Philippe PRIAULET HSBC-CCF MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine Séance 2 Philippe PRIAULET HSBC-CCF

Plan de la Séance Les modèles de reconstitution de la courbe des taux Introduction, Rappels et Notations La courbe d’Etat Sélection des paniers Méthode théorique directe et bootstrapping Différents types d’interpolation Méthodes indirectes: modèle de Nelson et Siegel, splines cubiques et exponentielles La courbe interbancaire Les courbes «corporate» Exemple d’application: l’analyse rich/cheap voir MP p. 19 à 34 et 167 à 178

Introduction Cette séance a pour but la reconstitution de la courbe des taux zéro-coupon au comptant («spot»). Connaître la courbe des taux zéro-coupon au comptant est très important en pratique car cela permet aux acteurs du marché: - d’évaluer et de couvrir à la date de reconstitution les produits de taux délivrant des flux futurs connus (obligation à taux fixe, par exemple) => certaines applications comme l’analyse «rich and cheap» (bond picking) qui consiste à détecter les produits sur-et sous-évalués par le marché pour tenter d’en tirer profit.

Introduction (2) - de dériver les autres courbes implicites: la courbe des taux forward, la courbe des taux de rendement au pair et la courbe des taux de rendement instantanés. - enfin, la courbe spot est le point de de départ pour la mise en place de modèles stochastiques de déformation de cette courbe dans le temps.

Introduction (3) La reconstitution de cette courbe est rendue nécessaire par le fait qu’il n’existe pas suffisamment d’obligation zéro-coupon («strips») cotées sur le marché. Par conséquent, il n’est pas possible d’obtenir les taux zéro-coupon pour un continuum de maturité. En outre, les obligations zéro-coupon ont souvent une moindre liquidité que les obligations à coupons. :

Introduction (4) Nous allons distinguer trois grands types de courbe de taux zéro-coupon: - la courbe Trésor (ou courbe d’Etat). - la courbe interbancaire - et les courbes «corporate» La courbe Trésor est construite à partir des obligations émises par l’Etat (OAT, BTAN et BTF en France). Il s’agit de la courbe dite sans risque dans les pays du G7 dans la mesure où les Etats de ces pays sont censés ne jamais faire défaut. Les Etats de ces pays sont notés AAA par les agences de rating, i.e. disposent de la meilleure notation possible. :

Introduction (5) La courbe interbancaire comme son nom l’indique résulte d’opérations financières entre banques. Elle est construite à partir des taux de dépôt, des futures et des swaps. Il ne s’agit pas d’une courbe sans risque puisque les banques ne jouissent pas du meilleur rating des agences de notations. Leur rating moyen se situe entre A et AA pour S&P et A1 et Aa1 pour Moody’s. Les courbes «corporate» sont les courbes qui caractérisent les entreprises du secteur privé. Il y en a de multiples qui dépendent du rating des entreprises et de leur secteur économique. On peut par exemple tracer: - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises disposant du rating A :

Introduction (6) - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises du secteur Télécom disposant du rating BB - la courbe des taux zéro-coupon de France Telecom Chacune de ces courbes est construite en utilisant les obligations des entreprises concernées. On verra qu ’il est courant de construire la courbe des spreads «corporate». Elle est obtenue en soustrayant la courbe Trésor ou interbancaire à la courbe «corporate». :

Rappel de l’échelle des ratings Moody’s et S&P Introduction (7) Rappel de l’échelle des ratings Moody’s et S&P :

Introduction (8) Rappels et notations Définition du taux zéro-coupon Il est implicitement défini dans la relation suivante: où: - B(0,t): prix de marché à la date 0 d’une obligation zéro-coupon délivrant 1 euro à la date t. On appelle aussi B(0,t), le facteur d’actualisation en 0 pour la maturité t. - R(0,t): taux de rendement en 0 de l’obligation zéro-coupon délivrant 1 euro en t. R(0,t) est aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t. :

