4/12/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-cinquième cours

4/12/07 Rappel du dernier cours Amortissement dune obligation - méthode actuarielle Amortissement dune obligation - méthode linéaire Prix dune obligation entre des coupons - Introduction

4/12/07 Rappel: la valeur comptable de lobligation après le versement du k e coupon sera notée par B k la portion dintérêt du k e coupon sera notée par I k lajustement à être apporté à la valeur comptable de lobligation dans le k e coupon sera notée P k

4/12/07 Rappel: Méthode actuarielle La valeur comptable B k immédiatement après le k e coupon est obtenue prospectivement (respectivement rétrospectivement) en utilisant les valeurs actuelles des coupons à venir et de la valeur de remboursement (respectivement les valeurs accumulées des coupons versés et du prix) selon au taux de rendement i obtenu lors de lachat de lobligation.

4/12/07 Rappel: Méthode actuarielle La portion dintérêt I k du k e coupon est iB (k- 1). Cest ce que doit nous rapporter lobligation pour une période au taux i. Lajustement P k à apporter à la valeur comptable dans le k e coupon est P k = Fr - I k. Nous avons B k = B k-1 - P k.

4/12/07 Rappel: Si nous considérons une obligation dont la valeur de remboursement C = 1$ et les montants des coupons sont égaux au taux modifié dintérêt g. Le prix de lobligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif.

4/12/07 Rappel: où i est le taux de rendement. ou encore

4/12/07 Rappel: Table damortissement

4/12/07 Rappel: Amortissement - méthode linéaire. Lajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à sil y a n coupons. La portion dintérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - P k = Fr - [(P-C)/n].

4/12/07 Rappel: Exemple Considérons le prix P(x) dune obligation au moment x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, dune durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8.

4/12/07 Rappel: Exemple P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Alors

4/12/07 Rappel: Exemple

4/12/07 À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme (« flat price ») et le prix du marché (« market price ») ou encore la valeur comptable de lobligation. Ce dernier prix fera en sorte de lisser la fonction pour faire disparaître les sauts.

4/12/07 Le prix uniforme (« flat price ») de lobligation est le montant dargent qui change de main au moment de la vente (sans tenir compte des commissions). Nous noterons ce prix par où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1.

4/12/07 Le prix du marché (« market price ») ou valeur comptable de lobligation est le montant dargent qui apparait dans les cotations financières. Nous noterons ce prix par où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1.

4/12/07 Ces deux prix sont reliés par la relation suivante: où Fr t est la valeur proportionnelle du coupon après un temps t de la période. Cette valeur Fr t sera déterminé selon différentes hypothèses.

4/12/07 Première méthode: Nous allons supposer que le prix uniforme est obtenu en supposant que lintérêt est composé pour la période entre deux coupons. Plus précisément

4/12/07 Pour cette première méthode, le prix du marché est alors

4/12/07 Deuxième méthode: Nous allons supposer que le prix uniforme est obtenu en supposant que lintérêt est simple pour la période entre deux coupons. Plus précisément

4/12/07 Pour cette deuxième méthode, le prix du marché est alors

4/12/07 Troisième méthode: Nous allons supposer que le prix uniforme est obtenu en supposant que lintérêt est composé pour la période entre deux coupons, mais en prenant Fr t = tFr. Plus précisément

4/12/07 Pour cette troisième méthode, le prix du marché est alors

4/12/07 Cette dernière méthode est la plus utilisée dans la pratique. Pour obtenir t, le décompte des jours est obtenu soit en utilisant la convention actuel/actuel ou encore 30/360.

4/12/07 Exemple 1: Déterminons le prix uniforme, la valeur du coupon et le prix du marché dune obligation de valeur nominale de 5000$ dont le taux facial est le taux nominal de 8% par année capitalisé semestriellement, la valeur de remboursement est aussi de 5000$ et le taux de rendement est 6% par année capitalisé semestriellement au moment de lachat, la durée de vie de cette obligation au moment de lémission est de 6 ans et lachat est fait 13 semaines après lémission.

