09/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Onzième cours

09/10/07 Rappel du dernier cours Méthode de Newton-Raphson

09/10/07 Rappel du dernier cours Méthode de Newton-Raphson Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur actuelle, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période

09/10/07 Rappel du dernier cours Pour la méthode de Newton-Raphson, il nous faut un valeur initiale x 0 et utiliser la règle récursive pour construire une suite x 1, x 2, …, x s, … qui converge vers un zéro de f(x) (si les conditions sont bonnes)

09/10/07 Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:

09/10/07 Rappel du dernier cours La méthode de Newton-Raphson pour déterminer le taux dintérêt i numériquement dans léquation alors que nous connaissons L, R et n nous donne

09/10/07 Rappel du dernier cours et comme valeur initiale

09/10/07 Nous voulons résoudre maintenant léquation alors que nous connaissons F, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre léquation:

09/10/07 Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

09/10/07 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors

09/10/07 Pour compléter la méthode de Newton- Raphson, il nous faut une valeur initiale i 0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale

09/10/07 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i 0. Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.

09/10/07 Première hypothèse: Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à léchéance moyenne. Faute de connaître le taux dintérêt i, nous allons utiliser léchéance moyenne approchée.

09/10/07 Deuxième hypothèse: Nous allons approximer lintérêt en calculant plutôt le taux descompte d et en supposant quil sagit descompte simple. Nous allons approximer le taux dintérêt i recherché en prenant comme première valeur i 0 : ce taux descompte d.

09/10/07 Justification heuristique de lapproximation: Léchéance moyenne approchée est car

09/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous pouvons considérer notre transaction comme une sortie au montant de F dollars au temps t = n et une entrée de nR dollars au temps t = (n + 1)/2.

09/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous notons par d: lapproximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons de lescompte simple. Nous obtenons alors léquation:

09/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i 0

09/10/07 Justification de lapproximation: Il est aussi possible dobtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Ceci est présenté dans le recueil de notes de cours.

09/10/07 Exemple 1: Supposons que nous versons à tous les fins de mois 350$ pendant 6 ans dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (12) par année capitalisé mensuellement. Immédiatement après le dernier versement, le montant accumulé est égal à 30000$. Déterminons i (12) approximativement au moyen de la méthode de Newton-Raphson.

09/10/07 Exemple 1: (suite) Nous avons ainsi que F = , R = 350, n = 6 x 12 = 72 et notons par i, le taux dintérêt par mois.

09/10/07 Exemple 1: (suite) La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors

09/10/07 Exemple 1: (suite) La règle récursive pour la méthode de Newton- Raphson est alors

09/10/07 Exemple 1: (suite) En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux dintérêt par mois et en multipliant par 12 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant.

09/10/07 Exemple 1: (suite) s xsxs 12x s (Taux nominal) % % % % % % % % % % % % % % % %

09/10/07 Exemple 1: (suite) Le taux nominal recherché est approximativement %

09/10/07 Nous avons traité que du cas des annuités de fin de période. Bien entendu les mêmes techniques peuvent être utilisées dans le cas des annuités de début de période. Cependant pour résoudre ces équations impliquant des annuités de début de période, il est plus simple de les convertir en annuités de fin de période.

09/10/07 Ainsi léquation est équivalente à léquation Nous savons traiter cette dernière équation.

09/10/07 Alors que léquation est équivalente à léquation Nous savons traiter cette dernière équation.

09/10/07 CHAPITRE IV Annuités générales

09/10/07 Jusquà maintenant nous avons traité que dannuités simples constantes et pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation sont les mêmes. Il nous faut considérer des situations plus générales.

09/10/07 Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement

09/10/07 Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes

09/10/07 Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes soit que les paiements ne sont pas constants

09/10/07 Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement soit le taux dintérêt pour la k e période est i k et sapplique à tous les paiements pendant cette période soit le taux dintérêt est applicable au k e paiement et pour ce paiement, il est le même pour chaque période

09/10/07 Considérons la situation dune annuité pour laquelle le taux dintérêt pour la k e période est i k et sapplique à tous les paiements de lannuité pendant cette période.

