ACT Cours 11 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Onzième cours

ACT Cours 11 Rappel: Méthode de Newton-Raphson

ACT Cours 11 Rappel: Méthode de Newton-Raphson Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur actuelle, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période

ACT Cours 11 Pour la méthode de Newton-Raphson, il nous faut un valeur initiale x 0 et utiliser la règle récursive pour construire une suite x 1, x 2, …, x s, … qui converge vers un zéro de f(x) (si les conditions sont bonnes) Rappel:

ACT Cours 11 Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante: Rappel:

ACT Cours 11 La méthode de Newton-Raphson pour déterminer le taux dintérêt i numériquement dans léquation alors que nous connaissons L, R et n nous donne Rappel:

ACT Cours 11 et comme valeur initiale Rappel:

ACT Cours 11 Nous voulons résoudre maintenant léquation alors que nous connaissons F, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre léquation:

ACT Cours 11 Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

ACT Cours 11 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors

ACT Cours 11 Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i 0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale

ACT Cours 11 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i 0 : Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.

ACT Cours 11 Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à léchéance moyenne. Faute de connaître le taux dintérêt i, nous allons utiliser léchéance moyenne approchée. Première hypothèse:

ACT Cours 11 Nous allons approximer lintérêt en calculant plutôt le taux descompte d et en supposant quil sagit descompte simple. Nous allons approximer le taux dintérêt i recherché en prenant comme première valeur i 0 : ce taux descompte d. Deuxième hypothèse:

ACT Cours 11 Léchéance moyenne approchée est car Justification heuristique de lapproximation:

ACT Cours 11 Nous pouvons considérer notre transaction comme une sortie au montant de F dollars au temps t = n et une entrée de nR dollars au temps t = (n + 1)/2. Justification heuristique: (suite)

ACT Cours 11 Nous notons par d: lapproximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons de lescompte simple. Nous obtenons alors léquation: Justification heuristique: (suite)

ACT Cours 11 Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i 0 Justification heuristique: (suite)

ACT Cours 11 Il est aussi possible dobtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Ceci est présenté dans le recueil de notes de cours. Justification heuristique: (suite)

ACT Cours 11 Supposons que nous versons à tous les fins de mois 350$ pendant 6 ans dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (12) par année capitalisé mensuellement. Immédiatement après le dernier versement, le montant accumulé est égal à 30000$. Déterminons i (12) approximativement au moyen de la méthode de Newton- Raphson. Exemple 1:

ACT Cours 11 Nous avons ainsi que Exemple 1: (suite) F = , R = 350, n = 6 x 12 = 72 et notons le taux dintérêt par mois par i.

ACT Cours 11 La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors Exemple 1: (suite)

ACT Cours 11 La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors Exemple 1: (suite)

ACT Cours 11 En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux dintérêt par mois et en multipliant par 12 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant. Exemple 1: (suite)

ACT Cours 11 s xsxs 12x s (Taux nominal) % % % % % % % % % % % % % % % % Exemple 1: (suite)

ACT Cours 11 Le taux nominal recherché est approximativement % Exemple 1: (suite)

ACT Cours 11 Nous avons traité que du cas des annuités de fin de période. Bien entendu les mêmes techniques peuvent être utilisées dans le cas des annuités de début de période. Cependant pour résoudre ces équations impliquant des annuités de début de période, il est plus simple de les convertir en annuités de fin de période.

ACT Cours 11 Ainsi léquation est équivalente à léquation Nous savons traiter cette dernière équation.

ACT Cours 11 Alors que léquation est équivalente à léquation Nous savons traiter cette dernière équation.

ACT Cours 11 CHAPITRE IV Annuités générales

ACT Cours 11 Jusquà maintenant nous avons traité que dannuités simples constantes et pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation sont les mêmes. Il nous faut considérer des situations plus générales.

ACT Cours 11 Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement

ACT Cours 11 Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes

ACT Cours 11 Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes soit que les paiements ne sont pas constants

ACT Cours 11 soit le taux dintérêt pour la k e période est i k et sapplique à tous les paiements pendant cette période Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement

ACT Cours 11 soit le taux dintérêt pour la k e période est i k et sapplique à tous les paiements pendant cette période soit le taux dintérêt est applicable au k e paiement et pour ce paiement, il est le même pour chaque période Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement

ACT Cours 11 Considérons la situation dune annuité pour laquelle le taux dintérêt pour la k e période est i k et sapplique à tous les paiements de lannuité pendant cette période.

