Une démonstration Utiliser les transformations (étude de figures). Figure 1 : Symétrie centrale Figure 2 : Symétrie axiale Figure 3 : Translation Démontrer

On considère la symétrie de centre B. Soit A’ l’image du point A1, Figure N°1 ABC et A1BC1 sont deux triangles rectangles en A et A1. Voir la démonstration Les angles ABC et A1BC1 sont opposés par le sommet Donc ils sont égaux. C C’ On veut montrer que BA BA1 = BC BC1 A1 B A’ A On considère la symétrie de centre B. Soit A’ l’image du point A1, Soit C’ l’image du point C1. C1 Le triangle A’BC’ est l’image du triangle A1BC1. Le triangle A1BC1 est un triangle rectangle en A1. Donc le triangle A’BC’ est rectangle en A’. Et BA’ = BA1 ; BC’ = BC1

Considérons la symétrie d’axe la droite d. Figure N°2 ABC et A1BC1 sont deux triangles rectangles en A et A1, tels que A1BC1 = ABC Voir la démonstration C On veut montrer que d C1 C’ BA BA1 = BC BC1 Considérons la symétrie d’axe la droite d. B A’ A A’ est l’image du point A1. A1 C’ est l’image du point C1. L’image du triangle A1BC1 est le triangle A’BC’ Le triangle A1BC1 est un triangle rectangle en A1. Donc le triangle A’BC’ est rectangle en A’. BA’ = BA1 ; BC’ = BC1 ; A1BC1 = A’BC’

Considérons la translation qui applique B1 sur B. Figure N°3 ABC et A1B1C1 sont deux triangles rectangles en A et A1 tels que A1B1C1 = ABC On veut montrer que BA B1A1 A B C = BC B1C1 C’ C1 A’ B1 A1 Considérons la translation qui applique B1 sur B. * Soit A’ l’image du point A1 * Soit C’ l’image du point C1.

L’image du triangle A1B1C1 est le triangle A’BC’. Figure N°3 ABC et A1B1C1 sont deux triangles rectangles en A et A1 tels que A1B1C1 = ABC Voir la démonstration On veut montrer que BA B1A1 A B C = BC B1C1 C’ C1 A’ B1 A1 L’image du triangle A1B1C1 est le triangle A’BC’. Le triangle A1B1C1 est un triangle rectangle en A1. Donc le triangle A’BC’ est rectangle en A’. BA’ = B1A1 ; BC’ = B1C1 ; A1B1C1 = A’BC’

BA BC = BA' BC' D'après la propriété de Thalès Démonstration : Les droites (AC) et (A'C') sont perpendiculaires à la droite (AB) C Donc les droites (AC) et (A'C') sont parallèles. C' D'après la propriété de Thalès BC' BA' = BC BA A B A' Donc BC' x BA = BC x BA' On divise chacun des deux membres de l'égalité par BC' x BC BC' x BA BC' x BC BC x BA' BC' x BC = BA BC = BA' BC' et on obtient :

Conclusion : Si ABC est un triangle rectangle en A. Pour un angle ABC donné, le quotient C BA est constant. BC B A Ce nombre ne dépend que de la mesure de l’angle ABC. C’est le cosinus de l’angle ABC. cos (ABC) se lira « cosinus de l’angle ABC » Côté adjacent à l'angle ABC BA cos (ABC) = = BC Hypoténuse

Le plus grand côté Cos ABC < 1 Donc BA < BC Donc BA Cos ABC = BC Propriété : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est : Le plus grand côté Donc BA < BC Cos ABC < 1 Donc