MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours ACT2025 - Cours 2

Rappel: Intérêt ACT2025 - Cours 2

Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation ACT2025 - Cours 2

Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation ACT2025 - Cours 2

Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation Taux effectif de l’intérêt ACT2025 - Cours 2

Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation Taux effectif de l’intérêt Intérêt simple ACT2025 - Cours 2

Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation Taux effectif de l’intérêt Intérêt simple Intérêt composé ACT2025 - Cours 2

Rappel: Pour l’intérêt simple, la fonction de capitalisation est et la fonction d’accumulation est ACT2025 - Cours 2

Rappel: Pour l’intérêt composé, la fonction de capitalisation est et la fonction d’accumulation est ACT2025 - Cours 2

Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts d’intérêt simple et d’intérêt composé ACT2025 - Cours 2

Exemple 1: La valeur accumulée par un capital de 7 500$ investi pendant 3 mois au taux d’intérêt simple de 6% par année est égale à Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t = 3/12 = 0.25 ACT2025 - Cours 2

Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9e année ACT2025 - Cours 2

Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9e année le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année ACT2025 - Cours 2

Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera ACT2025 - Cours 2

Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera Le montant accumulé après 9 ans sera ACT2025 - Cours 2

Calcul du montant d’intérêt Le montant accumulé après 7 ans sera ACT2025 - Cours 2

Calcul du montant d’intérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera ACT2025 - Cours 2

Calcul du montant d’intérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera Le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année sera ACT2025 - Cours 2

Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’intérêt simple et de l’intérêt composé pour le même taux i, nous obtenons le graphique suivant ACT2025 - Cours 2

ACT2025 - Cours 2

Nous avons ACT2025 - Cours 2

Nous avons et ACT2025 - Cours 2

Jusqu’à maintenant nous avons considéré la valeur accumulée d’un placement, mais il est aussi important de considérer la valeur actuelle d’un capital futur. On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée. ACT2025 - Cours 2

Exemple 3: Bobby veut investir un capital dans un compte d’épargne rémunéré au taux d’intérêt composé de 4% par année pour 6 ans et au terme de la sixième année avoir 15 000$. Quel est le capital qu’il doit investir? ACT2025 - Cours 2

Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation ACT2025 - Cours 2

Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation Donc k = 15000 (1.04)-6 = 11854.72 $ ACT2025 - Cours 2

Le facteur d’accumulation est (1 + i) Notation: Le facteur d’accumulation est (1 + i) ACT2025 - Cours 2

Le facteur d’accumulation est (1 + i) Notation: Le facteur d’accumulation est (1 + i) Le facteur d’escompte est ACT2025 - Cours 2

Définition de la fonction d’actualisation Cette fonction correspond à la valeur actuelle d’un capital de 1$ payable au temps t Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle d’un capital de k dollars après une période de temps t, il suffit de multiplier cette fonction d’actualisation par k. ACT2025 - Cours 2

Formule: Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alors la fonction d’actualisation a-1(t) est obtenue en divisant par la fonction de capitalisation: ACT2025 - Cours 2

Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est Exemple 4: Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est ACT2025 - Cours 2

Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisation est Exemple 4 (suite): Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisation est ACT2025 - Cours 2

Propriétés anticipées de la fonction d’actualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar ACT2025 - Cours 2

Propriétés anticipées de la fonction d’actualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar Décroissance par rapport au taux d’intérêt. Si le taux d’intérêt augmente, il nous faut moins de principal à investir pour obtenir à terme 1 dollar ACT2025 - Cours 2

Exemple 5: (Obligation sans coupon) Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, quel est le prix d’obligation sans coupon dont la valeur à l’échéance est de 25000$ et l’échéance est dans 7 ans? ACT2025 - Cours 2

Solution: Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payable dans 7 ans au taux effectif d’intérêt de 5% par année. Nous obtenons 25000 (1.05)-7 = 17767.03 $ ACT2025 - Cours 2