ACT Cours 11 Si nous considérons une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période, alors nous obtenons que sa valeur actuelle est Par analogie, nous noterons ceci par

ACT Cours 11 Pour la même annuité, nous obtenons que la valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est Par analogie, nous noterons ceci par

ACT Cours 11 Supposons que, pour un prêt, le taux dintérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année $ est emprunté et ce prêt est remboursé par des paiements de R dollars à la fin de chaque année pendant 5 ans. Déterminons R. Exemple 2:

ACT Cours 11 Nous avons ainsi léquation R (1.04) -1 + R(1.04) -1 (1.045) -1 + R(1.04) -1 (1.045) -1 (1.05) -1 + R (1.04) -1 (1.045) -1 (1.05) -2 + R (1.04) -1 (1.045) -2 (1.05) -1 | Nous obtenons alors que R = $ Exemple 2: (suite)

ACT Cours 11 Supposons que nous plaçons 1000$ au début de chaque année. Si le taux dintérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année. Déterminons le montant accumulé à la fin de la cinquième année. Exemple 3:

ACT Cours 11 Ce montant accumulé est 1000(1.04)(1.045) 2 (1.05) (1.045) 2 (1.05) (1.045)(1.05) (1.045)(1.05) (1.045) cest-à-dire $. Exemple 3: (suite)

ACT Cours 11 Considérons la deuxième situation, celle dune annuité pour laquelle le taux dintérêt i k est applicable au k e paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Lannuité consiste en des paiements de 1$ à la fin de chaque période.

ACT Cours 11 Dans cette situation, la valeur actuelle de lannuité sera Par analogie, nous noterons ceci par

ACT Cours 11 La valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement sera Par analogie, nous noterons ceci par

ACT Cours 11 Supposons que le premier paiement est rémunéré au taux de 6% par année, le second au taux de 5%, la troisième au taux de 5.5% et le quatrième au taux de 6% et que tous les montants sont de R dollars. Que doit être R si nous voulons accumuler 20000$? Exemple 4:

ACT Cours 11 Nous avons léquation de valeur à t = 4 ans Nous obtenons ainsi que R = $ Exemple 4: (suite)

ACT Cours 11 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation de lintérêt sont différentes, soit la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de lintérêt, soit la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de lintérêt.

ACT Cours 11 Si la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de lintérêt, nous allons supposer quil y a un nombre entier de périodes de paiement dans une période de capitalisation de lintérêt. Hypothèse:

ACT Cours 11 Si la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de lintérêt, nous allons supposer quil y a un nombre entier de périodes de capitalisation de lintérêt dans une période de paiement. Hypothèse:

ACT Cours 11 Dans une telle situation, nous allons développer deux approches. Dans la première, il suffira de convertir le taux dintérêt à un taux équivalent. Dans la seconde, nous développerons une approche théorique

ACT Cours 11 Il suffit de convertir le taux dintérêt de façon à obtenir le taux dintérêt équivalent et pour lequel la période de capitalisation est la même que la période de paiement. Nous allons illustrer ceci dans des exemples. Première approche :

ACT Cours 11 Nous voulons accumuler $ en faisant 84 versements mensuels au montant de R dollars pendant 7 ans dans un fonds de placement. Le taux dintérêt du fonds de placement est le taux nominal dintérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement. Déterminons R. Exemple 5:

ACT Cours 11 Si i (2) = 6% alors le taux effectif dintérêt équivalent est 6.09% par année. De ceci nous obtenons que le taux nominal i (12) = % par année capitalisé mensuellement est équivalent à i (2) = 6%. Conséquemment le taux dintérêt par mois équivalent au taux i (2) = 6% est Exemple 5: (suite)

ACT Cours 11 Nous sommes maintenant dans la même situation que celle du chapitre 3. Conséquemment il nous faut donc déterminer R tel que Nous obtenons ainsi que R = $ Exemple 5: (suite)