Processus de Poisson UQAM, Actuariat 3

Plan de match Définition d’un processus de dénombrement Définition d’un processus de Poisson Temps d’attente entre 2 événements Temps d’attente jusqu’au nè événement Processus de Poisson non-homogène Processus de Poisson composé Exemples Note : Consulter le site web www.soa.org/files/pdf/edu-2008 spring-mlc-28-n.pdf pour plus de détails

Processus de dénombrement Soit un processus stochastique {N(t) , t ≥0} Un processus stochastique est une collection de variables aléatoires dans le temps. N(t) est le nombre d’occurrences sur l’intervalle [0,t] d’un événement aléatoire défini (ex: catastrophe naturelle) Un tel processus doit satisfaire les conditions suivantes: N(t) ≥0 N(t) est entier Si s<t alors N(s)≤N(t) Pour s<t, N(t)-N(s) représente le nombre d’occurrences ayant lieu dans l’intervalle [s,t]

Processus de dénombrement (suite) Un processus de dénombrement possèdent des incréments indépendants si le nombre d’événements se produisant dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants: Si s<t<u alors N(t)-N(s) est indépendant de N(u)-N(t) Un processus de dénombrement a des incréments stationnaires si la distribution du nombre d’événements se produisant dans n’importe quel intervalle de temps dépend seulement de la longueur de l’intervalle de temps Le nombre d’événements dans l’intervalle (s,s+t) a la même distribution pour tout s Par exemple, si on suppose que le nombre de catastrophes augmente dans le temps, alors les incréments ne sont pas indépendants.

Processus de Poisson Un des plus important processus de dénombrement. Le processus {N(t) , t ≥0} est un processus de Poisson de taux λ, λ>0 si: N(0)=0 Incréments indépendants Le nombre d’événements dans un intervalle de temps de longueur t est distribué selon une loi de Poisson de moyenne λt Donc, Cette condition implique qu’un processus de Poisson a des incréments stationnaires

Processus de Poisson (suite) On a aussi: E(N(t))=λt et Var(N(t))= λt On peut donc voir le paramètre λ comme le taux espéré auquel un événement aléatoire survient dans une unité de temps car:

Distribution des temps d’attente entre 2 événements (interarrival time) Soit Ti le temps d’attente entre deux événements Donc, Tn est le temps écoulé entre l’événement n-1 et n Pour obtenir la distribution de Tn, regardons d’abord : Prob(T1>t)=Prob(N(t)=0) =Prob(aucun événement entre 0 et t) =exp(- λt), car N(t)-N(0)~Poisson(λt) On voit donc que T1 obéit à une loi exponentielle avec moyenne 1/λ.

Distribution des temps d’attente entre 2 événements (suite) Maintenant, pour T2 : Prob(T2>t | T1=s)=Prob(aucun événement entre s et s+t sachant qu’il y a eu un événement au temps s) =Prob(aucun événement entre s et s+t) …car les intervalles disjoints sont indépendants =Prob(N(s+t)-N(s)=0) =exp(-λt) …car les incréments sont stationnaires => N(s+t)-N(s)~Poisson(λt)

Distribution des temps d’attente entre 2 événements (suite) En répétant le même raisonnement, on a que : Les Ti sont indépendants et identiquement distribués selon une loi exponentielle de moyenne 1/λ

Distribution des temps d’attente jusqu’au nè événement (waiting time) Soit Sn le temps d’attente jusqu’au nè événement Sn est une somme de variables exponentielles Donc, Sn obéit à une loi gamma de paramètres n et λ Fonction de densité de Sn Fonction de répartition de Sn Prob(le nè événement survient avant t) =Prob(au temps t, il y a au moins n événements)

Division d’un processus de Poisson en plusieurs processus indépendants Supposons que les événements d’un processus de Poisson peuvent être classés en r types distincts (type 1, type 2, …, r) Soit pj la probabilité que l’événement soit de type j On a aussi que p1+p2+…+pr=1 Soit Nj(t) le nombre d’événements de type j ayant eu lieu jusqu’au temps t

Division d’un processus de Poisson en plusieurs processus indépendants (suite) {Nj(t) , t ≥0} est un processus de Poisson (λpj) et les r processus sont indépendants Si on s’intéresse au cas où il y a uniquement 2 types (i.e. r=2), la probabilité que n événements de type 1 surviennent avant m événements de type 2 est donnée par : Probabilité que le 2è type survienne avant le 1er type

Processus de Poisson non homogène Les processus que nous avons vu jusqu’à maintenant sont des processus dits homogènes Le paramètre λ est constant dans le temps Ces processus sont utilisés pour modéliser des situations où les événements surviennent à des intervalles réguliers dans le temps Ex: Tremblement de terre ou arrivée de clients dans une banque

Processus de Poisson non homogène (suite) Les processus non-homogènes sont plutôt utilisés pour modéliser des événements qui ne surviennent pas à une vitesse constante dans le temps Ex : Arrivée de clients dans un restaurant (heures de pointe) Le paramètre de la loi de Poisson n’est plus constant dans le temps (= λ(t)) Les incréments sont indépendants comme dans le cas homogène. Par contre, les incréments ne sont plus stationnaires.

Processus de Poisson non homogène (suite) Autrement dit, P(N(t+s)-N(s)) ≠ P(N(t)), où N(t+s)-N(s) est le nombre d’événements survenus entre le temps s et t+s Soit la “mean value function” : Pour les processus non homogènes, N(t+s)-N(s) obéit à une Poisson dont la moyenne est égale à Donc,

Processus de Poisson composé Un processus stochastique {X(t) , t ≥0} est un processus de Poisson composé si on peut l’exprimer de la façon suivante : où {N(t) , t ≥0} est un processus de Poisson standard et {Yi , i ≥1} est une famille de variables aléatoires i.i.d., indépendantes de {N(t) , t ≥0} Exemple simple (Processus de Poisson standard) : Si Yi=1 pour tout i, alors

Processus de Poisson composé (suite) Autre exemple : Yi : le nombre de partisans dans l’autobus i N(t) : le nombre d’autobus arrivant à l’aréna entre 0 et t X(t) : le nombre total de partisans arrivant à l’aréna jusqu’à t On peut vouloir calculer l’espérance et la variance du nombre total de partisans :

Composition de 2 processus de Poisson Soient {N1(t) , t ≥0} et {N2(t) , t ≥0} deux processus de Poisson indépendants avec un taux λi , i=1,2. Dans ce cas, on peut construire un processus de Poisson {N(t) , t ≥0} dont le taux est égal à λ1+λ2 et où N(t)=N1(t)+N2(t)

Le document de référence (par James W Le document de référence (par James W. Daniel) donne une liste des numéros portant sur les processus de Poisson dans les anciens examens : Mai 2007 : #5, 6, 25, 26 Nov 2006 : #8, 9, 10 Nov 2005 : #7, 8, 40 Mai 2005 : #5, 6, 24, 25 Nov 2004 : #16, 26 Nov 2003 : #11, 20, 26 Nov 2002 : #5, 9, 15, 20 Nov 2001 : #4, 10, 19, 27 May 2001 : #3, 15, 37