chargée de mission départementale mathématiques Les apprentissages numériques au cycle 1 C. GALLE, IEN, chargée de mission départementale mathématiques

La construction du nombre entier Rôle de l’école maternelle

LE NOMBRE est un concept mathématique, donc il n'existe pas. C'est un modèle mental générique qui peut se décliner en une infinité de représentations:

Des représentations en cycle 1

Des représentations au cycle 2

La théorie piagétienne sur la construction du nombre En 1941: Piaget associé à Szeminska  « La genèse du nombre du nombre chez l'enfant ». Il considère que le nombre ne devient une notion opératoire grâce à trois capacités logiques : sériation, classification et conservation.   L'opération de sériation :ordonner une série d'objets en fonction de leurs différences (la taille, le poids, ...) La sériation apparaît dans l'acquisition de la suite ordonnée des naturels : 5 est plus grand que 4, qui lui-même est plus grand que 3... La classification: ranger les objets en un ensemble commun malgré leurs différences, attention à leurs points communs en faisant abstraction des différences, construire des classes logiques. La question de la conservation se pose devant deux collections composées du même nombre d'objets mais disposées différemment. L'enfant non conservant répondra qu'il y a plus de jetons là où c'est le plus long, alors que l'enfant conservant dira qu'il y en a le même nombre. (6à 7ans)

Les apports post-piagétiens Le comptage chez l'enfant. Pour Piaget, le comptage ne relevait pas de la logique, mais reflétait des séquences "apprises par cœur" ne nécessitant aucun raisonnement particulier. Des auteurs ont toutefois montré que la pratique du dénombrement précède l'accès à la conservation et ont comparé l'effet de l'apprentissage du comptage, du dénombrement et de la logique. Apprendre à dénombrer peut donc aider l'enfant à développer les capacités opératoires qui sous tendent le concept de nombre. Ainsi, la construction du nombre semble reposer à la fois sur les notions logiques développées par Piaget (sériation, classification et conservation), mais également sur des procédures de dénombrement et de comptage qui seraient des pré requis à la conservation.

Michel FAYOL dégage 2 groupes d'activités : La construction logique du nombre en s'appuyant sur les travaux de PIAGET : les opérations logiques de classement et de sériation; la correspondance terme à terme. Une approche empirique du problème : comptage, dénombrement.

Sciences cognitives et mathématiques S. Dehaene Le nombre : l’enfant arrive avec des intuitions math, notamment sur le nombre. Les mathématiques ne sont pas des constructions arbitraires mais issus de la réalité de l’espace, de l’analyse di monde, du temps, Sens des nombres doit être entrainé : affiner les précisions des systèmes. La mesure de ce système prédictif joue un rôle sur les apprentissages maths Utiliser les approximations : fondation pour les maths Acquérir un sens exact des nombres :  comptage et décomptage pour la notion de linéarité (même distance entre 1 et 2 que 9 et 10) Mots et symboles pour les nombres : représentation mentale et algorithmes De l’approximatif à l’algorithmique : révolution mentale Plaisir et attention : vecteur d’apprentissage

S. Dehaene L’école doit se servir des intuitions ; pas d’approche formelle Tous les enfants n’ont pas la même discrimination du nombre mais l’apprentissage est possible pour chacun. Intuition précise qui se développe avec la ligne numérique : jeu de plateau qui améliore les compétences mathématiques Bandes numériques : important pour le développement numérique de l’enfant Tout enfant a vocation à amer les maths : intuitions mathématiques à développe, piquer la curiosité des enfants : matériels pour fournir un environnement de classe afin de permettre à l’enfant d’aller jouer et augmenter les difficultés On sous estime la compétence des maths des enfants Challenge à proposer soit à la hauteur de leur envie, de leur besoin ; être ambitieux : challenge pour motiver l’attention et l’intérêt Faire réfléchir les enfants : eux qui récréent à partir de intuitions Curiosité : orientation de l’organisme vers ce que je veux apprendre : je sais, c’est trop compliqué , je peux apprendre (endroit excitant)

Le nombre entier, deux mouvements de pensée La valeur ordinale : ordre d’apparition, statut de numéro, le quantième, la successivité La valeur cardinale : la quantité, correspondance terme à terme, équivalence entre les quantités La quantité est considéré comme un tout

Ordinalité et cardinalité sont indissociables. L'ordinalité représente le nombre dans un cadre spatial (bande numérique) dans un cadre temporel (comptine numérique) La cardinalité utilise le nombre pour mémoriser des quantités pour communiquer des quantités Ordinalité et cardinalité sont indissociables.

