13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours

13/11/07 Rappel du dernier cours Solde restant dun prêt: retrospectivement et prospectivement

13/11/07 Rappel du dernier cours Solde restant dun prêt: retrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement

13/11/07 Rappel du dernier cours Solde restant dun prêt: retrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement Portion dintérêt du du k e paiement

13/11/07 Rappel du dernier cours Solde restant dun prêt: retrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement Portion dintérêt du du k e paiement Amortissement dans le cas dun prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux

13/11/07 Rappel du dernier cours Solde restant dun prêt: retrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement Portion dintérêt du du k e paiement Amortissement dans le cas dun prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux Amortissement négatif

13/11/07 Rappel: Solde restant dun prêt Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k

13/11/07 Rappel: Solde restant dun prêt Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Prospectivement B k est la somme des valeurs actuelles au temps t k des (n - k) derniers paiements: P k+1, P k+2,..., P n

13/11/07 Rappel: Portion de principal remboursé dans le k e paiement P k Cette portion de principal remboursé est B k-1 - B k. ou encore

13/11/07 Rappel: Portion dintérêt du k e paiement P k : Cette portion dintérêt est P k - (B k-1 - B k ). ou encore

13/11/07 Rappel: Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Le montant emprunté est alors La table damortissement est alors

13/11/07 Rappel: Table damortissement

13/11/07 Rappel: La portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i). Conséquemment si nous connaissons la portion de principal dun paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas.

13/11/07 Rappel: Il est possible quil y ait de lamortissement négatif, cest-à-dire plutôt que le solde restant du prêt diminue avec un paiement, il augmente.

13/11/07 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par n paiements égaux pour lequel les périodes de capitalisation de lintérêt et de paiement ne coïncident pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deux options soffrent à nous, soit de convertir le taux dintérêt à un dont la période de capitalisation est la période de paiement, soit de développer la théorie.

13/11/07 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Supposons quil y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement. Notons par i : le taux dintérêt du prêt par période de capitalisation et par n : la durée du prêt en période de capitalisation. Le montant emprunté L est alors

13/11/07 Table damortissement

13/11/07 Exemple 1: Un prêt de $ est remboursé par 5 versements égaux à la fin de chaque trimestre au montant de R dollars. Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt i (12) = 3% par année capitalisé mensuellement. Déterminer la table damortissement, le solde restant immédiatement après le 2 e paiement, la portion dintérêt et celle de principal du 3 e paiement.

13/11/07 Exemple 1: (suite) Première approche: Déterminons le taux nominal dintérêt i (4) équivalent au taux i (12) = 3%. Ce taux est i (4) = % par année capitalisé à tous les trimestres, cest-à-dire % par trois mois. Nous obtenons donc léquation de valeur suivante au moment du prêt.

13/11/07 Exemple 1 (suite): Table damortissement Période de paiement PaiementPortion dintérêt Portion de principal Solde restant après le paiement

13/11/07 Exemple 1: (suite) Le solde restant immédiatement après le 2 e paiement est La portion dintérêt du 3 e paiement est ( ) = $ et la portion de principal remboursé est = $

13/11/07 Exemple 1: (suite) Deuxième approche: Le taux dintérêt par mois est 0.25% par mois et il y a k = 3 périodes de capitalisation dans une période de paiement. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

13/11/07 Exemple 1: (suite) Nous obtenons la même table damortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 2 e paiement, les portions dintérêt et de principal du 3 e paiement. Le solde restant après le 2 e paiement est

13/11/07 Exemple 1: (suite) La portion dintérêt du 3 e paiement est B 2 [(1.0025) 3 - 1] =113.63$ et la portion de principal du 3 e paiement est = $.

13/11/07 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons quil y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i : le taux dintérêt du prêt par période de capitalisation et par n : la durée du prêt en période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant emprunté L est alors

13/11/07 Table damortissement

13/11/07 Exemple 2: Un prêt de 5 000$ est remboursé par 6 versements égaux à la fin de chaque mois au montant de R dollars. Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt i (4) = 4% par année capitalisé à tous les trimestres. Déterminer la table damortissement, le solde restant immédiatement après le 3 e paiement, la portion dintérêt et celle de principal du 4 e paiement.

