Principes de tarification de base Mathématiques et statistique Partie 2 Principes de tarification de base

Indiqué Mathématiques et statistique Lors des cours précédents, nous avons appris divers techniques servant à ajuster l'expérience passée à une période de tarification futur. À l'intérieur de ce cours, nous verrons comment combiner ces divers estimés afin de déterminer si le niveau courant de taux est adéquat (i.e. Si le profit visé sera atteint ou dépassé sans aucun changement de taux) En particulier, nous aborderons deux méthodes principales pour calculer un indiqué ou en d'autres mots, déterminer le changement de taux nécessaire pour atteindre un certain seuil de rentabilité. 1) Méthode de la Prime Pure 2) Méthode du Ratio Sinistres-Primes

Méthode de la Prime Pure Mathématiques et statistique Méthode de la Prime Pure La méthode de la prime pure est considéré comme étant la plus simple et la plus direct, car elle détermine directement la prime moyenne indiqué au lieu d'un changement de taux nécessaire. Cette méthode consiste à projeter les sinistres & LAE moyens ainsi que les dépenses fixes moyennes par unité d'exposition jusqu'à la période où les taux entreront en vigueurs. Le total de ces deux estimés est ensuite ajusté pour prendre en compte les dépenses variables ainsi que le profit visé. Note : Prime pure = Sinistres moyens par unité d'exposition

Méthode de la Prime Pure Mathématiques et statistique Méthode de la Prime Pure P = Prime moyenne indiqué L = Sinistres projetées EL = Dépenses reliées aux sinistres (LAE) EF = Dépenses fixes V = Dépenses variables en % de la prime QT = Profit visé en % de la prime X = Nombre d'expositions Selon l'équation de base en tarification, on obtient l'égalité suivante : Prime totale = Sinistres + Dépenses + Profit Prime totale = (L + EL) + (EF + V*P) + QT*P Prime totale= (L + EL+ EF) / (1 – V – QT) P= [ (L+ EL+ EF) / X ] / (1 – V – QT)

Méthode de la Prime Pure Mathématiques et statistique Méthode de la Prime Pure Exemple 1 : Selon l'information suivante, calculer la prime moyenne indiqué : - Prime Pure projetée incluant LAE : 300$ - Dépenses fixes projetées par unité d'exposition : 25$ - Dépenses variables : 25% - Profit visé : 10% Solution P= (E(L) + E(EL) + E(EF)) / (1 – V – QT) P= (300+ 25 ) / (1 – 0.25 – 0.10) = 325/0.65 = 500$

Méthode du Ratio Sinistres-Primes Mathématiques et statistique Méthode du Ratio Sinistres-Primes La méthode du ratio sinistres-primes est probablement la plus populaire des deux. Cette approche consiste à comparer le pourcentage estimé de chaque dollar de prime servant à payer les sinistres & LAE futures et dépenses fixes futures au montant de chaque prime étant « disponible » pour payer ces coûts. En d'autres mots, cette méthode compare le ratio sinistres-primes projet avec un ratio sinistres-primes visé aussi appelé Variable Permissible Loss Ratio (VPLR) afin de déterminer le changement de taux indiqué : Variable Permissible Loss Ratio = (1 – V – QT) (PLR excluant le ratio des dépenses fixes) la prime pure est considéré comme étant la plus simple et la plus direct, car elle détermine directement la prime moyenne indiqué au lieu de d'un changement de taux nécessaire. Cette méthode consiste à projeter les sinistres & LAE moyens ainsi que les dépenses fixes moyennes par unité d'exposition jusqu'à la période où les taux entreront en vigueurs. Le total de ces deux estimés est ensuite ajusté pour prendre en compte les dépenses variables ainsi que le profit visé. Note : Prime pure = Sinistres moyens par unité d'exposition

Méthode du Ratio Sinistres-Primes Mathématiques et statistique Méthode du Ratio Sinistres-Primes Pp = Prime totale projetée Pm = Prime moyenne projetée P= [ (L+ EL+ EF) / X ] / (1 – V – QT) = (L + EL + EF) / VPLR Pour arriver à l'équation de la méthode du ratio sinistres-primes à partir de l'équation la prime pure, on a qu'à diviser par la prime moyenne projetée : P / Pm = [ (L+ EL+ EF) / (X * Pm)] / (1 – V – QT) La prime moyenne indiquée divisée par la prime moyenne projetée moins 1.00 représente le changement de taux indiqué pour la période future de tarification. Pp = Pm * X Chg de taux indiqué= [ (L + EL + EF ) / Pp ] / (1 – V – QT) – 1.00