Introduction (9) Rappels et notations Evaluation d’obligations à flux connus Le prix V de l’obligation à la date t s’écrit donc plus justement Exemple 1: Soit l’obligation de montant nominal 100$, de maturité 3 ans et de taux de coupon 10%. Les taux zéro-coupon à 1 an, 2 ans et 3 ans sont de 7%, 9% et 10%. Le prix P de l’obligation est égal à

La courbe d’Etat Sélection des titres Elle est construite à partir d’obligations d’Etat. Il est important de faire une sélection rigoureuse des titres qui servent à la reconstitution. Il faut éliminer: - les titres qui présentent des clauses optionnelles car la présence d’options rend le prix de ces titres non homogènes avec ceux qui n’en contiennent pas. - les titres qui présentent des erreurs de prix, typiquement dues à des erreurs de saisie. - les titres qui sont soit illiquides, soit surliquides, et présentent donc des prix qui ne sont pas dans le marché. Il ne faut pas tracer la courbe des taux sur des segments de maturité où l’on ne dispose pas de titres. Par exemple, ne pas tracer la courbe sur le segment [20-30 ans] si l’on ne dispose pas de titres de maturités supérieures à 20 ans dans le panier.

La méthode théorique de reconstitution La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution Elles permettent de déduire directement les taux zéro-coupon des obligations à coupons. Elles requièrent les deux conditions suivantes: - elles ont les mêmes dates de tombée de coupon - elles ont des maturités multiples de la fréquence de tombée des coupons. Cette méthode n’est que théorique car dans la pratique il est très rare de pouvoir trouver un échantillon d’obligations ayant ces deux caractéristiques.

La méthode théorique de reconstitution (2) La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution (2) Notations et résolution Pt =(Pt1, Pt2,....., Ptn)T le vecteur des prix à l’instant t des n obligations à coupons du panier F = (Fti(j))i=1,...,n, j=1,...,n la matrice n x n correspondant aux flux des n titres. Les dates de tombées des flux sont identiques pour tous les titres. Bt =(B(t,t1), B(t,t2), ,....., B(t,tn))T le vecteur des facteurs d’actualisation Par AOA, on obtient le vecteur des facteurs d’actualisation Pt = F . Bt soit Bt = F-1 . Pt car F est inversible

La méthode théorique de reconstitution (3) La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution (3) On extrait le vecteur des taux zéro-coupon à l’aide de la relation Si l’on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors

La méthode théorique de reconstitution (4) La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution (4) Exemple On obtient le système d’équation suivant: 101 = 105 B(0,1) 101.5 = 5.5 B(0,1) + 105.5 B(0,2) 99 = 5 B(0,1) + 5 B(0,2) + 105 B(0,3) 100 = 6 B(0,1) + 6 B(0,2) + 6 B(0,3) + 106 B(0,4) soit B(0,1)=0.9619, B(0,2)=0.9119, B(0,3)=0.8536, B(0,4)= 0.7890 et R(0,1)=3.96%, R(0,2)=4.717%, R(0,3)=5,417%, R(0,4)=6,103% Coupon Maturité (années) Prix Titre 1 5 1 101 Titre 2 5.5 2 101.5 Titre 3 5 3 99 Titre 4 6 4 100

La méthode du bootstrap La courbe d’Etat La méthode du bootstrap Il s’agit d’une procédure en plusieurs étapes qui permet de reconstituer une courbe zéro-coupon au comptant «pas à pas» i.e. segment par segment de maturité. 1- Pour le segment de la courbe inférieur à 1 an: Extraction des taux zéro-coupon grâce aux prix des titres zéro-coupon cotés sur le marché puis obtention d’une courbe continue par interpolation linéaire ou cubique (voir plus loin).

La méthode du bootstrap (2) La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (2) 2- Pour le segment de la courbe allant de 1 an à 2 ans: Parmi les obligations de maturité comprise entre 1 an et 2 ans, on choisit l’obligation à l’échéance la plus rapprochée. Ce titre verse deux flux. Le facteur d’actualisation du premier flux est connu grâce à l ’étape 1. Le facteur d’actualisation du second flux est solution de l’équation non linéaire P = C B(0, t1) + (100 + C) B(0, t2) avec t1 <= 1 et 1< t2 <= 2 On obtient alors un premier point de courbe sur ce segment. On réitère alors le même procédé avec l’obligation de maturité immédiatement supérieure mais toujours inférieure à 2 ans.