Voyons maintenant une autre mesure de l’intérêt: taux effectif d’escompte ACT2025 - Cours 2

Taux effectif d’escompte pour la 1e période: Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. ACT2025 - Cours 2

Taux effectif d’escompte pour la 1e période: Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons ACT2025 - Cours 2

Taux effectif d’escompte pour la ne période: Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la ne période sur le montant accumulé à la fin de la ne période. En formule, nous obtenons ACT2025 - Cours 2

Si nous connaissons les taux effectifs d’escompte pour toutes les périodes, de la 1e à la ne , et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la ne période, i.e. A(n) ACT2025 - Cours 2

En effet, ACT2025 - Cours 2

En effet, et ainsi de suite. ACT2025 - Cours 2

Finalement nous obtenons la valeur accumulée: ACT2025 - Cours 2

Finalement nous obtenons la valeur accumulée: ainsi que la valeur actuelle ACT2025 - Cours 2

Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? ACT2025 - Cours 2

Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$ après 4 ans? ACT2025 - Cours 2

Solution: (a) Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 8000(0.95)-1(0.945)-1(0.94)-1(0.9425)-1(0.9475)-1 = 10615.64 $ ACT2025 - Cours 2

Solution: (b) Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000 payable à la fin de la 4e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = 7953.62 $ ACT2025 - Cours 2

Équivalence de taux: Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales. ACT2025 - Cours 2

Équivalence de taux: (approche équivalente) Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un même capital à la fin d’une période à ces deux taux sont égales. ACT2025 - Cours 2

Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte Étant donné le taux d’escompte d , alors le taux d’intérêt i équivalent est ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est (1 - d) ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1 ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1 Intérêt: d ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Donc ACT2025 - Cours 2

Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte Étant donné le taux d’intérêt i, alors le taux d’escompte d équivalent est ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin de la période ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) Intérêt: i ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) : Donc ACT2025 - Cours 2

Exemple 7: Si le taux effectif d’escompte est de 2.25% par année, alors le taux effectif d’intérêt équivalent est soit 2.30017903%. ACT2025 - Cours 2

Exemple 8: Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, alors le taux effectif d’escompte équivalent est soit 4.7619048%. ACT2025 - Cours 2

Nous allons illustrer la formule Exemple 9: Nous allons illustrer la formule au moyen d’un exemple numérique. ACT2025 - Cours 2

Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif d’escompte de 6% par année et qu’il y a autant d’emprunteurs que nous le désirons. ACT2025 - Cours 2

Le premier emprunteur recevra 10000(1 - 0 Le premier emprunteur recevra 10000(1 - 0.06) = 9400$ au début de l’année et remboursera 10000$ à la fin de l’année. Du 10000$, il nous reste 10000 - 9400 = 600$ à prêter. Le second emprunteur recevra 600(1 - 0.06) = 564$ au début de l’année et remboursera 600$ à la fin de l’année Du 600$, il nous reste 600 - 564 = 36$ à prêter. Le troisième emprunteur recevra 36(1 - 0.06) = 33.84$ et remboursera 36$ à la fin de l’année. Ainsi de suite à l’infini ACT2025 - Cours 2

Montant reçu au début de l’année Montant remboursé à la fin de l’année En résumé, nous avons Emprunteur Montant reçu au début de l’année Montant remboursé à la fin de l’année 1er 9400 10000 2e 564 600 3e 33.84 36 . ACT2025 - Cours 2

À la fin de l’année, nous recevrons Cette somme est égale à Nous pouvons calculer cette dernière somme. ACT2025 - Cours 2

Nous avons si - 1 < x < 1. Donc ACT2025 - Cours 2

Finalement nous obtenons que l’intérêt est et le taux d’intérêt est c’est-à-dire 6.3830%. ACT2025 - Cours 2

Plus généralement, nous avons que l’intérêt est égal à si le capital prêté est k et et le taux d’escompte est d. ACT2025 - Cours 2

Donc le taux d’intérêt est ACT2025 - Cours 2