4/12/07 Exemple 1: (suite) Dans ce cas, F = 5000, C= 5000, r = 4% par six mois, i = 3% par six mois. Le coupon est (0.04)(5000) = 200$. La durée de vie de cette obligation au moment de lémission est de 6 ans, à savoir 12 périodes de capitalisation et lachat est fait 13 semaines après lémission. La période de capitalisation est de 6 mois = 26 semaines. Nous allons aussi illustrer chacune des méthodes.

4/12/07 Exemple 1: (suite) Première méthode:

4/12/07 Exemple 1: (suite) Deuxième méthode:

4/12/07 Exemple 1: (suite) Troisième méthode:

4/12/07 Exemple 2: Dans le Wall Street Journal du 23 novembre 2004, il y avait les cotations suivantes pour les obligations du Département du Trésor américain. Rate Maturity Mo/Yr BidAskedChg.Ask. Yld Aug07n99:0299: Feb12n105:30105:

4/12/07 Exemple 2: (suite) Pour chacune des obligations, calculons approximativement le prix du marché à partir du taux de rendement en utilisant la troisième méthode.

4/12/07 Exemple 2: (suite) Pour lobligation Aug07n, nous sommes environ à la moitié dune période de paiement. Cest ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 0.5. De plus r = 2.75%/2 = 1.375% et i = 3.10%/2 = 1.55%. Il y aura 6 coupons. Donc

4/12/07 Exemple 2: (suite) Pour lobligation Aug07n, le prix demandé inscrit dans le journal est 99:03 = 99 3/32 = $. La différence est attribuable à notre approximation pour la fraction de période.

4/12/07 Exemple 2: (suite) Pour lobligation Feb12n, nous sommes environ à la moitié dune période de paiement. Cest ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 0.5. De plus r = 4.875%/2 = % et i = 3.92%/2 = 1.96%. Il y aura 15 coupons. Donc

4/12/07 Exemple 2: (suite) Pour lobligation Feb12n, le prix demandé inscrit dans le journal est 105:30 = /32 = $. La différence est attribuable à notre approximation pour la fraction de période.

4/12/07 Nous avons vu jusquà présent comment calculer le prix P dune obligation étant donné le taux de rendement i. Nous allons maintenant considérer le problème inverse. Étant donné le prix P, comment déterminer le taux de rendement i. Nous ferons ceci que dans la situation dune obligation achetée immédiatement après le paiement de coupon.

4/12/07 Nous avons léquation prime/escompte du prix: ou encore

4/12/07 Nous obtenons alors Dans la suite, nous noterons par k: le nombre

4/12/07 Avec un peu dalgèbre, alors Nous pouvons utiliser lapproximation

4/12/07 Nous obtenons alors une première approximation pour le taux de rendement

4/12/07 Nous pouvons obtenir une seconde approximation pour le taux de rendement en notant dans la formule précédente que si n est grand, alors (n + 1)/2n est approximativement égal à 1/2. Donc

4/12/07 Cette dernière formule est appelée la méthode du vendeur dobligations.

4/12/07 Finalement nous pouvons obtenir une approximation plus précise encore en utilisant la méthode de Newton-Raphson pour déterminer lunique zéro positif de la fonction

4/12/07 Nous obtenons comme règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson

4/12/07 Comme valeur initiale pour la méthode, nous pouvons prendre

4/12/07 ou encore

4/12/07 Exemple 3: Considérons une obligation de valeur nominale de 100$, remboursé aussi à cette valeur, dont le taux facial est le taux nominal dintérêt de 8% par année capitalisé à tous les six mois, les coupons sont versés à tous les six mois et la durée de vie de lobligation est de 10 ans. Déterminons le taux nominal de rendement capitalisé semestriellement si cette obligation est achetée à 102$. Ici n = 20, r = g = 4%, k = ( )/100 = 0.02.