La méthode du bootstrap (3) La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (3) 3- Pour le segment de la courbe allant de 2 ans à 3 ans: On réitère l’opération précédente à partir des titres ayant une maturité comprise entre 2 ans et 3 ans. ...etc...

La méthode du bootstrap (4) La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (4) Exemple de Bootstrap Taux à 1 an et 2 mois soit 5.41% Taux à 1 an et 9 mois soit 5.69%

La méthode du bootstrap (5) La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (5) Exemple de Bootstrap (2) Taux à 2 ans soit 5.79% Taux à 3 ans soit 5.91% On obtient le tracé de courbe suivant pour les maturités comprises entre 1 jour et 3 ans, en supposant que l’on raccorde linéairement l’ensemble des points.

La méthode du bootstrap (6) La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (6)

Les différents types d’interpolation La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation Quand on utilise la méthode théorique directe ou le bootstrap, il est nécessaire de choisir une méthode d’interpolation entre deux points. Deux sont particulièrement utilisées: les interpolations linéaire et cubique. Interpolation linéaire: On connaît les taux zero-coupon de maturités t1 et t2. On souhaite interpoler le taux de maturité t avec t1< t <t2 Exemple: R(0,3) =5.5% et R(0,4)=6%

Les différents types d’interpolation (2) La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation (2) Interpolation cubique: On procède à une interpolation cubique par segment de courbes. On définit un premier segment entre t1 et t4 où l’on dispose de 4 taux R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). Le taux R(0, t) de maturité t est défini par sous la contrainte que la courbe passe par les quatre points de marché R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). D’où le système à résoudre:

Les différents types d’interpolation (3) La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation (3) Exemple On se donne les taux suivants : R(0, t1) = 4%, R(0, t2) =5%, R(0, t3) = 5.5% et R(0, t4) = 6% Calculer le taux de maturité 2.5 ans ? R(0, 2.5) = a x 2.53 + b x 2.52 + c x 2.51 + d = 5.34375% avec

Les différents types d’interpolation (4) La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation (4) Comparaison des deux interpolations 6.50% Linéaire Cubique 6.00% 5.50% 5.00% Taux 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Maturité

Les méthodes indirectes La courbe d’Etat Les méthodes indirectes Ce sont les méthodes les plus utilisées en pratique Principe: Pour un panier d’obligations à coupons, il s’agit de la minimisation de l’écart au carré entre les prix de marché et les prix reconstitués à l ’aide d’une forme a priori spécifiée des taux zéro-coupon ou de la fonction d’actualisation. Soit un panier constitué de n titres. On note à la date t: : prix de marché du j-ème titre. : prix théorique du j-ème titre : flux futur du j-ème titre tombant à la date s (s > t)

Les méthodes indirectes (2) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (2) L’idée consiste à trouver le vecteur des paramètres tel que On distingue deux grandes classes de modèles: - les modèles type Nelson et Siegel fondés sur une modélisation des taux zéro-coupon (cf MP 28 à 34). Le prix théorique s’écrit: g est la fonctionnelle des taux zéro-coupon. Le prix de l’obligation est une fonction non linéaire des paramètres d’estimation. La résolution d’un tel problème s’effectue à l’aide d’un algorithme de Newton modifié (cf MP p. 172 à 175).

Les méthodes indirectes (3) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (3) - les modèles à splines fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation. f est une fonction linéaire des paramètres d’estimation. Par conséquent, le prix de l’obligation est également une fonction linéaire des paramètres d’estimation La résolution d’un tel problème est donc matricielle. Cf MP p. 19 à 28 et p. 167 à 172

Les méthodes indirectes (4) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (4) Le modèle de Nelson et Siegel (1987) La fonctionnelle imaginée par Nelson et Siegel s’écrit : : taux zéro-coupon de maturité  0: facteur de niveau; il s ’agit du taux long. 1: facteur de rotation; il s’agit de l’écart entre le taux court et le taux long 2: facteur de courbure : paramètre d’échelle destiné à rester fixe au cours du temps

Les méthodes indirectes (5) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (5) Le modèle de Nelson et Siegel (2) Il est aisé d’exprimer les dérivées partielles de par rapport à chacun des paramètres béta, ce que l’on appelle les sensibilités des taux zéro-coupon aux paramètres béta (cf graphique suivant). Ces sensibilités sont très proches de celles que l’on obtient historiquement en appliquant la méthode de l’ACP aux taux zéro-coupon. On retrouve bien les facteurs de niveau, pente et courbure.