Méthode du Ratio Sinistres-Primes Mathématiques et statistique Méthode du Ratio Sinistres-Primes Cette formule peut prendre différentes formes selon les différents termes que l'on a appris. Par exemple, si on remplace les dépenses fixes divisés par la prime par le ratio dépenses fixes (F) F = EF / Pp Chg de taux indiqué= [ (L + EL) / Pp + F ] / (1 – V – QT) – 1.00 Si on utilise le ratio des ULAE en fonction des sinistres ainsi que le ratio sinistres primes projetés : RSP = Ratio sinistres primes incl. ALAE projeté = (L+ALAE) / Pp Chg de taux indiqué= [ RSP * (1+ULAE ratio) + F ] / (1 – V – QT) – 1.00

Méthode du Ratio Sinistres-Primes Mathématiques et statistique Méthode du Ratio Sinistres-Primes Exemple 2 ::A partir de l'information ci-dessous, calculer le changement de taux indiqué : - Ratio Sinistres Primes incluant LAE projeté : 65% - Dépenses fixes projetées : 6.5% - Dépenses variables : 25% - Profit visé : 10% Solution : Chg de taux indiqué= (0.65 + 0.065) / (1-0.25-0.1) -1.00 = 0.715 / 0.65 -1.00 = + 10% Pour atteindre le seuil de rentabilité désiré, il faut donc augmenter les taux en moyennes par 10%.

Comparaison des Méthodes Mathématiques et statistique Comparaison des Méthodes Même si les deux méthodes sont mathématiquement équivalente, certaines différences par rapport à l'information nécessaire feront en sorte qu'une méthode est préférable à l'autre pour certaines situations. La différence principale est bien sûr qu'une méthode utilise un ratio sinistres-primes (sinistres & LAE projetés divisés par prime acquise projeté) et l'autre la prime pure (sinistres & LAE projetés divisés par les unités d'expositions projetées). En d'autres mots, la méthode du ratio sinistres-primes nécessite le calcul de la prime acquise projetée mise à niveau tandis que la méthode de la prime pure nécessite des unités d'expositions projetées. À cause de cette différence, la méthode de la prime pure sera toujours préférable lorsque l'information sur la prime n'est pas disponible ou inadéquate. Par exemple lorsqu'une compagnie entre dans une nouvelle ligne d'affaire, elle ne possède aucune historique de prime, mais peu très bien estimer une Prime Pure à partir de données externes.

Comparaison des Méthodes Mathématiques et statistique Comparaison des Méthodes De la même façon, la méthode du ratio sinistres primes sera préférable lorsque l'information sur les unités d'expositions n’est pas disponible ou inadéquate. Par exemple une police de responsabilité commerciale peut posséder plusieurs sous-lignes d'affaire servant à protéger l'assuré contre une multitude de risque, chacune de ces sous-lignes peut posséder une base d'exposition différente. L'autre différence majeure est le résultat produit par chacune des deux méthodes, une produit une prime moyenne à charger et l'autre un changement moyen à appliquer sur les primes. Plusieurs actuaires préfèrent utiliser un changement de taux indiqué, car cela représente bien l'impact moyen que les assurés existant prendraient au renouvellement si le changement de taux est implémenté.

Crédibilité Mathématiques et statistique Nous avons précédemment vu comment utiliser l'expérience passée pour développer des estimés actuarielles du futur. Selon la loi des grands nombres, lorsque le volume d'unités d'exposition indépendantes et similaires augmente, l'expérience observée devrait converger vers la l’espérance des sinistres. Même si l'expérience de chaque risque varie d'année en année, en assurant un grand nombre de risque, l'expérience du groupe au complet devrait être plus stable et plus facile à prédire. Cependant, le volume d'information utilisé en tarification n'est pas toujours suffisant pour produire des estimés stables et précis. L'actuaire peut donc utilisé des méthodes de crédibilité afin d'ajouter de l'information supplémentaire à l'expérience.

