Exemple 1:

ACT Cours 18 Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement

ACT Cours 18 Retrospectivement Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement

ACT Cours 18 Déterminons la portion dintérêt du 24 e paiement Exemple 1: (suite)

ACT Cours 18 Déterminons la portion dintérêt du 24 e paiement Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement car le 24 e paiement est de 500$. Exemple 1: (suite)

ACT Cours 18 Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = $. Dautre part nous avons prospectivement que Exemple 1: (suite) Autre approche

ACT Cours 18 Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = $. Dautre part nous avons prospectivement que Donc la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement est B 23 - B 24 = = $ et la portion dintérêt sera = 62.21$. Notons que le 24 e paiement est de 500$. Exemple 1: (suite) Autre approche

ACT Cours 18 Nous aurions aussi pu déterminer B 24 rétrospectivement. Nous aurions alors que Exemple 1: (suite) Autre approche

ACT Cours 18 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Notons par i: le taux dintérêt du prêt par période de paiement. Le montant emprunté est alors La table damortissement est alors

ACT Cours 18

Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i). Conséquemment si nous connaissons la portion de principal dun paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas.

ACT Cours 18 Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux dintérêt du prêt est le taux nominal i (2) = 8% par année capitalisé à tous les semestres. Les paiements sont faits à la fin de chaque semestre, le premier étant fait six mois après le prêt. Si nous notons par R: les paiements de ce prêt, nous avons Exemple 2: La table damortissement est alors

ACT Cours 18 Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant du prêt

ACT Cours 18 Dans certaines situations, il est possible quil y ait de lamortissement négatif, cest-à-dire plutôt que le solde restant diminue avec un paiement, il augmente. Nous illustrons ceci dans lexemple suivant

ACT Cours 18 Un prêt de $ est remboursé par 2 paiements: le premier au montant de 100$ un an après le prêt et un second au montant de 1200$ deux ans après le prêt. Le taux dintérêt du prêt est le taux effectif dintérêt i = 10% par année. Nous avons alors la table damortissement suivante Exemple 3:

ACT Cours 18 Période de paiement Paiement Portion dintérêt payé Portion dintérêt à payer Portion de principal payé Solde restant du prêt