Les méthodes indirectes (6) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (6)

Les méthodes indirectes (7) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (7) Effets de pente et courbure dans le modèle de Nelson et Siegel Pour illustrer les effets de pente et courbure, nous allons d’abord tracer une courbe croissante classique en retenant le choix de paramètres suivant: 0 = 7% 1 = -2% 2 = 1%  = 3.33 Puis nous allons faire varier isolément chacun des paramètres 1 et 2 entre -6% et 6%.

Les méthodes indirectes (8) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (8) La courbe de départ

Les méthodes indirectes (9) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (9) Effet de pente dans le modèle de Nelson et Siegel

Les méthodes indirectes (10) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (10) Effet de courbure dans le modèle de Nelson et Siegel

Les méthodes indirectes (11) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (11) Les formes de courbe possibles dans le modèle de Nelson et Siegel

Les méthodes indirectes (12) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (12) Exemple d’évolution des paramètres dans le modèle de Nelson et Siegel (France - 1999 et 2000)

Les méthodes indirectes (13) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (13) Inconvénients du modèle de Nelson et Siegel Le modèle de Nelson et Siegel ne permet pas de reconstituer toutes les formes de courbes de taux que l’on peut rencontrer sur le marché, en particulier les formes à une bosse et un creux (voir slide suivante). En outre, il manque de souplesse d’ajustement pour les maturités supérieures à 7 ans si bien que les obligations de telles maturités sont parfois mal évaluées par le modèle. Le premier inconvénient peut être levé en utilisant le modèle de Svensson ou modèle de Nelson-Siegel augmenté.

Les méthodes indirectes (14) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (14) Forme de courbe à une bosse et un creux

Les méthodes indirectes (15) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (15) Le modèle de Nelson et Siegel augmenté La fonctionnelle s’écrit maintenant : 3 : paramètre de courbure supplémentaire qui a surtout une influence sur la partie courte de la courbe 2 : paramètre d’échelle Cette extension donne plus de flexibilité à la courbe sur le secteur court terme.

Les méthodes indirectes (16) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (16) Effet de courbure donné par 3

Les méthodes indirectes (17) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (17) Les autres modèles 1- La fonctionnelle des taux zéro-coupon dans le modèle stochastique de Vasicek (1977): Elle est obtenue en modélisant le taux court sous la forme (voir séances suivantes pour une description complète du modèle) 2- Vasicek augmenté 1 (très proche de Nelson et Siegel)

Les méthodes indirectes (18) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (18) Les autres modèles (2) 3- Vasicek augmenté 2 (très proche de Nelson-Siegel augmenté) 4- Fonctionnelle CIR et bien d’autres encore

Les méthodes indirectes (19) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (19) Exemples de reconstitution Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations» pages 6 à 12

Les méthodes indirectes (20) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (20) Conclusion sur les modèles de type Nelson et Siegel Le reproche souvent formulé à l’encontre de cette classe de modèles est leur insuffisante flexibilité. En revanche les variables de ces modèles sont interprétables financièrement. Cette classe de modèles est en pratique le plus souvent utilisée pour l’analyse et la couverture du risque de taux de portefeuilles à flux connus (cf séance 2). Nous allons à présent aborder les modèles à splines qui sont beaucoup plus flexibles mais présentent au contraire des paramètres qui ne sont pas interprétables d’un point de vue financier.

Les méthodes indirectes (21) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (21) Les modèles à splines Ils sont fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation. Les plus célèbres sont les splines polynomiaux (cf Mc Culloch (1971,1975)) et les splines exponentielles (cf Vasicek et Fong (1982)). Leur avantage tient à leur grande flexibilité qui leur permet de reconstruire toutes les formes de courbe rencontrées sur le marché. Ils sont utilisés pour l’analyse «rich and cheap».

