REFLEXIONS SUR LES APPRENTISSAGES NUMÉRIQUES Grand N Spécial Maternelle Approche du nombre Tome 1 1999/2000

INTRODUCTION Question de l’antériorité du calcul ou du comptage ? R. BRISSIAUD : «calculer et compter de la petite section à la grande section» Il tente de réhabiliter le calcul parce que : - « les enfants qui comptent à un âge précoce savent énoncer la comptine mais sont incapables de dire « combien il y a d’objets » puisqu’ils n’ont pas compris que le dernier mot nombre prononcé représente le cardinal de l’ensemble. Trop se focaliser sur le comptage peut être un obstacle à l’acquisition du calcul. » R. CHARNAY et D. VALENTIN : position plus nuancée que l’on trouve déjà dans le titre « calcul ou comptage ? Calcul et comptage ?» - « Utilisation des nombres comme outils pour résoudre des problèmes et non Comme objets. » - « Insistance sur l’importance de la prise en compte des connaissances antérieures des élèves (connaissances acquises dans d’autres contextes que l’école). »

CALCULER ET COMPTER de la Petite Section à la Grande Section Rémy Brissiaud

UNE OPPOSITION ANCIENNE : COMPTAGE ET CALCUL Depuis 1945 et jusqu’à la fin des années 1980, les pédagogues pensaient que toute leur attention devait aller directement à l’apprentissage du calcul. C’est ainsi que les « pédagogues anciens » (ceux d’avant la réforme de 1970) préconisaient souvent l’usage des constellations et l’enseignement direct du calcul. La réforme de 1970, celle des « mathématiques modernes », ne réhabilite pas le comptage, loin s’en faut. C’est l’époque où, au CP, certains pédagogues adoptent une progression où on enseigne les « écritures additives » avant l’addition (la quantité « 14 » est désignée par « l’écriture additive » « 8+14» si l’enfant ne sait pas compter jusque 14).

LA RETICENCE DES « PEDAGOGUES ANCIENS » envers le COMPTAGE, était-elle justifiée ? Lorsqu’un enfant apprend à compter précocement, ses comptages ne lui permettent généralement pas de répondre à une question du type « combien y a-t-il de … ? » (il répond : « 1, 2, 3, 4 »). L’enfant n’isole pas le dernier mot-nombre prononcé pour répondre à la question posée, celui-ci est une sorte de numéro : il réfère à l’objet pointé (« comptage-numérotage »). Les enfants d’environ 12 ans en échec dans leurs apprentissages numériques sont des enfants prisonniers du comptage un à un. Ils s’enferment dans le surcomptage. À 12 ans, ils n’ont toujours pas mémorisé les résultats des tables d’addition.

QUELS TRAVAUX ont conduit à accorder UNE ANTERIORITE AU COMPTAGE SUR LE CALCUL ? R. GELMAN, psychologue américaine : L’enfant sait très précocement (vers 3 ans en tout cas) que le dernier mot prononcé lors d’un comptage permet de désigner la quantité. S’il ne prononce pas le dernier mot prononcé comme réponse, c’est qu’il est « submergé par la tâche » (coordonner son comptage du doigt avec la récitation des mots-nombres, se rappeler le dernier mot prononcé. ERMEL : Les auteurs se réfèrent à R. Gelman, cependant il semble bien que leur démarche ait été essentiellement guidée par une position de principe : Tout apprentissage doit se faire à partir d’une résolution de problème. « L’une de nos hypothèses … est que le surcomptage est un moyen facilitant le passage du dénombrement au calcul. »

L’ETAYAGE OÙ LE COMPTAGE est considéré COMME « ACCELERATEUR » L’ETAYAGE OÙ LE COMPTAGE est considéré COMME « ACCELERATEUR » DE L’APPRENTISSAGE Dans les moments d’étayage, c’est la logique langagière du calcul qui est privilégiée et non celle du calcul (page 42). Dans ce cas, l’éducateur « prête son savoir à l’enfant ». La relation d’étayage ne consiste pas seulement à aider un enfant lors de la résolution d’un problème par des reformulations, par des bilans partiels, des rappels du but, etc. Il s’agit alors de préparer l’enfant à un usage futur mais autonome du langage arithmétique . Le comptage ne peut plus être considéré comme une procédure «experte» mais comme un accélérateur d’apprentissage. C’est un outil technique puissant.

CONCLUSION : COMMENT DEFINIR LE CALCUL ? De manière évidente, le calcul s’oppose au comptage, mais il est essentiel de remarquer qu’il s’y oppose selon deux dimensions; 1. Présence ou absence d’un matériau, support du comptage (p 45).  Comptage et calcul s’opposent par le niveau de symbolisation qui est accessible à l’enfant. 2. Différences relatives à la stratégie de quantification adoptée (p 45).  Comptage et calcul s’opposent par le niveau de quantification adoptée. Le calcul serait employé dans des situations non numériques et renverrait à des plans, c’est-à-dire à des stratégies. Il serait raisonnable d’espérer que les enfants sachent calculer sur les 5 premiers nombres en fin de SG.

