MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours 11/09/07

Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants Valeur actuelle d’un capital 11/09/07

Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants Valeur actuelle d’un capital Fonction d’actualisation 11/09/07

Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants Valeur actuelle d’un capital Fonction d’actualisation Taux effectif d’escompte 11/09/07

Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants Valeur actuelle d’un capital Fonction d’actualisation Taux effectif d’escompte Équivalence de taux 11/09/07

Sur ce dernier point, nous avons vu que lorsque le taux effectif d’intérêt et le taux effectif d’escompte sont équivalents. 11/09/07

Exemple 1: Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres: 1) soit qu’il paie 2400$ dans un an 2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%. 11/09/07

Exemple 1 (suite): Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex? 11/09/07

Exemple 1 (suite): Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex? À quel taux d’escompte les deux options sont équivalentes? 11/09/07

Solution pour la première question: Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est 11/09/07

Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est Solution pour la première question: Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est 11/09/07

Solution de la première question (suite): Nous pouvons conclure que la 2e option est la plus avantageuse pour Alex. 11/09/07

Solution pour la deuxième question: Notons par le taux d’escompte pour lequel les deux options sont équivalentes. Nous avons alors 11/09/07

Donc d = 9.9099099%. Ceci est tout simplement la formule d’équivalence. 11/09/07

Autres formules d’équivalence: Nous avons vu que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: 11/09/07

Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est 11/09/07

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 11/09/07

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: 11/09/07

Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt: 11/09/07

Autres formules d’équivalence: Nous avons que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: 11/09/07

Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est 11/09/07

Autres formules d’équivalence: Nous avons aussi que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: 11/09/07

Explication de la formule: Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1$ et sera remboursé par le versement de dans un an. 11/09/07

Explication de la formule: (suite) Le second prêt sera remboursé par le versement de 1$ dans un an et l’emprunteur recoit initialement 11/09/07

Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est 11/09/07

Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est 11/09/07

Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêt des deux prêts 11/09/07

Il y a donc 4 formules à retenir: 11/09/07

Il y a donc 4 formules à retenir: 11/09/07

Il y a donc 4 formules à retenir: 11/09/07

Il y a donc 4 formules à retenir: 11/09/07

Escompte composé: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte composé par alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation 11/09/07

Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période: 11/09/07

Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période: Principal investi au début de la 1ère période pour avoir avoir 1$ à la fin de la 2e période: En effet, pour obtenir 1$ à la fin de la 2e période, il faut 11/09/07

à la fin de la 1ère période et au début de la 1ère période. 11/09/07

Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte composé: 11/09/07

et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé. L’équivalence est obtenue par la formule: 11/09/07

Escompte simple: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le montant d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte simple par alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation 11/09/07

à la fin de la 1ère période et 11/09/07

à la fin de la 1ère période et au début de la 1ère période. 11/09/07

Noter que nous devons supposer Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte simple: Noter que nous devons supposer 11/09/07

et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: 11/09/07

et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: L’escompte simple n’est pas équivalent à l’intérêt simple! 11/09/07

En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt tel que 11/09/07

Exemple 2: Alex contracte un prêt auprès de Béatrice Exemple 2: Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est 4.75% par année. Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans? 11/09/07

Exemple 2: (suite) Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nous obtenons 11/09/07

c’est-à-dire que le taux équivalent est 4.9868766%. Nous obtenons Exemple 2: (Suite) Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composé équivalent au taux d’escompte 4.75% par année c’est-à-dire que le taux équivalent est 4.9868766%. Nous obtenons 11/09/07

Exemple 2: (Suite) Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’intérêt 4.9868766% par année. Nous obtenons que Alex reçoit 11/09/07

Exemple 3: Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards Exemple 3: Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L? 11/09/07

Exemple 3: (suite) Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeur est 11/09/07

Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’escompte simple et de l’escompte composé pour le même taux, nous obtenons le graphique suivant 11/09/07

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Nous avons que et 11/09/07

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Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’une seule fois par période. Il existe une autre notion tant pour l’intérêt que l’escompte: le taux nominal 11/09/07

Exemple 4: Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): 18.50% par année et 0.05068% par jour. Comment interpréter ce taux de 18.50%? 11/09/07

Exemple 4: (suite) Si nous considérons le taux 0 Exemple 4: (suite) Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons 11/09/07

Exemple 4: (suite) Ce taux quotidien de 0 Exemple 4: (suite) Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% et non au taux de 18.50%. 11/09/07

Exemple 4: (suite) Ce taux quotidien de 0 Exemple 4: (suite) Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% et non au taux de 18.50%. La raison est que 18.50% est un taux nominal d’intérêt. Nous avons ici que 11/09/07

Taux nominal d’intérêt: Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est 11/09/07

Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période de capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m. 11/09/07

Zénon veut accumuler 10000$ après Exemple 5: Si un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir? 11/09/07

Le taux d’intérêt par trimestre (I.e. par trois mois) est de Exemple 5: (solution) Le taux d’intérêt par trimestre (I.e. par trois mois) est de Pendant 5 ans, il y a 5 X 4 = 20 trimestres et l’intérêt sera capitalisé 20 fois 11/09/07

Exemple 5: (solution) Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt est de 2%: 11/09/07

par année, nous obtenons Équivalence de taux: Si nous considérons 1$ investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal d’intérêt par année, nous obtenons 11/09/07

Équivalence de taux: (suite) L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au taux d’intérêt par m-Ième de période égal à 11/09/07

Équivalence de taux: (suite) et la valeur accumulée est 11/09/07

Équivalence de taux: (suite) Si le taux effectif d’intérêt est équivalent au taux nominal d’intérêt alors 11/09/07

Équivalence de taux: (suite) Donc et 11/09/07

Exemple 6: Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2e année? 11/09/07

Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominal Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominal i.e. que le taux d’intérêt par mois est 11/09/07

Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 X 2 parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années. 11/09/07

La valeur accumulée sera Exemple 6: (suite) La valeur accumulée sera 11/09/07

Taux nominal d’escompte: Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est 11/09/07

Si nous calculons la valeur actuelle de 1$ payable dans un an au taux nominal d’escompte alors nous obtenons 11/09/07

Équivalence de taux: Supposons que les taux suivants sont équivalents Taux effectif d’intérêt Taux nominal d’intérêt Taux effectif d’escompte Taux nominal d’escompte 11/09/07

En calculant la valeur actuelle de 1$ payable à la fin de l’année, nous obtenons 11/09/07

En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons 11/09/07

L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes 11/09/07