Les méthodes indirectes (22) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (22) Principe des modèles à splines Il faut d ’abord faire le choix d’une forme spécifique pour la fonction d’actualisation f(s-t;ß). La méthode consiste à estimer les paramètres en minimisant l’écart au carré entre prix de marché et prix reconstitués. Rappelons que le prix théorique de la j-ème obligation s’écrit: où B(t,t) = 1 constitue la contrainte de la minimisation A une date t, on écrit: où est la partie résiduelle non expliquée par le modèle.

Les méthodes indirectes (23) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (23) Principe des modèles à splines (2) Les résidus vérifient les conditions suivantes: - en moyenne, ils sont nuls: - ils sont non corrélés entre eux: - il y a deux hypothèses possibles pour la variance * soit on la suppose constante auquel cas les résidus sont homoscédastiques * soit elle varie pour chaque titre auquel cas les résidus sont hétéroscédastiques

Les méthodes indirectes (24) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (24) Principe des modèles à splines (3) Quand on fait la première hypothèse, on constate que la partie courte de la courbe est mal estimée. Dans ce cas, le vecteur des paramètres est obtenu par la méthode des MCO sous contrainte. L’idée est donc de retenir la deuxième hypothèse en donnant plus de poids dans la minimisation aux obligations de maturité courte. Une façon de procéder est de choisir un poids égal à la duration de l’obligation:

Les méthodes indirectes (25) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (25) Principe des modèles à splines (4) Ce choix revient à résoudre le problème suivant: Dans ce cas, le vecteur des paramètres est obtenu par la méthode des MCG sous contrainte ou MCO pondérés sous contrainte. Ce choix est rationnel: il revient à dire que plus une obligation a une maturité longue, plus difficile est son prix à estimer.

Les méthodes indirectes (26) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (26) Les splines polynomiaux 1- Modélisation standard Il est commun de considérer l’écriture standard comme dans l’exemple qui suit: La fonction d’actualisation compte ici 12 paramètres. On rajoute des contraintes de régularité sur cette fonction qui garantissent la continuité, la continuité de la dérivée première et de la dérivée seconde de cette fonction aux points de raccord 5 et 10.

Les méthodes indirectes (27) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (27) Les splines polynomiaux (2) Pour i =0, 1 et 2: Et la contrainte qui porte sur le facteur d’actualisation: En utilisant l’ensemble de ces 7 contraintes, le nombre de paramètres à estimer tombe à 5:

Les méthodes indirectes (28) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (28) Les splines polynomiaux (3) Le système précédent peut être écrit sous la forme suivante: où est la fonction dite bornée de puissance. Il y a une autre écriture de cette équation dans la base des B-splines. Cette écriture est devenu extrêmement classique.

Les méthodes indirectes (29) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (29) Les splines polynomiaux (4) 2- Expression dans la base des B-splines Les B-splines sont des fonctions linéaires de fonctions bornées de puissance. On écrit alors: où les coefficients lambda sont définis comme suit: et

Les méthodes indirectes (30) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (30) Les splines exponentielles Les splines exponentielles ont été introduites par Vasicek et Fong (1982): En utilisant les mêmes contraintes de régularité, on ramène le problème à 7 paramètres à estimer sous la contrainte lié au facteur d’actualisation (cf MP p 167-168). Le paramètre alpha est un paramètre d’ajustement supplémentaire qui rend le problème non linéaire. L’idée consiste à résoudre le problème comme s’il était fixé, puis à chercher sa valeur optimale.

Les méthodes indirectes (31) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (31) Le choix du nombre de splines Le nombre de splines influe sur la qualité des résidus et le lissage de la courbe. Plus il y a de splines et meilleurs sont les résidus. La courbe devient toutefois moins lisse, et peut passer par des points aberrants. Moins il y a de splines et plus on lisse la courbe. Mais les écarts de prix peuvent devenir importants ce qui laisse à penser que la courbe est mal rendue. Pour choisir au mieux ce nombre de splines, on peut utiliser la règle suivante.