CALCUL OU COMPTAGE ? CALCUL ET COMPTAGE ? Roland Charnay Dominique Valentin Les productions pour l’enseignant sont publiées dans la série ERMEL

LES NOMBRES, DES OUTILS POUR L’ELEVE Les connaissances sont envisagées d’abord comme des « outils » avant de devenir des objets d’étude. Cette position est actuellement retenue par l’ensemble des chercheurs en didactique. - D’une part, les nombres sont de bons outils pour garder la « mémoire des quantités ». - D’autre part, les nombres permettent d’anticiper le résultat d’une action sur les quantités soit lorsque les objets ne sont pas accessibles, soit avant même que l’action ne soit réalisée. Nous voulons que l’élève comprenne à quoi servent les nombres en même temps qu’il apprend comment mieux s’en servir.

PRENDRE EN COMPTE LES COMPETENCES DES ELEVES Plusieurs questions essentielles se posent à l’enseignant: - comment prendre en compte les connaissances « actuelles » des élèves ? - parmi celles-ci, lesquelles faut-il chercher à développer, à valoriser, à améliorer ? - lesquelles faut-il amener les élèves à abandonner et comment provoquer cet abandon ? - dans les deux cas, quels sont alors les risques ? - quelles connaissances nouvelles l’élève peut-il construire et développer à ce moment-là ? À quel coût ?

En grande section et au CP Il n’y a pas à opposer comptage et calcul, mais plutôt à aider l’élève à maîtriser ces deux types de procédures et à les utiliser à bon escient lorsqu’il doit estimer une quantité. En petite section et moyenne section Il nous semble que l’essentiel n’est pas de choisir d’enseigner une procédure au détriment des autres. Au contraire, il s’agit de permettre à chaque élève de résoudre des problèmes avec ses propres moyens (page 52) En PS et MS, les enfants utilisent donc plusieurs procédures qui dépendent en grande partie de l’ampleur des collections qu’ils ont à traiter : subitizing, correspondance terme à terme et, progressivement et de plus n plus sûrement , comptage.

CONCLUSION C’est à partir du CP, puis au CE1, que sera engagé un dispositif d’enseignement amenant les élèves à abandonner les procédures relevant du « comptage » pour élaborer des procédures relevant du « calcul ». C’est d’ailleurs quand les nombres deviennent plus grands que les procédures de type « calcul » prennent toute leur efficacité. Hypothèses de travail pour l’appropriation des connaissances numériques : Phase 1 : comprendre le concept Phase 2 : apprendre des stratégies ou des procédures pour obtenir des résultats inconnus Phase 3 : mémoriser ces résultats jusqu’à obtenir des réponses automatisées.

ETUDE DES NOMBRES GS Importance de la chaîne verbale et du dénombrement Donner du sens aux nombres (problèmes) Consolider des compétences « techniques », surtout à l’oral CP Prendre en compte et exploiter les compétences acquises Poursuivre le travail sur le sens Structurer et étendre les compétences techniques Structurer les désignations écrites, puis orales

CALCUL Cycle 2 GS Préparer le calcul Donner du sens au calcul Résoudre des problèmes … sans calcul explicite … sans traduction symbolique Cycle 2 Donner du sens au calcul Priorité aux problèmes Importance de l’oral et du calcul mental Eviter l’envahissement des écritures symboliques Le but de la grande section c'est de préparer le calcul. Cela signifie résoudre des problèmes d'addition, de diminution, sans calcul explicite, c'est-à-dire sans traduction symbolique.

l'importance de la chaîne verbale. Ce qui est déterminant dans la conquête des nombres, dans la conquête du calcul- même c'est l'importance de la chaîne verbale. La deuxième préoccupation, c'est le sens, c'est-à-dire, ne pas travailler à l'école maternelle uniquement sur des questions techniques (récitation de la suite des nombres, compter à partir de …), c'est très important mais c'est dès l'école maternelle qu’il faut faire en sorte qu'on commence à apporter une réponse à cette question : « pourquoi les nombres ? A quoi servent les nombres ? » Ce qui est déterminant dans la conquête des nombres, dans la conquête du calcul- même c'est l'importance de la chaîne verbale. La deuxième préoccupation, c'est le sens, c'est-à-dire, ne pas travailler à l'école maternelle uniquement sur des questions techniques (récitation de la suite des nombres, compter à partir de …), c'est très important mais c'est dès l'école maternelle qu’il faut faire en sorte qu'on commence à apporter une réponse à cette question : « pourquoi les nombres ? A quoi servent les nombres ? »