TICE et didactique des mathématiques (suite) Claire Cazes UPMC et Didirem P7 Année

Sommaire Introduction 1. Analyse à priori  1.1 Aspect généraux TP1 Application, Etude de deux sites Bilan  1.2 Environnement d’un exercice TP 2 Application, Etude de deux sites Bilan 2. Analyse a posteriori  2.1 Cadre théorique utilisé  2.2 Exemples d’application

Introduction

Qu’est ce qu’une ressource en ligne? un environnement numérique proposant : cours, indications pour la résolution, aides fournies par des calculateurs, graphiques, analyse de réponse, solution rédigée et commentée, évaluation notée, mémorisation du parcours de l’apprenant Outils de communication entre utilisateurs

Exemples UeL : Université en ligne Activemath Wims Euler Mathenpoche Paraschool

Questions relatives aux ressources en ligne Comment analyser la qualité d’une ReL? (analyse à priori) Comment analyser son usage par les différents acteurs : enseignants, élèves, institution? (analyse a posteriori) et l’effet sur les phénomènes d’enseignement/apprentissage

Un exemple d’analyse Projet région Île de France

Le projet de la région Île de France Un projet visant à étudier les possibilités d’accompagnement scolaire des élèves de lycée via l’utilisation de ressources en ligne, en privilégiant :  les zones d’éducation prioritaire  le niveau de la classe de seconde  les mathématiques Un projet conçu en partenariat avec les trois académies de la région parisienne : Créteil, Paris, Versailles

Le rôle de l’IREM Un suivi de l’expérimentation visant à préciser et comprendre :  les potentialités et limites des ressources considérées pour l’accompagnement du travail scolaire des élèves  les usages effectifs des ressources sélectionnées par les enseignants et les élèves, et leur raison d’être  les conditions à réaliser pour permettre aux élèves et enseignants d’instrumenter efficacement ces outils pour qu’ils deviennent des éléments de leur espace de travail. Un suivi mené en collaboration avec les institutions académiques et complémentaire de leur propre action

Les principaux résultats Accessibles dans le rapport d’octobre 2006 consultable sur le site de l’IREM Paris 7 : et dans le nouveau site web associé au suivi : Trois volets  Les questionnaires  Les produits  Les observations (élèves et enseignants)

1. Analyse a priori des ressources 1.1 Aspects généraux

L’analyse des produits le développement d’un outil d’analyse des produits expérimentés et son exploitation Une analyse organisée autour de 3 critères (Tricot):  l’utilisabilité,  l’utilité,  l’acceptabilité. Une analyse conjuguant des perspectives ergonomiques, mathématiques et didactiques

Utilité, Utilisabilité, Acceptabilité (A. Tricot) Utilité, possibilité d’atteindre le but annoncé Utilisabilité, possibilité de mettre en œuvre les moyens

UTILITE

UTILISABILITE

ACCEPTABILITE

Une grille d’analyse structurée autour de 9 pôles Les aspects techniques de base L’interface La structure et la navigation La scénarisation didactique La personnalisation possible (côté enseignant et élève) Les documents et activités proposés (forme, contenu, relations) Les outils mathématiques spécifiques Les interactions Le suivi et l’évaluation

TP 1 Etudier par groupe les 9 pôles de la grilles d’analyse des produits pour les deux ressources suivantes Wims : Activemaths : calculus.activemath.org/ActiveMath2/main/menu.cmdhttp://leam- calculus.activemath.org/ActiveMath2/main/menu.cmd Euler :

BILAN DU TP 1

1§2. Aspects techniques et interface : Une technologie utilisable mais qui reste encore peu évoluée. 3. Structure et navigation : une structure claire et offrent des moyens de se repérer dans cette structure…. Cependant, … la densité informationnelle des pages est importante + les ressources ne sont pas suffisamment indexées pour que les moteurs de recherche, quand ils existent, soient performants. 4. Une scénarisation didactique à faire par l’enseignant (wims) figée (activemath)

5. Personnalisation Vers les enseignants Wims Euler 6. Documents et activités proposées - Des documents en général corrects, conformes au programme, parfois peu innovants - pourtant des changements de registres - des tâches souvent paramétrées pas dans AcM 7. outils mathématiques spécifiques. Dans le logiciel : -webmathematica (euler) - pari, maxima, gap, octave, mupad (wims) - au choix AcM Pour l’utilisateur : calculatrice de fonctions (wims), CAS ‘AcM).

