La fonction quadratique Le sommet de la parabole L’équation de l’axe de symétrie L’extrémum L’ordonnée à l’origine

Le sommet d’une parabole est donné par S( h , k ). Démonstration 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 La parabole de base à son sommet à l’origine du plan. Les coordonnées du sommet sont donc ( 0 , 0 ). Le paramètre h crée une translation horizontale. Exemple: si h = 2 alors… Nouvelles coordonnées: S( 0 + 2 , 0 ) S( 0 + h , 0 ) S ( h , 0 )

Le sommet d’une parabole est donné par S( h , k ). La parabole de base à son sommet à l’origine du plan. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Les coordonnées du sommet sont donc ( 0 , 0 ). Le paramètre k crée une translation verticale. Exemple: si k = 3 alors… Nouvelles coordonnées: S( 0 , 0 + 3 ) S( 0 , 0 + k ) S ( 0 , k )

S ( h , k ) Ainsi, dans la fonction f(x) = ( x – 2 )2 + 3 Le sommet de la parabole: 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 S ( 0 + 2 , 0 + 3 ) S ( 0 + h , 0 + k ) S ( h , k )

x = h L’équation de l’axe de symétrie est donné par x = h Démonstration La parabole de base a comme axe de symétrie l’axe des y. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ou x = 0 Le paramètre h crée une translation horizontale. Exemple: si h = 2 alors… x = 0 + 2 x = 0 + h x = h

∞ , 1] [ 1 , + ∞ L’axe de symétrie est utile car il permet: - d’analyser la croissance et la décroissance de la fonction: 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 f(x) sur : - ∞ , 1] f(x) sur : [ 1 , + ∞ - de déterminer l’abscisse du sommet de la parabole: S ( 1 , k ) - de repérer les zéros de fonction: x1 = - 1 axe de symétrie x = 1 donc x2 = 3

La coordonnée K nous renseigne sur l’extrémum de la fonction. S ( h , ) k Ainsi, dans la fonction : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 f(x) = ( x – 2 )2 + 3 S ( 2 , ) 3 k = 3 Minimum absolu = 3 Dans la fonction: f(x) = - ( x – 2 )2 + 3 S ( 2 , ) 3 k = 3 Maximum absolu = 3

L’ordonnée à l’origine ( ou valeur initiale ) est la valeur de f(x) quand x = 0. À cet endroit, la fonction traverse l’axe des ordonnées ( axe des y ). x y donc f(0) Elle se calcule dons assez facilement dans n’importe quelle forme. Exemples: f(x) = 2x2 + x - 15 f(x) = 2 ( x - 2 )2 - 7 f(0) = 2 X 02 + 0 - 15 = -15 f(0) = 2 ( 0 - 2 )2 - 7 f(0) = -15 f(0) = 2 ( -2 )2 - 7 f(0) = 2 X 4 - 7 = 1 f(0) = 1

Forme canonique : Forme générale : f(x) = a ( x – h )2 + K La fonction quadratique peut s’écrire sous la forme canonique ou sous la forme générale, donc : Forme canonique : Forme générale : f(x) = a ( x – h )2 + K f(x) = ax2 + bx + c - b 2a 4a 4ac – b2 S , Sommet : S ( h , k ) Sommet : - b 2a x = Axe de symétrie : x = h Axe de symétrie : 4ac – b2 4a Extrémum : k Extrémum : Ordonnée à l’origine : f(0) Ordonnée à l’origine : f(0)

Exercices Dans les fonctions suivantes, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, l’équation de l’axe de symétrie, l’extrémum et l’ordonnée à l’origine. S ( h , k ) x = h Extrémum: k Ordonnée à l’origine: f(0) f(x) = 3 ( x – 2 )2 - 4 S ( 2 , - 4 ) x = 2 Min. abs.: - 4 8 f(x) = - 2 ( x + 3 )2 + 2 S ( - 3 , 2 ) x = - 3 Max. abs.: 2 - 16 Attention aux signes ! f(x) = - 2 ( x + 3 )2 + 2 f(x) = - 2 ( x - - 3 )2 + 2 car f(x) = a ( x - h )2 + k donc h = - 3

Exercice Dans la fonction suivante, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, l’équation de l’axe de symétrie, l’extrémum et l’ordonnée à l’origine. f(x) = x2 + 6 x + 8 a = 1 b = 6 c = 8 - b 2a 4a 4ac – b2 S , Axe de symétrie: x = - 3 Extrémum: Min. abs. : - 1 - 6 2 X 1 4 X 1 4 X 1 X 8 - 62 S , car a = + 1 donc - 6 2 4 32 - 36 S , Ordonnée à l’origine : f(x) = x2 + 6 x + 8 f(0) = 02 + 6 X 0 + 8 = 8 - 6 2 4 - 4 S , S ( - 3 , -1 ) f(0) = 8