09/10/07 Si nous considérons une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période, alors nous obtenons que sa valeur actuelle est Par analogie, nous noterons ceci par

09/10/07 Pour la même annuité, nous obtenons que la valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est Par analogie, nous noterons ceci par

09/10/07 Exemple 2: Supposons que pour un prêt le taux dintérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année $ est emprunté et ce prêt est remboursé par des paiements de R dollars à la fin de chaque année pendant 5 ans. Déterminons R.

09/10/07 Exemple 2: (suite) Nous avons ainsi léquation R (1.04) -1 + R(1.04) -1 (1.045) -1 + R(1.04) -1 (1.045) -1 (1.05) -1 + R (1.04) -1 (1.045) -1 (1.05) -2 + R (1.04) -1 (1.045) -2 (1.05) -2 est égal à Nous obtenons alors que R = $

09/10/07 Exemple 3: Supposons que nous plaçons 1000$ au début de chaque année. Si le taux dintérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année. Déterminons le montant accumulé à la fin de la cinquième année.

09/10/07 Exemple 3: (suite) Ce montant accumulé est 1000(1.04)(1.045) 2 (1.05) (1.045) 2 (1.05) (1.045)(1.05) (1.045)(1.05) (1.045) cest-à-dire $.

09/10/07 Considérons la deuxième situation, celle dune annuité pour laquelle le taux dintérêt i k est applicable au k e paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Lannuité consiste en des paiements de 1$ à la fin de chaque période.

09/10/07 Dans cette situation, la valeur actuelle de lannuité sera Par analogie, nous noterons ceci par

09/10/07 La valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement sera Par analogie, nous noterons ceci par

09/10/07 Exemple 4: Supposons que le premier paiement est rémunéré au taux de 6% par année, le second au taux de 5%, la troisième au taux de 5.5% et le quatrième au taux de 6% et que tous les montants sont de R dollars. Que doit être R si nous voulons accumuler 20000$?

09/10/07 Exemple 4: Nous avons léquation de valeur à t = 4 ans Nous obtenons ainsi que R = $

09/10/07 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation de lintérêt sont différentes, soit la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de lintérêt, soit la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de lintérêt.

09/10/07 Si la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de lintérêt, nous allons supposer quil y a un nombre entier de périodes de paiement dans une période de capitalisation de lintérêt. Hypothèse:

09/10/07 Si la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de lintérêt, nous allons supposer quil y a un nombre entier de périodes de capitalisation de lintérêt dans une période de paiement. Hypothèse:

09/10/07 Dans une telle situation, nous allons développer deux approches. Dans la première, il suffira de convertir le taux dintérêt à un taux équivalent. Dans la seconde nous développerons une approche théorique

09/10/07 Première approche: Il suffit de convertir le taux dintérêt de façon à obtenir le taux dintérêt équivalent et pour lequel la période de capitalisation est la même que la période de paiement. Nous allons illustrer ceci dans des exemples.

09/10/07 Exemple 5: Nous voulons accumuler 50000$ en faisant 84 versements mensuels au montant de R dollars pendant 7 ans dans un fonds de placement. Le taux dintérêt du fonds de placement est le taux nominal dintérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement. Déterminer R.

09/10/07 Exemple 5: (suite) Si i (2) = 6% alors le taux effectif dintérêt équivalent est 6.09% par année. De ceci nous obtenons que le taux nominal i (12) = % par année capitalisé mensuellement est équivalent à i (2) = 6%. Conséquemment le taux dintérêt par mois équivalent au taux i (2) = 6% est

09/10/07 Exemple 5: (suite) Nous sommes maintenant dans la même situation que celle du chapitre 3. Conséquemment il nous faut donc déterminer R tel que Nous obtenons ainsi que R = $