Le cosinus d’un angle aigu

le côté adjacent à l’angle C Vocabulaire Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu est déterminé par 2 côtés : l’hypoténuse qui est le côté opposé à l’angle droit le côté adjacent qui est l’autre côté de l’angle A B le côté adjacent à l’angle C l’hypoténuse C

Voici 3 triangles rectangles dont les côtés sont de longueurs différentes et dont les angles sont de même mesure. Superposons ces 3 triangles rectangles

ou encore On a donc ou encore Dans le triangle ABC, les droites (AB) et (ZY) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a CZ CA CY CB = ou encore Les droites (AB), (RV) et (ZY) sont perpendiculaires à la droite (AC), elles sont donc parallèles entre elles. A B On a donc CZ CY R V CR CV = CA CB = Z Y Dans le triangle RVC, les droites (RV) et (ZY) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a CZ CR CY CV = ou encore Dans chacun des triangles rectangles le rapport du côté adjacent par l’hypoténuse est le même, c’est le cosinus de l’angle C. C

longueur du côté adjacent de l’angle C longueur de l’hypoténuse Définition Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu C est égal au quotient : longueur du côté adjacent de l’angle C longueur de l’hypoténuse On le note cos C. Z C Y Dans le triangle rectangle CZY cos C CZ CY = leçon

On arrondit au millième : Utilisation de la calculatrice La calculatrice peut donner la valeur du cosinus d’un angle connaissant la mesure de cet angle. On utilise la touche cos Pour trouver le cosinus de l’angle mesurant 13°, on tape : cos 1 3 0,974370064 cos 1 3 = On arrondit au millième : cos13° = 0,974

Calculer une valeur arrondie à 0,1 cm près de BC 30° Calculer une valeur arrondie à 0,1 cm près de BC ? Dans le triangle ABC rectangle en A On écrit la formule du cosinus, AB est la longueur du côté adjacent BC est la longueur de l’hypoténuse cos B BA BC = cos 30° 8 BC = On remplace les lettres par les valeurs connues BC 8 cos30° = On utilise le produit en croix pour isoler BC On utilise la calculatrice pour effectuer le quotient et on arrondit à 0,1 près. BC = 9,2 cm leçon

Calculer une valeur arrondie à 0,1 cm près de AB 30° Calculer une valeur arrondie à 0,1 cm près de AB ? Dans le triangle ABC rectangle en A On écrit la formule du cosinus, AB est la longueur du côté adjacent BC est la longueur de l’hypoténuse cos B BA BC = cos 30° BA 8 = On remplace les lettres par les valeurs connues BA = 8×cos30° On utilise le produit en croix pour isoler AB On utilise la calculatrice pour effectuer le produit et on arrondit à 0,1 près. BA = 6,9 cm leçon

Utilisation de la calculatrice La calculatrice peut donner la mesure d’un angle connaissant son cosinus. Pour trouver la mesure en degrés de l’angle  connaissant son cosinus 0,654 on tape : shift 2nde inv ou Variable selon la calculatrice utilisée cos 0,654 = on lit 49,15613192 on écrit  = 49°

Calculer une valeur arrondie au degrés près de l’angle 7 cm B ? 6 cm A B Dans le triangle ABC rectangle en A On écrit la formule du cosinus, AB est la longueur du côté adjacent BC est la longueur de l’hypoténuse cos B BA BC = On remplace les lettres par les valeurs connues cos B 6 7 = cos B = 0,85714257 On calcule le quotient On utilise la calculatrice pour trouver la valeur de l’angle et on arrondit au degrés près. B = 31° leçon

EXERCICES ex1 Dans le triangle ABC rectangle en A BA cos B = BC 9 9 cm 25° ? EXERCICES ex1 Dans le triangle ABC rectangle en A cos B BA BC = cos 25° 9 cos25° BC = 9,9 cm

ex2 Dans le triangle CPR rectangle en C CP cos P = PR 7 cos 40° cos40° 7 cm 40° ? Dans le triangle CPR rectangle en C cos P CP PR = cos 40° 7 cos40° PR = 9,1 cm retour

Ex 3 Dans le triangle ABC rectangle en A BA cos B = BC cos 36° 8 8 cm 36° ? Dans le triangle ABC rectangle en A cos B BA BC = cos 36° 8 = 8×cos36° BA = 6,5 cm

ex4 Dans le triangle ABC rectangle en A LD cos L = LE cos 38° 10 10 cm 38° ? Dans le triangle ABC rectangle en A cos L LD LE = cos 38° 10 = 10×cos38° LD = 7,9 cm retour

ex5 Dans le triangle ABC rectangle en A BA cos B = BC 5 9 9 cm ? 5 cm Dans le triangle ABC rectangle en A cos B BA BC = B = 56° 5 9 cos B = 0,5555555555

ex6 Dans le triangle OAT rectangle en T OT cos O = OA 2 6 6 cm ? 2 cm Dans le triangle OAT rectangle en T cos O OT OA = O = 71° 2 6 cos O = 0,333333333