13/11/07 Exemple 2: (suite) Première approche: Déterminons le taux nominal dintérêt i (12) équivalent au taux i (4) = 4%. Ce taux est i (12) = % par année capitalisé à tous les trimestres, cest-à-dire % par mois. Nous obtenons donc léquation de valeur suivante au moment du prêt.

13/11/07 Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant après le paiement Table damortissement

13/11/07 Exemple 2: (suite) Le solde restant immédiatement après le 3 e paiement est La portion dintérêt du 4 e paiement est ( ) = 8.35$ et la portion de principal remboursé est = $

13/11/07 Exemple 2: (suite) Deuxième approche: Le taux dintérêt par trois mois est 1% par mois et il y a m = 3 périodes de paiement dans une période de capitalisation. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 2 trimestres. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

13/11/07 Exemple 2: (suite) Nous obtenons la même table damortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 3 e paiement, les portions dintérêt et de principal du 4 e paiement. Le solde restant après le 3 e paiement est

13/11/07 Exemple 2: (suite) La portion dintérêt du 4 e paiement est B 3 [(1.01) (1/3) - 1] =8.35$ et la portion de principal du 4 e paiement est = $.

13/11/07 Nous allons maintenant étudier une autre situation, celle des fonds damortissement.

13/11/07 Dans certains prêts, lemprunteur verse à intervalles réguliers lintérêt dû et remboursera complètement le principal L à léchéance du prêt. Pour accumuler le montant du prêt à léchéance, lemprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des versements de façon telle quil accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds daccumulation (« sinking fund »)

13/11/07 Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montant net du prêt est le principal prêté initialement auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.

13/11/07 Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux dintérêt est le taux i par période de capitalisation. Lintérêt est payé à la fin de chaque période de capitalisation. Au même moment, un dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux dintérêt j. Ces dépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n périodes de capitalisation. La période de capitalisation de lintérêt du fonds est la même que celle du prêt. Nous obtenons le tableau suivant.

13/11/07 Si nous notons par R le montant déposé dans le fonds à la fin de chaque période de capitalisation, alors nous avons léquation

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Exemple 3: Un prêt de 5 000$ est remboursé par un versement de 5000$ après cinq ans. Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt i = 5% par année. Un fonds damortissement est mis en place pour accumuler le 5000$ à la fin de la cinquième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 5 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif dintérêt j = 4% par année. Déterminer la table pour ce fonds damortissement et le montant net du prêt immédiatement après le 3 e dépôt.

13/11/07 Exemple 3: (suite) Pour déterminer R, il faut noter que nous avons léquation de valeur suivante à la fin de la cinquième année: Le montant dintérêt payé à chaque année est 5000 (0.05) = 250$.

13/11/07 PériodeIntérêt payé Versement dans le fonds Intérêt gagné par le fonds pendant la période Valeur accumulée dans le fonds Montant net du prêt

13/11/07 Exemple 4: Un prêt de $ est remboursé par un versement de $ après huit ans et des versements annuels dintérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt i = 5% par année. Ainsi lemprunteur paiera 3750$ dintérêt par année. Un fonds damortissement est mis en place pour accumuler le $ à la fin de la huitième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif dintérêt j = 3% par année. Déterminer R, ainsi que le montant net dintérêt payé à la fin de la 5 e année et le montant net du prêt immédiatement après le 5 e dépôt.

13/11/07 Exemple 4: (suite) Nous avons léquation de valeur suivante: Conséquemment lemprunteur versera = $ à chaque année,

13/11/07 Exemple 4: (suite) Le montant net dintérêt payé à la fin de la 5 e année est le montant dintérêt 3750, auquel nous soustrayons le montant dintérêt gagné par le fonds damortissement pendant la 5 e année. Au début de la 5 e année (cest-à-dire après le 4 e dépôt), le montant accumulée dans le fonds est Le montant dintérêt gagné par le fonds pendant le 5 e année est (0.03) = $. Donc le montant net dintérêt payé à la fin de la 5 e année est = $.

13/11/07 Exemple 4: (suite) Le montant net du prêt à la fin de la 5 e année est le montant emprunté 75000, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds damortissement après le 5 e dépôt, à savoir