Crédibilité - Critères Mathématiques et statistique Crédibilité - Critères La première étape en utilisant la crédibilité est de déterminer à quel point l'estimé dérivé à partir de l'expérience est fiable. En assumant des risques homogènes, le % de crédibilité donné à l'expérience observé, dénoté Z, doit respecter les trois critères ci-dessous : 1) 0 <= Z <= 1.00 2) Z doit augmenter lorsque le nombre de risques de l'expérience augmente. Z est donc strictement croissant en fonction de n (unités d'exposition) 3) Z doit augmenter à un taux décroissant. La 2e dérivé de la fonction de Z doit donc toujours être négative.

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique L'approche de la crédibilité classique est probablement la méthode de crédibilité la plus utilisé à cause de sa simplicité. Dans cette approche, Z est calculé et est utilisé pour donner un poids à l'expérience observé et à un estimé a priori : Estimé = Z * Expérience Observée + (1-Z) * Estimé a priori L'actuaire doit donc déterminer la valeur approprié de Z, pour y arriver, il devra tout d'abord déterminer le nombre espéré de réclamations nécessaire afin d'avoir une crédibilité pleine (car les méthodes de crédibilité sont principalement utilisé à cause de la volatilité des sinistres). Définissons les variables suivantes : S = Montant total de sinistres Y = Nombre total de réclamations

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique L'expérience observée est considérée 100% crédible lorsque la probabilité (p) est suffisamment élevé pour que l'expérience observée ne soit pas différente de l'expérience espéré par plus d'un facteur arbitraire (k). En terme statistique, cela se traduit à : Pr[ (1-k) * E(S) <= S <= (1+k) * E(S) ] = p Selon le Théorème Limite Centrale : (S – E(S)) / Var(S)^0.5 ~ N(0,1) Comme la loi normale est symétrique, on obtient : [(1+k)*E(S) – E(S)] / Var(S)^0.5 = z(p+1)/2 Où z(p+1)/2 est la valeur de la table normale correspondant à la probabilité (p+1) /2

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique Nous allons considérer les hypothèses suivantes afin de simplifier les calculs : 1) Les unités d'expositions sont homogènes (i.e. Chaque unité possède la même espérance du nombre de sinistres) 2) La survenance des sinistres suit une loi Poisson ce qui implique que Var(Y) = E(Y) 3) La sévérité est constante (Sev) Selon cette hypothèse, la formule de la diapositive précédente se simplifie à : [(1+k)*E(S) – E(S)] / Var(S)^0.5 = [(1+k)*E(Y) – E(Y)] * Sev / (Sev^2* E(Y)) ^0.5 = k * E(Y) / (E(Y) ^0.5) = k * E(Y)^0.5 = z(p+1)/2

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique En isolant E(Y), on obtient : E(Y) = ( z(p+1)/2 / k )^2 Le nombre de sinistres espérés pour atteindre une pleine crédibilité sera donc égale à : ( z(p+1)/2 / k )^2 En d'autres mots : Z = 100% si Y => E(Y) Si le nombre de réclamations est inférieur au standard de pleine crédibilité, la méthode de crédibilité classique suggère que la racine carré doit être appliqué au ratio entre le nombre réel de réclamation et le standard de pleine crédibilité : Z = ( Y / E(Y) )^0.5 lorsque Y<E(Y)

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique Exemple 4 : Déterminer le changement de taux indiqué crédibilisé à partir de l'information suivante : - Considérer que l'expérience est 100% crédible s'il y a une probabilité de 90% que l'expérience observée soit à +/- 5% de son espérance. - 100 réclamations sont survenus dans l'expérience observée - Le changement de taux indiqué de la compagnie est +10% - Le changement de taux indiqué de l'industrie est de +5%

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique Exemple 3 : Suite... ( z(p+1)/2 / k )^2 = ( 1.645 / 0.05 ) ^2 = 1082 Z = Min[ (100/1082)^0.5, 1.00 ] = 0.30 Chg de taux indiqué crédibilisé = 0.30 * 0.10 + (1-0.3) * 0.05 = + 6.5%

Complément de Crédibilité Mathématiques et statistique Complément de Crédibilité Le complément de crédibilité est le terme générale utilisé pour définir l'expérience utilisé afin de complété l'expérience observée. Estimé = Z * Expérience Observée + (1-Z) * Complément de Crédibilité Comme il peut exister plusieurs compléments de crédibilité possible, il sera pratique de définir les caractéristiques qu'un complément parfait possèderait : 1) Précis 2) Non biaisé 3) Indépendant de l'expérience observée 4) Disponible 5) Facile à calculer 6) Relation logique avec l'expérience Cependant, un complément parfait n'existe pratiquement jamais, alors il faudra toujours sélectionner le plus approprié selon chaque situation.

