Notions de fonction Initiation

Notations et vocabulaire Ci-contre, une courbe dans un repère orthonormé. L ’axe des abscisses (l ’axe des « x ») est l ’axe horizontal. A L ’axe des ordonnées (l ’axe des « y ») est l ’axe vertical. C Lorsque l ’on donne les coordonnées d ’un point, on donne d ’abord l’abscisse puis l’ordonnée. B D Cherche les coordonnées des points A, B, C et D. Le point A est de coordonnées: ( 2 ; 1 ) Le point B est de coordonnées: ( 1,5 ; -0,5 ) Le point C est de coordonnées: ( 0 ; 0,5 ) ( -1 ; -0,7 ) Le point D est de coordonnées:

Notations et vocabulaire Images et antécédents Soit f la fonction définie sur l ’intervalle [-1;3] ce qui veut dire que l ’on trace la fonction pour les « x »de -1 à 3 x et que pour chaque valeur « x » de cet intervalle, il existe un unique f(x) correspondant. f(x) On dit que: f(x) est l ’image de x ou encore: x a pour image f(x) On dit que : x est l’ antécédent de f(x) ou encore: f(x) a pour antécédent x

Notations et vocabulaire Le maximum est la plus grande ordonnée d ’un point de la courbe On cherche le point de la courbe le plus « haut » On lit l ’ordonnée de ce point : c ’est le maximum On dit que 1 est le maximum de f On peut préciser: il est atteint pour x = -1

Notations et vocabulaire Le minimum est la plus petite ordonnée d ’un point de la courbe On cherche le point de la courbe le plus « bas » On lit l ’ordonnée de ce point : c ’est le minimum On dit que -1 est le minimum de f On peut préciser: il est atteint pour x = 0

Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1. Calculer une image Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1. Ce qui signifie que l ’on va calculer des images pour les valeurs de « x » comprises entre -1,2 et 2,2. Et voilà la formule que l ’on va utiliser pour les calculs.

Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1. Calculer une image Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1. Calculer l ’ image de 0. Ce qui signifie calculer f(0). Calcul de f(0): f(x) = x2 - 1 f(0) = 02 - 1 = 0 - 1 = - 1 Réponse: f(0) = -1 l ’image de 0 est -1. ou

Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calculer une image Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1. Calculer l ’ image de 1,3. Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calcul de f(1,3) : f(x) = x2 - 1 f(1,3) = 1,32 - 1 = 1,69 - 1 = 0,69 Réponse: f(1,3) = 0,69 l ’image de 1,3 est 0,69. ou

Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calculer une image Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1. Calculer l ’ image de -1,1. Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calcul de f(-1,1) : f(x) = x2 - 1 f(-1,1) = (-1,1)2 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21 Réponse: f(-1,1) = 0,21 l ’image de -1,1 est 0,21. ou Attention: il est indispensable de mettre des parenthèses autour de -1,1.

Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calculer une image Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x2 + 2x - 6 Calculer l ’ image de 4 par la fonction g. Calcul de g(4) : Essayez de trouver la réponse avant de cliquer g(x) = x2 + 2x - 5 g(4) = 42 + 2x4 - 6 g(4) = 16 + 8 - 6 = 18 l ’image de 4 est 18. Réponse: g(4) = 18 ou

Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calculer une image Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x2 + 2x - 6 Calculer l ’ image de -5 par la fonction g. Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calcul de g(-5) : g(x) = x2 + 2x - 5 g(-5) = (-5)2 + 2x(-5) - 6 g(-5) = 25 - 10 - 6 = 9 l ’image de -5 est 9. Réponse: g(-5) = 9 ou

Remplir un tableau de valeurs Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1. Nous avons calculé précédemment les images de -1,1 ; 0 et 1,3 . On peut présenter ces résultats dans un tableau de valeurs x -1,1 1,3 f(-1,1) = 0,21 f(0) = -1 f(x) 0,21 -1 0,69 f(1,3) = 0,69 Parfois, on écrit « y » à la place de « f(x)

Déterminer graphiquement une image Déterminer graphiquement l ’image de 0,5 par la fonction f. On place 0,5 sur l ’axe des abscisses 0,5 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0,5 -0,8 Ici, on trouve -0,8 Réponse: L’ image de 0,5 par f est -0,8

Déterminer graphiquement une image Déterminer graphiquement l ’image de 3 par la fonction f. On place 3 sur l ’axe des abscisses 0,6 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 3 3 Ici, on trouve 0,6 Réponse: L’ image de 3 par f est 0,6