Personnalisation Wims

Personnalisation Euler

8. Interactions Peu d’interactions dans Euler (choix des concepteurs?) Quelques analyses de réponses dans Wims Et Acm? 9. suivi et évaluation Les exercices sont notés, dans wims on peut faire des devoirs corrigés automatiquement, on garde des traces du travail de l’élève pas forcément facile à exploiter Il n’y a pas de tutorat en ligne comme dans Paraschool

Wims, trace de l’activité de l’élève

Quelles utilité et acceptabilité a priori ? Des produits qui ne peuvent certainement pas se substituer à l’enseignant mais ce n’est pas leur vocation Des produits qui semblent devoir être améliorés pour rencontrer les critères d’utilité et d’acceptabilité du système éducatif mais qu’il faudrait se garder d’écarter sans plus sur la base d’une telle analyse a priori. Des évolutions intéressantes... où l’on voit un effet certain des expérimentations menées et de la réactivité des producteurs de ressources.

1.2 Analyse de l’environnement d’un exercice

RAPPEL La dimension sémiotique de l’activité mathématique Les objets mathématiques sont accessibles et manipulables par l’intermédiaire de représentations sémiotiques. D’où la notion de registre Exemple : Le travail dans le cadre fonctionnel peut mobiliser différents registres :  le registre de la langue naturelle,  le registre des tableaux,  le registre graphique,  le registre des écritures algébriques,  le registre symbolique intrinsèque

Eléments pour une analyse d’exercice l’énoncé et l’environnement, (en particulier registres utilisés outils proposés) Type de réponse attendue Type d’interactivité ( aides, rétroactions, corrections ) Type d’évaluation.

TP 2 Exemple d’analyse d’exercices Mathenpoche (accès direct seconde/ numérique/Généralités sur les fonctions) Wims : Matoumatheux : rennes.fr/num/courbe/2/affinefaire2.htm#2http://matoumatheux.ac- rennes.fr/num/courbe/2/affinefaire2.htm#2

Bilan du TP 2

Énoncé et environnement Mélange registres graphiques et numériques+ langage naturel (AcM) Aides CAS Peu d’action dans le registre graphique AcM

Types de réponses attendues. M: valeurs numériques, tracé de fonctions : placer un point puis faire pivoter la droite à partir de ce point. W: valeurs numériques, tracé de fonctions : placer deux points sur un graphique. AcM bcp de QCM, valeurs numériques,

Types d’interactivité(aides, messages, outils, corrections) Mathenpoche  aide:elle apparaît après deux erreurs ; c’est plutôt une aide générique.  Message :il y a un bouton info pour image et antécédent mais pas pour tracé de droite.  Outil:le curseur peut aider à lire sur la courbe.

Types d’interactivité(aides, messages, outils, corrections) Wims  Aide : peu d’aide  Message : peu  Outil: calculatrice et calculatrice de fonctions  Rétroaction on donne ou pas à l’élève la bonne réponse et la solution (selon le paramétrage du prof).