Complément de Crédibilité Mathématiques et statistique Complément de Crédibilité Utiliser l'expérience des compétiteurs Lorsqu'une compagnie possède à peine d'expérience dans une ligne d'affaire, il serait pratique d'utiliser l'expérience de compétiteurs ou de l'industrie au complet afin de crédibilisé son expérience. Avantages : - Relation logique - Généralement indépendant Désavantages : - Pas toujours disponible - Peut être biaisé à cause de différentes pratiques de souscription/ajustement de sinistres - Pas très précis

Complément de Crédibilité Mathématiques et statistique Complément de Crédibilité Utiliser l'expérience d'un groupe plus large Lorsqu'une compagnie possède à peine d'expérience dans une sous-ligne d'affaire, elle peut toujours utiliser l'expérience d'une ligne plus large, mais quand même corrélé. Par exemple, l'expérience en habitation au Canada peut être utilisé comme complément à l'expérience de chacune des provinces. Avantages : - Disponible - Facile à calculer - Relation logique Désavantages : - Biaisé - Peut ne pas être indépendant si l'expérience du sous-groupe est inclut

Complément de Crédibilité Mathématiques et statistique Complément de Crédibilité Taux présent inflationné Lorsqu'il n'y a pas de groupe plus large disponible, l'actuaire peut utiliser les taux courants comme complément de crédibilité. Normalement, deux ajustements sont fait avant d'utiliser les taux courants : 1) Comme les assureurs n'implémentent pas nécessairement ce qui est indiqué, les taux courants devraient être ajusté à partir du dernier estimé disponible. 2) Les taux devraient aussi être ajusté pour refléter les impacts de l'inflation (autant l'inflation affectant les sinistres que celle affectant les primes), car on tarifie pour une période future. Complément = (Facteur d'inflation des sinistres / Facteur d'ajustement des primes) * (1+Changement de taux indiqué précédent) / (1+Changement de taux implémenté) Note : La prime pure peut bien sûr être utilisé à la place des changements de taux

Complément de Crédibilité Mathématiques et statistique Complément de Crédibilité Taux présent inflationné Avantages - Non biaisé - Disponible - Facile à calculer Désavantages - N'est pas nécessairement indépendant - Précision peut varier

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique Exemple 4 : Déterminer le complément de crédibilité selon la méthode des taux présent inflationnés : - Prime moyenne présente est de 200$ - L'inflation annuelle des sinistres est de 5% - Le changement de taux indiqué lors de la dernière analyse était de +10% et la date visée était le 1er Janvier, 2011 - Le changement de taux implémenté à la place a été de +6% le 1er Février, 2011 - Le prochain changement de taux devrait entrer en vigueur le 1er Janvier, 2013

Crédibilité Classique Mathématiques et statistique Crédibilité Classique Exemple 4 : Suite... La période d'inflation est toujours de la date visé du dernier changement de taux à la date visé du prochain. Donc du 1er Janvier 2011 au 1er Janvier 2013 ( 2 ans) Le complément de crédibilité est donc égale à : C = 200 * 1.05^2 * 1.10 / 1.05 = 229$

Mathématiques et statistique Exercices Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section : Exam 5 – Spring 2012 : #9 Exam 5 – Spring 2011 : #9, #10 Exam 5 – Spring 2010 : #26, # 27, #28 Exam 5 – Spring 2009 : #30, #31, #32 Exam 5 – Spring 2008 : #22, #23, #24, #25, #26, #27 Les numéros en gras ont été faits en classe... Note Les exercices sont disponibles sur la site de la CAS à l'adresse suivante : http://www.casact.org/admissions/studytools/exam5/