Déterminer graphiquement une image Déterminer graphiquement l ’image de 2,5 par la fonction f. On place 2,5 sur l ’axe des abscisses 0,5 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 2,5 2,5 Ici, on trouve 0,5 Réponse: L’ image de 2,5 par f est 0,5

Déterminer graphiquement une image Déterminer graphiquement l ’image de 0 par la fonction f. On place 0 sur l ’axe des abscisses On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer -1 Ici, on trouve -1 Réponse: l’ image de 0 par f est -1

Déterminer graphiquement un antécédent Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f. D ’abord un peu de syntaxe ... Il se peut que 0,5 ait PLUSIEURS antécédents Il se peut que 0,5 ait un UNIQUE antécédent Il se peut que 0,5 n ’ait AUCUN antécédent

Déterminer graphiquement un antécédent Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f. On place 1 sur l ’axe des ordonnées puis ... Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On recherche l ’abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1 Ici, on trouve -1 Réponse: L’ antécédent de 1 par f est -1

Déterminer graphiquement un antécédent Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 0,5 par la fonction f. On place 0,5 sur l ’axe des ordonnées 0,5 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée 0,5 -0,9 2,5 Ici, on trouve -0,9 et 2,5 Réponse: Les antécédents de 0,5 par f sont -0,9 et 2,5

Déterminer graphiquement un antécédent Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de -0,5 par la fonction f. On place -0,5 sur l ’axe des ordonnées Essayez de trouver la réponse avant de cliquer -0,5 0,8 On recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée -0,5 -0,5 Ici, on trouve -0,5 et 0,8 Réponse: Les antécédents de 0,5 par f sont -0,5 et 0,8

Déterminer graphiquement un antécédent Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1,5 par la fonction f. On place 1,5 sur l ’axe des ordonnées 1,5 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On recherche l ’abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1,5 Il n ’y a aucun point de la courbe qui convienne !!! Réponse: 1,5 n ’a pas d ’antécédent par la fonction f

Déterminer graphiquement un maximum Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f. 3 On cherche le point de la courbe le plus « haut » On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le maximum Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Réponse: 3 est le maximum de f On peut préciser: il est atteint pour x = 1

Déterminer graphiquement un maximum Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f. On cherche le point de la courbe le plus « haut » 2 On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le maximum Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Réponse: 1 est le maximum de f On peut préciser: il est atteint pour x = 2

Déterminer graphiquement un maximum Déterminer graphiquement le maximum de la fonction g. 3 On cherche le point de la courbe le plus « haut » On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le maximum Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Réponse: 3 est le maximum de g On peut préciser: il est atteint pour x =1

Déterminer graphiquement un minimum Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f. On cherche le point de la courbe le plus « bas » -1 On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le minimum Essayez de trouver la réponse avant de cliquer -1 Réponse: -1 est le minimum de f On peut préciser: il est atteint pour x = -1

Déterminer graphiquement un minimum Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f. On cherche le point de la courbe le plus « bas » On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le minimum Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Réponse: -1,2 est le minimum de f On peut préciser: il est atteint pour x = 0

Déterminer graphiquement un minimum Déterminer graphiquement le minimum de la fonction g. On cherche le point de la courbe le plus « bas » -1 On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le minimum Essayez de trouver la réponse avant de cliquer -1 Réponse: -1 est le minimum de g On peut préciser: il est atteint pour x =1

Déterminer le sens de variation Déterminer quand la fonction f est décroissante. On regarde quand la courbe « descend » puis ... Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes -1,2 1 l ’intervalle [-1,2 ; 1] Réponse: La fonction f est décroissante sur l ’ intervalle [ -1,2 ;1 ]

Déterminer le sens de variation Déterminer quand la fonction f est croissante. On regarde quand la courbe « monte » puis ... Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes 1 3,2 l ’intervalle [ 1 ; 3,2 ] Réponse: La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [1 ; 3,2 ]

Déterminer le sens de variation Déterminer les variations de la fonction f. C ’est déterminer sur quels intervalles la fonction f est décroissante, sur quels intervalles la fonction f est croissante, sur quels intervalles la fonction f est constante. -1,2 1 3,2 Réponse: La fonction f est décroissante sur l ’ intervalle [ -1,2 ;1 ] et La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [1 ; 3,2 ]

Déterminer le sens de variation Déterminer les variations de la fonction f. 3,8 On peut réunir ces informations dans un tableau de variation. x -1,2 1 3,2 -1,2 1 3,2 3,8 3,8 -1 f(x) -1