Types d’interactivité(aides, messages, outils, corrections) AcM  Aide : bouton aide  Message : pas de message  Outil: calculatrice et calculatrice de fonctions  Rétroactionon accompagne l’élève vers la bonne réponse

Evaluation M: Il y a un score puis une indication de refaire ou non l’exercice.. W: Il y a un score et c’est à l’élève de décider s’il passe à l’exercice suivant ou s’il refait un exercice analogue pour améliorer sa moyenne. Acm: pas de score, une mémoire de ce qui a été réussi

2. Analyse à posteriori 2.1 Cadre théorique

Une théorie de l’activité Activité de l’élève Situation Effets sur l’élève Elève Résultats Régulation de la situation Régulation structurante

I) De la situation vers l’activité Parfois l’activité élève ne démarre pas toute seule 1 er exemple : La situation possède une trop forte dimension instrumentale et mathématiques, la tâche devient trop complexe pour l’élève 2 ème exemple : La tâche est bien comprise par l’élève mais l’activité attendue ne correspond pas à celle attendue en papier-crayon

1 er exemple : Eric sur Euler

2 ème exemple : Alice et Fanny sur MeP

Nécessité de régulations préliminaires de la part de l’enseignant Dans le 1 er exemple : L’enseignant explicite les deux sous tâches (et il aide l’élève à résoudre la première : trouver les coordonnées de 2 points) Dans le 2 ème exemple :  Alice passe sur l’exercice sans lui trouver d’intérêt  Fanny interpelle l’enseignant « c’est pas clair pour trouver l’antécédent ! » et il lui explique

Suite de l’exemple 2 : Alice et Fanny

Conclusions de la partie 1 : Des décalages dès le départ entre activité attendue (compte tenu de la situation) et activité réelle  Importance d’expliciter l’activité attendue si elle ne correspond pas à l’activité papier/crayon (exemple 2)  Importance de bien mesurer au niveau de la situation de départ l’effet de l’environnement sur la tâche mathématique (exemple 1) sur l’activité attendue (exemple 2,)

II) De l’activité vers les rétroactions Rétroactions non adaptées à l’activité de l’élève  1 er exemple : décalage mathématique (Bernadette)  2 ème exemple : décalage instrumental (Alice) 3 ème exemple : rétroactions adaptées mais insuffisantes pour aider l’élève (Alice suite) 4 ème exemple : rétroactions adaptées mais mal interprétées par l’élève (pb de diagnostic) (Fanny)

Paraschool rétroaction mathématiquement mal adaptée

Bernadette bénéficie plusieurs fois de ce feedback qui ne lui sert pas puisqu’elle fait la « méthode du triangle » pour calculer b.

2 ème exemple : Alice sur MeP rétroaction instrumentalement mal adaptée

2 ème exemple : Alice avec MeP rétroaction instrumentalement mal adaptée

Indication « i » Alice demande l’aide de l’enseignant qui lui montre comment activer l’information et comment manipuler le curseur (on rejoint les phénomènes liés à l’environnement de la tâche de la partie 1)

3 ème exemple : Alice toujours sur MeP rétroactions insuffisantes

4 ème exemple : Fanny sur MeP rétroaction (correction) mal interprétée

Conclusion : Des décalages entre activité réelle et rétroactions (mauvaises régulations « automatiques » de la situation)  L’enseignant semble parfois nécessaire pour permettre une bonne régulation (Alice dans le 2 ème et le 3 ème exemple)  Parfois (souvent) l’enseignant n’a pas connaissance de ce décalage (Alice qui fait l’exo 8 algébriquement, Bernadette et la stratégie du triangle dans le 1 er exemple et surtout Fanny dans le 4 ème exemple)

Partie 3 : Et les régulations structurantes ?. Elève Activité Effets Résultats Situation modifient l’état de la situation : régulation de la situation modifient l’état de l’élève : régulation structurante influencesproduits diagnostics

Activité productive / constructive Logique d’action : élève qui développe une activité productive, tournée vers des résultats objectifs d’activité -> il y a des apprentissages incidents Logique d’apprentissage : élève qui développe une activité constructive, tournée vers des effets sur lui, apprentissages intentionnels Activité constructive et productives vont de paire

L’importance des situations « riches » Un scénario global cohérent Des tâches mathématiques qui dépassent les applications immédiates de connaissances explicitées + qui ne sont pas ruinées par l’environnement  Ex : le travail sur des changements de registres pour les élèves de seconde Exercice Euler d’Eric (algébrique graphique) Exercice de MeP (graphique langage naturel) Exercice Paraschool (graphique algébrique)

