08/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours

08/11/07 Rappel du dernier cours Seconde situation de réinvestissement

08/11/07 Rappel du dernier cours Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement

08/11/07 Rappel du dernier cours Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps

08/11/07 Rappel du dernier cours Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps Règles de base pour lamortissement

08/11/07 Rappel: Réinvestissement (deuxième situation): Dans celle-ci, linvestisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux dintérêt i par période de paiement de lannuité. Les versements dintérêt sont réinvestis au taux dintérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de lannuité.

08/11/07 Rappel: Réinvestissement (2 e situation) La valeur accumulée par lannuité et les versements dintérêt à la fin de la n e période de paiement est

08/11/07 Rappel: Réinvestissement (2 e situation) Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons léquation

08/11/07 Rappel: Taux de rendement dun fonds A : le montant dans le fonds au début de la période; B : le montant dans le fonds à la fin de la période; I : le montant dintérêt gagné pendant la période; C t : le montant net versé ou retiré du fonds au temps t (Nous supposons que la durée dune période est 1. De plus C t > 0 sil sagit dun dépôt et C t < 0 sil sagit dun retrait); i : le taux de rendement du fonds.

08/11/07 Rappel: Taux de rendement dun fonds Nous avons B = A + C + I où C = t C t est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus.

08/11/07 Rappel: Taux de rendement dun fonds Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant léquation iA + [ t C t (1 + i) (1 - t) ] - C - I = 0 Hypothèse: (Intérêt simple)

08/11/07 Rappel: Taux de rendement dun fonds Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée)

08/11/07 Rappel: Taux de rendement i pondéré par le temps est défini par léquation où C 1, C 2,..., C m sont les m contributions nettes dans le fonds, B k est le solde dans le fonds avant la contribution C k, B 0 est le solde initial et B m le solde final.

08/11/07 Rappel: Règles pour lamortissement Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû

08/11/07 Rappel: Règles pour lamortissement Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté

08/11/07 Rappel: Règles pour lamortissement Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté Si le paiement est inférieur à ce montant dintérêt, alors lintérêt qui naura pas été versé sajoutera au capital à rembourser

08/11/07 Solde restant dun prêt: Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n paiements: P 1, P 2,..., P n faits respectivement aux temps t 1, t 2,..., t n, alors le solde restant du prêt immédiatement après le k e paiement est noté B k. Notons aussi L par B 0 Nous pouvons calculer B k soit rétrospectivement, soit prospectivement.

08/11/07 Solde restant dun prêt: (suite) Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k

08/11/07 Solde restant dun prêt: (suite) Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Prospectivement B k est la somme des valeurs actuelles au temps t k des (n - k) derniers paiements: P k+1, P k+2,..., P n

08/11/07 Portion de principal remboursé dans le k e paiement P k : Cette portion de principal remboursé est B k-1 - B k. En effet, nous devions avant le k e paiement: B k-1 et, une fois le k e paiement fait, nous ne devons plus que B k.

08/11/07 Portion dintérêt du k e paiement P k : Cette portion dintérêt est P k - (B k-1 - B k ). En effet, la portion de principal remboursé dans le k e paiement est (B k-1 - B k ) et ce qui reste du paiement, à savoir P k - (B k-1 - B k ) doit être de lintérêt.

08/11/07 Autre approche pour déterminer les portions dintérêt et de principal

08/11/07 Portion dintérêt du k e paiement P k : Nous devons au début de la k e période, celle immédiatement après le (k - 1) e paiement, B k - 1 dollars. Le montant dintérêt à payer à la fin de la k e période est où i est le taux dintérêt pour une période. Ceci est donc la portion dintérêt du k e paiement P k, si ce paiement est supérieur à ce montant dintérêt.

08/11/07 Portion de principal remboursé dans le k e paiement P k : Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois la portion dintérêt soustraite du k e paiement. Donc la portion de principal remboursé dans le k e paiement P k où i est le taux dintérêt pour une période.

08/11/07 Exemple 1: Un prêt au taux nominal dintérêt i (12) = 6% capitalisé mensuellement est remboursé par 48 paiements à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Les 20 premiers paiements sont au montant de 400$, les vingt suivants au montant de 500$ et les 8 derniers au montant de 600$. Donc le montant emprunté est

08/11/07 Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement

08/11/07 Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement Retrospectivement

08/11/07 Exemple 1: (suite) Déterminons la portion dintérêt du 24 e paiement

08/11/07 Exemple 1: (suite) Déterminons la portion dintérêt du 24 e paiement Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement car le 24 e paiement est de 500$

08/11/07 Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = $. Dautre part nous avons prospectivement que

08/11/07 Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = $. Dautre part nous avons prospectivement que Donc la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement est B 23 - B 24 = = $ et la portion dintérêt sera = 62.21$. Notons que le 24 e paiement est de 500$.

08/11/07 Exemple 1: (suite) Autre approche Nous aurions aussi pu déterminer B 24 retrospectivement. Nous aurions alors que

08/11/07 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Notons par i : le taux dintérêt du prêt par période de paiement. Le montant emprunté est alors

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Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i). Conséquemment si nous connaissons la portion de principal dun paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas.

08/11/07 Exemple 2: Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux dintérêt du prêt est le taux nominal i (2) = 8% par année capitalisé à tous les semestres. Les paiements sont faits à la fin de chaque semestre, le premier étant fait six mois après le prêt. Si nous notons par R: les paiements de ce prêt, nous avons

08/11/07 Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant du prêt

08/11/07 Dans certaines situations, il est possible quil y ait de lamortissement négatif, cest- à-dire plutôt que le solde restant diminue avec un paiement, il augmente. Nous illustrons ceci dans lexemple suivant

08/11/07 Exemple 3: Un prêt de $ est remboursé par 2 paiements: le premier au montant de 100$ un an après le prêt et un second au montant de 1200$ deux ans après le prêt. Le taux dintérêt du prêt est le taux effetif i = 10% par année. Nous avons alors le tableau suivant

08/11/07 Période de paiement Paiement Portion dintérêt payé Portion dintérêt à payer Portion de principal payé Solde restant du prêt