Déterminer le sens de variation Déterminer le sens de variation de la fonction f tracée ci-contre. C ’est déterminer sur quels intervalles la fonction f est décroissante, sur quels intervalles la fonction f est croissante, sur quels intervalles la fonction f est constante. Essayez de trouver la réponse avant de cliquer 3 5 9 11 13 La fonction f est croissante sur les intervalles [ 0 ;3 ] et [ 5 ; 9 ] Réponse: et la fonction f est constante sur l ’ intervalle [ 9 ;11 ] et La fonction f est décroissante sur les intervalles [ 3 ;5 ] et [ 11 ; 13 ]

Déterminer le sens de variation Donner le tableau de variations de la fonction f tracée ci-contre. 9 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer 3 x Ici on indique les valeurs des abscisses où les variations changent 0 3 5 9 11 13 2 1 2 9 9 là on indique par des flèches les variations de la fonction 3 5 9 11 13 f(x) 1 3 Enfin les valeurs des ordonnées atteintes par la courbe

Déterminer le sens de variation Déterminer quand la fonction f est décroissante. On regarde quand la courbe « descend » -1 On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes -3 3 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer l ’intervalle [-3;-1] l ’intervalle [1;3] Réponse: La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ]

Déterminer le sens de variation Déterminer quand la fonction f est croissante. On regarde quand la courbe « monte » Essayez de trouver la réponse avant de cliquer On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes -1 l ’intervalle [-1;1] Réponse: La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [ -1 ;1 ]

Déterminer le sens de variation Déterminer le sens de variation de f. Essayez de trouver la réponse avant de cliquer -3 -1 3 Réponse: La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ] et la fonction f est croissante sur l ’ intervalle [ -1 ;1 ]

Déterminer le sens de variation Donner le tableau de variation de f. Essayez de trouver la réponse avant de cliquer -3 -1 3 x Réponse: -3 -1 1 3 1 3 f(x) 1 -1

Soit la fonction f (x) = x2 + 1 Tracé de la fonction Pour tracer une fonction il faut placer des points dans un repère. Un point est désigné par 2 coordonnées : - une abscisse (horizontale ) représentée par la lettre x - une ordonnée (verticale ) représentée par f(x) ou y

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs Ici on choisit des valeurs de x

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs Ici on choisit des valeurs de x x

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x f(x) Ici on calcule les valeurs de f (x)

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x f(x) -2 -1 -0,5 0,5 1 2 On choisit des valeurs de x faciles

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) On calcule les valeurs de la deuxième ligne

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) On remplace le x par –2 dans la formule

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) f (-2) = (-2)2 + 1 = 5

5 f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 f (-2) = (-2)2 + 1 = 5

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 On remplace x par –1 dans la formule

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 f(-1) = (-1)2 + 1 = 2

2 f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 2 f(-1) = (-1)2 + 1 = 2

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 f(-0,5) = (-0,5)2 + 1 = 1,25

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(-0,5) = (-0,5)2 + 1 = 1,25

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25

Comment tracer la courbe ? f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) Comment tracer la courbe ? On trace un repère On indique l’échelle 1 -0,5 0,5 1 x On place les points

On place ce point de coordonnées -2 et 5 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées -2 et 5 1 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées -2 et 5 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées -2 et 5 1 -2 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées -2 et 5 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) 5 On place ce point de coordonnées -2 et 5 1 -2 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées -1 et 2 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées -1 et 2 1 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées -1 et 2 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées -1 et 2 1 -1 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées -1 et 2 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées -1 et 2 2 1 -1 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25 1 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25 1 -0,5 0,5 1 x

On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25 1,25 1 -0,5 0,5 1 x

On fait cela pour tous les points 1 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On fait cela pour tous les points 1 0,5 1 x

On fait cela pour tous les points 1 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On fait cela pour tous les points 1 0,5 1 x

On fait cela pour tous les points 1 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On fait cela pour tous les points 1 0,5 1 x

On fait cela pour tous les points 1 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On fait cela pour tous les points 1 0,5 1 x

On relie les points à la main 1 f (x) = x2 + 1 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 f(x) 5 1,25 f(x) On relie les points à la main 1 0,5 1 x

Résolution d’équations de type f(x) = m

Placer le nombre m sur l’axe des ordonnées

Placer le nombre m sur l’axe des ordonnées

Tracer la droite d’équation y = m

Tracer la droite d’équation y = m

Chercher les points d’intersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction f 

Chercher les points d’intersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction f 

Les solutions de l’équation sont les abscisses de ces points

Les solutions de l’équation sont les abscisses de ces points f(x) = m, a donc graphiquement trois solutions