TRIGONOMETRIE I SOUVENIRS Pour l’angle aigu A , 1° Vocabulaire Le côté opposé est :…………………… Le côté adjacent est :………………….. Pour l’angle aigu C , Le côté opposé est : …………………… Le côté adjacent est : …………………. 1° Vocabulaire BC AB AB CB

Le triangle ABC est rectangle en B. 2° Définition. Le triangle ABC est rectangle en B. Côté adjacent AB Cos A = ------------------------------------- = ---------- Hypoténuse AC Côté adjacent CB Cos C = ------------------------------------- = ---------- Hypoténuse AC

3° Utilisation. a)Calcul du côté ADJACENT Côté adjacent On sait que : Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AC = 8,5 cm et CAB = 37° Calculer AB à 0.01 près Côté adjacent On sait que : Cosinus = Hypoténuse Nous avons ici: AC Cos (CAB) = 37° Soit, en utilisant les données AB AB Cos (37°) = 8,5 En faisant le produit en croix AB = 8,5 x Cos( 37° ) AB 6,79 cm On obtient avec la calculatrice Arrondi à 0,01 près

b) Calcul de l’HYPOTENUSE Soit POR un triangle rectangle en O tel que PO = 8cm et RPO = 28° Calculer PR à 0.01 près Côté adjacent On sait que : Cosinus = Hypoténuse PR Nous avons ici: Cos (RPO) = PO Soit, en utilisant les données 8 Cos (28°) = PR En faisant le produit en croix PR x Cos (28°) Cos( 28° ) = 8 8 D’où PR = On obtient avec la calculatrice PR 9,06 cm Arrondi à 0,01 près

c) Calcul du cosinus puis de l’angle Soit FER un triangle rectangle en R tel que FE =7cm et FR = 5 cm Calculer cos ( RFE) puis la valeur de l’angle RFE au degré près a) Calcul du cosinus Côté adjacent On sait que : Cosinus = Hypoténuse Nous avons ici: FE Cos (RFE) = Soit, en utilisant les données 5 FR Cos (RFE) = 7 b) Calcul de l’angle Il faut utiliser la calculatrice et faire apparaître la fonction cos -1 Pour cela généralement il appuyer sur seconde ou shift puis sur cos Cos -1 ( 5 :7) 44° Résultat arrondi au degré près

II AUTRES RAPPORTS TRIGONOMETRIQUES 1° Sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle. Côté opposé Sinus d’un angle = Hypoténuse BC Sin( BAC ) = AC AB Sin ( ACB ) = AC

2° Tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle Côté opposé Tangente d’un angle = Côté adjacent BC Tan ( BAC ) = AB AB Tan ( ACB ) = BC

3° Résumé Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu â, on a : ADJACENT Cos (â ) = HYPOTENUSE OPPOSE Sin (â ) = HYPOTENUSE OPPOSE Tan (â ) = ADJACENT

4°Choisir le bon rapport trigonométrique. Commencer toujours par repérer l’angle connu ou cherché S E L 36 ° 8,5 cm ? Par rapport à l’angle connu ESL: Je connais : l’hypoténuse Je cherche : le côté opposé Donc j’utilise Sinus S E L 36 ° 4,5 cm ? Par rapport à l’angle connu ESL: Je connais : le côté opposé Je cherche : le côté adjacent Donc j’utilise Tangente

? S E L 36 ° 8,5 cm Je cherche la mesure de l’angle ESL: Je connais : l’hypoténuse Je connais : le côté adjacent Donc j’utilise Cosinus

III FORMULES TRIGONOMETRIQUES A B C â BC AB BC AC AB AC Tan â = Sin â = Cos â = 1° Relation cosinus sinus AB AC BC AC ( )² + ( )² cos² â + sin² â = = AB² AC² + BC² = AB² + BC² AC² Or ABC est un triangle rectangle en B, donc on a d’après le théorème de Pythagore AB² + BC² = AC² = AC² = 1

Quel que soit l’angle aigu â, cos² â + sin² â =1 2° Relation sinus cosinus tangente AB AC BC sin â cos â BC AC AC AB BC AB = = = = tan â Quel que soit l’angle aigu â, sin â cos â = tan â

3° Utilisation : Sachant que cos â = calculer sin â et tan â Calcul de sin â On a : cos² â + sin² â = 1 ( )² + sin² â = 1 + sin² â = 1 sin² â = 1 - sin² â = sin² â = sin â = sin â =

× Calcul de tan â sin â cos â tan â = = = = Conclusion et tan â =

IV ANGLE AU CENTRE , ANGLE INSCRIT 1° Définitions Géoplan a) Angle au centre Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle L’angle au centre AOB intercepte l’arc AB b) Angle inscrit Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent le cercle. L’angle inscrit ACB intercepte l’arc AB

Si un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre, 2° Propriétés Géoplan a) 43° Si un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre, alors sa mesure est égale à la moitié de celle de l’angle au centre 86° b) 32° Si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont même mesure. 32° 32°