4/12/07 Exemple 3: (suite) Nous pouvons prendre comme valeur initiale

4/12/07 Exemple 3: (suite) La règle récursive est

4/12/07 Exemple 3: (suite) Nous obtenons alors le tableau suivant: sisis 2is2is % % % % % % % % Donc le taux de rendement recherché est %

4/12/07 Pour certaines obligations, lémetteur peut rembourser sa dette avant la date déchéance. Ce sont des obligations rachetables (« callable bonds »). Une telle provision présente une difficulté pour déterminer le taux de rendement de lobligation. En effet, la valeur de n nest pas bien déterminée. Cependant le souscripteur peut supposer que lémetteur utilisera loption de rachat qui lui est le moins favorable.

4/12/07 Plus précisément, il y a plusieurs scénarii possibles avec différentes valeurs de remboursement à différentes dates de rachat incluant la date déchéance. Il est possible alors de calculer pour chacun de ces scénarii le taux de rendement à partir du prix et de considérer le plus bas de ces taux de rendement comme celui de lobligation.

4/12/07 Exemple 4: Une obligation de valeur nominale de 10000$, dont le taux facial est le taux effectif dintérêt de 5% par année, les coupons sont versés une fois par année, à la fin de lannée, et la durée de vie de lobligation est de 20 ans. Lobligation peut être remboursée à la fin de la dixième année, à la fin de la quinzième année et à la fin de la vingtième année. Les valeurs de remboursement sont de 12000$ à la fin de la dixième année, de 11000$ à la fin de la quinzième année et 10000$ à la fin de vingtième année. Cette obligation est achetée pour 10050$. Déterminons le taux effectif de rendement.

4/12/07 Exemple 4: (suite) Scénario 1: Remboursement à la fin de la dixième année. Il nous faut résoudre léquation Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = %

4/12/07 Exemple 4: (suite) Scénario 2: Remboursement à la fin de la quinzième année. Il nous faut résoudre léquation Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = %

4/12/07 Exemple 4: (suite) Scénario 3: Remboursement à la fin de la vingtième année. Il nous faut résoudre léquation Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = %. En conséquence, si nous considérons les 3 scénarii, le taux de rendement sera donc au moins %.

4/12/07 Une autre situation qui peut se présenter dans le cas des obligations rachetables est la suivante. Linvestisseur sest fixé un taux de rendement seuil et cherche à déterminer le prix P quil doit payer pour une telle obligation rachetable. Dans ce cas, il calcule le prix de lobligation pour chacun des scénarii avec différentes valeurs de remboursement aux différentes dates de rachat au taux de rendement seuil. Le scénario qui est le plus défavorable pour linvestisseur est celui pour lequel le prix dachat P est le plus petit P min parmi tous ceux des scénarii au taux de rendement seuil. Si lobligation est rachetée à une autre date, alors le taux de rendement sera supérieur ou égal au taux de rendement seuil.

4/12/07 Lexplication réside dans le fait que le prix est une fonction décroissante du taux de rendement.

4/12/07 Exemple 5: Une obligation de valeur nominale de 1000$, dont le taux facial est le taux effectif dintérêt de 7% par année, les coupons sont versés une fois par année, à la fin de lannée, et la durée de vie de lobligation est de 20 ans. Lobligation peut être remboursée à la fin des 12 e et 14 e années à 1075$, peut être remboursée à la fin des 16 e et 18 e années à 1050$ et peut être remboursée à la fin de la 20 e année à 1000$. Nous aimerions obtenir un taux de rendement dau moins 8% par année. Déterminons le prix quil faut payer cette obligation pour être assuré de ce rendement.

4/12/07 Exemple 5: Calculons le prix P n au taux de rendement pour lobligation rachetée à la fin de la n e année au taux de rendement de 8%. Nous avons

4/12/07 Le prix pour obtenir au moins le taux de rendement de 8% par année est de $.