Retour sur Bernadette : l’environnement simplifie la tâche

Retour sur Alice : c’est seulement là qu’elle cherche vraiment

Richard sur Paraschool : refait trois fois le même exercice

L’importance des rétroactions bien adaptées même si c’est insuffisant Rappel:  Bernadette qui fait sa méthode du triangle alors que Paraschool lui répond sur une autre méthode  Fanny qui interprète mal la correction de MeP et attribue son erreur à la précision et à une mauvaise manipulation de la loupe  Alice aussi à un moment oublie l’une des solutions à f(x)=g(x) Parfois ça marche sans le prof !

L’importance d’aides de type 2 pour l’activité constructive Aides de type 1 qui aident à la résolution de la tâche Aides de type 2 qui rajoutent quelque chose à la tâche (méta dans la ZPD…)  Bernadette si un commentaire sur sa méthode du triangle lui était donné  Richard si un commentaire lui permettait de capitaliser tous les feedbacks qu’il reçoit

Références Artigue M. (1997). Le logiciel DERIVE comme révélateur de phénomènes didactiques liés à l’utilisation d’environnements informatiques pour l’apprentissage. Educational Studies in Mathematics, 33/2, Artigue M. (2002). Quelques leçons des ingénieries didactiques, In D. Guin & L. Trouche (eds), Calculatrices symboliques, faire d’un outil un instrument du travail mathématique : un problème didactique. Grenoble : La Pensée Sauvage. Artigue M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: the genesis of a réflexion about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Artigue & al. (2004). Suivi de l’expérimentation de ressources en ligne menée par la Région Ile de France. Rapport de recherche. IREM Paris 7. Balacheff N. (1994). La transposition informatique. Note sur un nouveau problème pour la didactique, in, M. Artigue & als. (Eds), Vingt ans de Didactique des Mathématiques en France, p Grenoble : La Pensée Sauvage. Chevallard Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12/1,

Références (suite) Defouad B. (2000). Etude de genèses instrumentales liées à l’utilisation d’une calculatrice symbolique en classe de première S. Thèse de doctorat. Université Paris 7. Guin D. & Trouche L. (2002). Calculatrices symboliques, faire d’un outil un instrument du travail mathématique : un problème didactique. Grenoble : La Pensée Sauvage. Haspekian M. (2005). An instrumental approach to study the integration of a computer tool into Mathematics teaching : the case of spreadsheets. The International Journal of Computers for Mathematical Learning, 10(2), Laborde C. & Capponi B. (1994). Cabri-géomètre constituant d’un milieu pour l’apprentissage de la notion de figure géométrique, Recherches en Didactique des Mathématiques, 14/1-2, Lagrange J.B. (1999). Techniques and concepts in pre-calculus using CAS : a two year classroom experiment with the TI92. The International Journal for Computer Algebra in Mathematics Education, 6/2,

Références (suite et fin) Lagrange J.B. & al. (2001). A meta study on IC technologies in education. in, M. van den Heuvel-Panhuizen, Proceedings of the 25 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol.1, Utrecht : Freudenthal Institute. Lagrange J.B. (2000). L’intégration des instruments informatiques dans l’enseignement : une approche par les techniques. Educational Studies in Mathematics, 43 (1), Trouche L. (1997). A propos de l’apprentissage de fonctions dans un environnement de calculatrices, étude des rapports entre processus de conceptualisation et processus d’instrumentation. Thèse de doctorat. Université de Montpellier. Trouche L. (2000). La parabole du gaucher et de la casserole à bec verseur : étude des processus d’apprentissage dans un environnement de calculatrices symboliques. Educational Studies in Mathematics, 41, Trouche L. (2004). Environnements informatisés et mathématiques : quels usages pour quels apprentissages. Educational Studies in Mathematics, 55/1-3, Vérillon P. & Rabardel P. (1995). Cognition and artifacts : a contribution to the study of thought in relation to instrumented activity. European Journal of Psychology of Education, 10/1,