Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes Roland Charnay - 2008

Sur les enjeux La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. (socle commun) L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme) Roland Charnay - 2008

Sur la résolution de problèmes La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (socle commun, 2006) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008) Roland Charnay - 2008

Sur l’articulation avec le collège Fractions : addition (même dénominateur) CM2  pas évoqué en 6e / exigible en 5e Décimaux : valeur approchée CM2  6e (mais hors socle) Calcul posé Commentaire 6e : Les nombres doivent rester de taille raisonnable, aucune virtuosité technique n’est recherchée Division décimale d’un décimal par un entier CM2  6e avec ce commentaire : Le dividende comporte au maximum 2 chiffres après la virgule Roland Charnay - 2008

Règle de trois Pourcentage Echelles CM1 et CM2  6e sous la forme : Passage par l’unité (ou « règle de trois ») Pourcentage CM2  6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « … % de » et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique n’est nécessaire Echelles CM2  5e (mais hors socle) et rien en 6e Roland Charnay - 2008

sur les acquis des élèves Quelques indicateurs sur les acquis des élèves Roland Charnay - 2008

Evaluation sixième Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés). Deux domaines particuliers de difficultés le calcul mental : 72 % de réussite aux questions "de base" Exemples : le quart de 100 (68 %) 36 divisé par 4 (56 %) la résolution de problèmes Roland Charnay - 2008

Comparaison internationale (PISA 2003) Deux points faibles caractéristiques Des élèves plus angoissés que les autres face aux mathématiques Une faiblesse particulière lorsqu'il faut "prendre des initiatives, expérimenter (faire des essais, critiquer, recommencer…)" Roland Charnay - 2008

Un exemple Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure : Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches. Roland Charnay - 2008

Analyse des difficultés Roland Charnay - 2008

Evaluation 6e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland Charnay - 2008

Procédures possibles Division par 6 Division (stabilisée au CM1) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Addition de 6 en 6 Addition (CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Roland Charnay - 2008

Une question ne pensent-ils pas… n’osent-ils pas… Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… ne pensent-ils pas… n’osent-ils pas… ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question ? Roland Charnay - 2008

Un cadre pour travailler sur l'origine des difficultés Roland Charnay - 2008

Schéma d’analyse sommaire Connaissances et compétences en lecture (ordre des informations, place de la question) sur le contexte sur les concepts mathématiques relatives au raisonnement en calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs Roland Charnay - 2008

A la bonne place (éva CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Roland Charnay - 2008

Quelques pistes pour "apprendre à résoudre" Roland Charnay - 2008

Apprendre ce qu’est chercher Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Roland Charnay - 2008

Deux exemples de « problèmes pour chercher » CM1-Cap Maths Roland Charnay - 2008

Favoriser l’appropriation du problème Ne pas confondre lecture d'énoncé et résolution de problème Plusieurs supports de présentation Situation réelle Situation représentée : dessin, schéma, document Situation communiquée oralement Situation communiquée par un énoncé écrit Roland Charnay - 2008

Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Eviter les aides « de surface » Roland Charnay - 2008

Exploiter la diversité des procédures Favoriser la diversité Exploiter la diversité Aider à progresser vers les résolutions expertes Roland Charnay - 2008

Largeur de la bibliothèque : 1 m (ou 100 cm) CE2 – Cap Maths Largeur de la bibliothèque : 1 m (ou 100 cm) établie dans la question 3 Roland Charnay - 2008

Deux stratégies de résolution Déterminer le nombre total d'encyclopédies qui peuvent être placées, puis le nombre de celles qui peuvent être ajoutées Déterminer d'abord la "place" déjà occupée, puis la "place" restante, puis le nombre d'encyclopédies qui peuvent être mises sur cette "place". Roland Charnay - 2008

Plusieurs procédures pour la 2e stratégie  Un schéma, support de calculs (résolution "pratique") 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96  Addition 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48 48 + 6 = 54 + 6 = 60 + 6 = 66 + 6 = 72 + 6 = 78 + 6 = 84 + 6 = 90 + 6 = 96 Roland Charnay - 2008

Multiplication et addition 6 x 8 = 48 4 8 6 + 6 + 6 + 6 = 24 + 5 2 24 + 24 = 48 1 0 0 Multiplication et soustraction 6 x 8 = 48 1 0 0 6 x 8 = 48 - 4 8 6 x 9 = 54 5 2  Multiplication et proportionnalité 6 x 8 = 48 48 x 2 = 96 8 x 2 = 16 Roland Charnay - 2008

Correction ou mise en commun ? Aboutir au corrigé, à LA solution Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible Mise en commun Inventorier les « résolutions » Débattre de leur validité Les comparer Conséquence : la diversité est possible Roland Charnay - 2008

Trace écrite ? Pas de trace écrite cette fois-ci Un montage de différentes « résolutions » correctes Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève Roland Charnay - 2008

Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise en commun Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes Choix des variables Exemples : 60 images, 5 par page 250 images, 6 par page Roland Charnay - 2008

L’apprentissage de l’équivalence entre soustraction et complément Un exemple de dispositif d’enseignement Pour une vue plus complète sur addition/soustraction, se reporter à la conférence « Calcul » Cet apprentissage ne se fait pas seul. Il est long pour certain. Il nécessite un dispositif, puis un enraînement. 2007 Roland Charnay

MATERIEL DE L'ENSEIGNANT (nombre de points connu des élèves) Aide à la prise de conscience à partir d'une situation Combien de points cachés ? Cap Maths CE2 MATERIEL DE L'ENSEIGNANT  une feuille de points (nombre de points connu des élèves)  une feuille cache 2007 Roland Charnay

Trouver combien de points sont cachés ? La question Trouver combien de points sont cachés ? 2007 Roland Charnay

Les problèmes Les solutions Carte avec 20 points - 5 visibles - 16 visibles Complément ou soustraction Complément Carte avec 34 points - 4 visibles - 20 visibles - 15 visibles Complément ou soustraction Complément 2007 Roland Charnay

cacher les "visibles" et dévoiler les autres ! Importance de la validation : cacher les "visibles" et dévoiler les autres ! Question : Compléter de 11 à 34 Vérification de la réponse : Soustraire 11 de 34 2007 Roland Charnay

La taille des nombres augmente Les outils de calcul se diversifient 2007 Roland Charnay

Le rôle des situations expérimentales REEL / ANTICIPATION Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Roland Charnay - 2007

Aide à la prise de conscience à partir de questions de calcul mental 2 pour aller à 47  plutôt soustraction 36 pour aller à 40  plutôt complément 20 pour aller à 50  plutôt ? 52 – 4  plutôt soustraction 61 – 58  plutôt complément 60 – 35  plutôt ? 2007 Roland Charnay