Stratégies de dénombrement du nombre Le subitizing (perception globale) est une connaissance innée des petites quantités. Il s'agit de la perception globale d'une quantité sans avoir recours au comptage. 4 ou 6 Le comptage numérotage : récitation de la comptine numérique puis association du dernier-mot nombre prononcé à la quantité totale observée

Quelques mots à connaître dans leur définition - Le comptage numérotage : Récitation de la comptine numérique puis association du dernier mot-nombre prononcé à la quantité totale observée. (énumération) - Le dénombrement : récitation de la comptine numérique puis association d’une quantité à chaque nombre prononcé Le surcomptage = augmenter à partir d’une quantité Le décomptage = diminuer à partir d’une quantité

Apprendre à dénombrer Il faut Savoir réciter la comptine numérique Synchroniser la récitation de la comptine et le pointage de chaque objet à dénombrer Ne pointer chaque objet qu’une fois N’oublier aucun objet Cardinaliser le dernier terme de la comptine

Repérage des compétences numériques (INRP équipe ERMEL) La comptine numérique La maîtrise du dénombrement La constitution d’une collection de cardinal donné Le recours spontané au dénombrement Le successeur d’un nombre La lecture des nombres Problèmes arithmétiques

Quatre objectifs importants pour la maternelle A quoi servent les nombres ? Exprimer les quantités pour les mémoriser Repérer et exprimer des positions dans une liste Traiter des problèmes "arithmétiques" Suite orale des nombres : stabilisation Dénombrement : différentes méthodes Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique

Les quatre grandes étapes dans l’apprentissage du nombre Une approche globale d’abord orale Une perception de l’aspect algorithmique de l’écriture de la suite des nombres La découverte du groupement par dix. Les échanges

L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. l’école maternelle a un rôle capital dans la construction de la numération cardinale comme ordinale. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets. Le nombre doit être perçu avant tout comme une représentation d’une quantité ou d’un rang: ce n’est pas l’objet premier du travail à mener avec les élèves. Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. La manipulation d’objets doit toujours être première. Il faut mettre fin à l’utilisation exclusive des photocopies aux exercices formels dénués de sens.

L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. La démarche d’investigation est suggérée: 1. Question concrète 2. Questionnement des élèves. 3. Élaboration d’expérimentations 4. Expérimentation 5. Bilan de l’expérimentation 6. Synthèse

Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. Il faut construire des attitudes: amener les élèves à mobiliser les capacités et les connaissances qui leur permettront de résoudre de vrais problèmes.

La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. Le support papier doit permettre aux élèves de représenter, de schématiser, voire de coder. Il faut abandonner les photocopies standardisées qui conditionnent, qui formatent les élèves à être de simples exécutants de tâches répétitives, dont le sens s’amenuise d’ailleurs à mesure qu’elles sont à nouveau présentées aux élèves.

À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”) et les techniques. La GS n’est pas un pré-Cours Préparatoire. Il ne s’agit pas de coder les situations avec un langage mathématiques expert, mais avec une codification personnelle s’appuyant sur des représentations, des symboles, mais aussi de chiffres

La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et l’écriture chiffrée ; leurs performances restent variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage. L’apprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des lettres. Des constats doivent être effectués sur la construction logique de certains intervalles et … sur les changements de logiques successifs. Onze à seize Dix-sept à dix-neuf Extension du constat de vingt à trente et extension sur l’échantillon trente à soixante-neuf

La construction du nombre Manipulation intuitive des nombres : jeux, comptines … Correspondance terme à terme Constellations Comptine numérique Premiers jeux d’échanges, de troc… dénombrement comparaison comptage échanges classement rangement Aspect cardinal du nombre Aspect ordinal du nombre Connaissance des premiers nombres Aspect algorithmique de la suite des nombres Distinction valeur-quantité Groupements par 10 Ecritures additives des nombres Ecriture canonique Ecriture des nombres sous diverses formes et lecture

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