Modélisation de l’élève en algèbre dans un contexte technologique Jean-François Nicaud Équipe MTAH, IMAG-Leibniz

Première partie : le logiciel Aplusix  Démonstration http://aplusix.imag.fr

Caractéristiques de base L’élève effectue les calculs qu’il veut Fidélité visuelle (même langage qu’au tableau) Fonctionnalité d’édition : sélection, couper, copier, coller, glisser-déposer  ayant un comportement algébrique Intuitif, proche du papier/crayon

Fonctionnalités de niveau supérieur La vérification des calculs La vérification du « résolu » Des indicateurs d’état ou de progression Des commandes de type calcul formel Un résolveur pas à pas (en cours de développement)

Domaine Une très grosse partie de l’algèbre de l’enseignement secondaire Expressions polynomiales et rationnelles Équations et inéquations polynomiales de degré inférieur ou égal à 4 Équations rationnelles se ramenant aux précédentes Systèmes linéaires (maxi 10 équations, 10 inconnues)

Pour l’enseignant Très fortement paramétrable Un magnétoscope L’enseignant peut l’adapter à ses désirs Un magnétoscope Permet de faire des fichiers d’exercices Permet de faire des scénarios Un logiciel d’administration (en cours de réalisation) Gestion des classes Statistiques

Deuxième partie : modélisation de l’élève Projet de l’ACI « école et sciences cognitives » Deux équipes de Grenoble (informatique et didactique) Une équipe de Montpellier (didactique) Une équipe de Paris 8 (psychologie)

Les données Les élèves utilisent Aplusix dans des conditions choisies, par exemple : 3 séances d’une heure En salle informatique (un élève par machine) Encadrement par le professeur A partir des fichiers d’interaction Des analyses « manuelles » (magnétoscope, étude de fichiers extraits) Des analyses automatiques

Les objectifs Construire une bibliothèque de règles erronées Diagnostiquer les transformations d’élève par une suite de règles Construire des conceptions prototypiques Modéliser l’élève par des conception Élaborer des stratégies d’enseignement s’appuyant sur les modèles d’élèves

Construction d’une bibliothèque de règles erronées Par analyse des comportements d’élèves et analyse épistémique Exemple : A+B = C  A = B+C aB < C  B<C/a quand a<0 A(B+C)  AB+C A2+B2  (A+B)(A+B) A+B=0  A=0 ou B=0

Diagnostic de transformations d’élèves L’algorithme de diagnostic Un algorithme de recherche heuristique Il développe un arbre de recherche en appliquant des règles correctes et erronées Il utilise une distance entre les expressions algébriques  forte explosion combinatoire, différents éléments heuristiques pour la contrôler

Exemple passage de (49x2-28x+4)-(9x2-144) à 40x2-28x-140 49x2-28x+4-(9x2-144) ParenthesesArgDePlus 49x2-28x+4-9x2-144 ER_Nb_Fois1erDeSomme 40x2-28x+4-144 GrouptAdditifCoefRationnel 40x2-28x-140 PlusEntier

Construction de « clusters » d’élèves à l’aide d’algorithmes de classification Un ensemble de comportements d’élèves sur des moments sélectionnés Mis sous la forme d’un vecteur de traits avec ajout de propriétés calculées Exercice résolu, calcul juste, sorte de transformation, diagnostic, etc. Une distance entre les vecteurs Un algorithme de classification

Exemple 1 : sans diagnostic Exercice « Développer-réduire (9x-5)(-6x+2) » 197 élèves, 12 traits utilisés nombre d’exps équivalentes à énoncé nombre d’exps équivalentes à la précédente nombre d’exps mal formées nombre d’actions modifiantes nombre d’exps non équivalentes à la précédente nombre d’actions/exps total nombre d’étapes supprimées nombre d’étapes créées temps passé dans des exps équivalentes temps passé dans des exps mal formées temps passé dans des exps non équivalentes temps total passé sur l’exercice

Résultats : 4 groupes Succès rapides (48) temps faible faible interaction avec le logiciel calculs corrects Succès « actifs » (15) plus lents que le groupe a) forte interaction avec le logiciel Echecs pour faute de parcours (20)  très similaire à groupe a) en termes de temps et d’actions beaucoup de calculs erronés Echecs lents (18) beaucoup de temps dans des expressions mal formées ou non équivalentes

Exemple 2 : avec diagnostic Exercice « Développer-réduire (9x-5)(-6x+2) » Un diagnostic est une suite de règles Chaque sorte de diagnostic est un trait Prise en compte seulement des étapes

Étape suivante (1) Décomposition des règles des diagnostics en traits SousTache : la sous-tâche en cours RegleAbstraite : la règle à niveau abstrait RegleFine : la règle à niveau fin Regle : la règle elle-même Statut : parmi (correct, errone) Source : l'expression transformée OperateurSource TypeSource Resultat : le résultat de la transformation Etc.

Étape suivante (2) Sélection des comportements sur une même sous-tâche (réduire, développer, factoriser, opérations sur équation) Construction de « clusters » qui regroupent les élèves ayant les mêmes conceptions Extraction des conceptions

ANNEXES

Le logiciel Aplusix Apprécié des élèves et des professeurs Des tests auprès de 300 élèves en 2002 Environ 10 000 résolutions d’exercices par des élèves en 2002 Langue français, anglais, portugais, italien japonais et espagnol en cours Disponibilité Libre actuellement (durée limitée) http://aplusix.imag.fr En cours de valorisation

La classification non supervisée But : détecter au sein d’un ensemble de données non étiquetées des groupes d ’objets «similaires» Large éventail d’algorithmes existants. Notre choix : le SuperParamagnetic Clustering [Domany 97]

Le SuperParamagnetic Clustering Basé sur une analogie physique : l’orientation du spin de particules ferromagnétiques sous l ’effet d ’une variation de température Résultat : continuum de classifications Exemple