Les méthodes indirectes (32) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (32) Le choix du nombre de splines (2) On constitue deux paniers. Le premier panier dit de minimisation contient les titres qui ont permis d’obtenir les paramètres d’estimation. Le deuxième panier dit de vérification contient des titres qui n’ont servi lors de la minimisation. Dans la mesure du possible, il faut que ces deux paniers soient homogènes, i.e contiennent à peu près le même nombre de titres, et les mêmes types de maturité (court, moyen et long). Pour chacun de ces deux paniers, l’idée consiste à calculer l’écart de prix moyen:

Les méthodes indirectes (33) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (33) Le choix du nombre de splines (3) Ces deux écarts sont notés et . La règle est la suivante: 1- On calcule ces deux écarts et on s’assure qu’ils sont inférieurs à la moyenne des fourchettes «bid-ask» (environ 10 centimes de prix). S’ils ne le sont pas, on augmente le nombre de splines jusqu’à temps qu’ils le deviennent. 2- On calcule la différence entre ces deux écarts: * si elle est faible, le nombre de splines est bien spécifié. * si elle est forte, le nombre de splines est probablement trop élevé. Il faut donc en retirer jusqu’à temps que cette différence devienne faible.

Les méthodes indirectes (34) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (34) La localisation des points de raccord La règle la plus logique consiste à localiser ces points de telle façon que chaque spline contienne à peu près le même nombre de titres. Par exemple, sur le marché français, on définit 5 splines: [0-1 an] : super court (BTF ou Monétaire + BTAN) [1-3 ans] : court terme (BTAN) [3-7 ans] : moyen terme (BTAN + OAT) [7-10 ans] : long terme (OAT) [10-30 ans] : très long terme (OAT)

Les méthodes indirectes (35) La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (35) Exemples de reconstitution Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations» pages 1 à 5 et 13-14

La courbe interbancaire Sélection des titres Elle est construite à partir d’un panier d’instruments comprenant: - les taux du marché monétaire, typiquement les taux Euribor en zone Euro. Ils sont généralement utilisés pour les maturités allant de 1 jour à 6 mois. Ce sont des taux linéaires exprimés en base Exact/360. - les contrats futures sur taux d’intérêt, typiquement les futures sur Euribor 3 mois en zone Euro. Ils servent pour reconstituer la courbe des taux sur le segment allant de 6 mois à 2 ou 3 ans. - les swaps standards typiquement les swaps standards Euribor 3 mois ou 6 mois en zone Euro. Ils servent à reconstituer la courbe pour les maturités supérieures à 2 ou 3 ans. Il est nécessaire dans un premier temps de déduire les taux zéro-coupon des prix de ces instruments (cf exemple suivant).

La courbe interbancaire Exemple de reconstitution Les données de marché au 04/05/2000 Taux monétaires Taux de swap Contrats futures

La courbe interbancaire Exemple de reconstitution (2) 1- Les taux Euribor sont des taux monétaires en base Exact/360, à convertir en taux zéro-coupon en base Exact / 365 Exemples:

La courbe interbancaire Exemple de reconstitution (3) 2- Calcul des taux zéro-coupon implicites à partir des contrats futures sur Euribor 3 mois Le prix du contrat Euribor 3 mois est égal à 100 moins le taux à terme 3 mois sous-jacent. Il s’agit précisément du taux à terme calculé à la date de reconstitution, démarrant à échéance du contrat et finissant 3 mois plus tard. Dans notre exemple, le premier contrat arrive à échéance dans 46 jours. Le taux zéro-coupon interpolé linéairement pour cette maturité vaut 4.3078%. On en déduit alors le taux zéro-coupon de maturité 138 jours par la formule suivante (il y a 92 jours entre le 19/06/00 et le 19/09/00 +46 jours = 138 jours)

La courbe interbancaire Exemple de reconstitution (4) Pour l’ensemble des contrats futures, on obtient: Fin contrat Echéance taux ZC Prix des futures Mid rate Taux ZC On obtient ainsi une série de taux zéro-coupon d’échéance les dates de fin de contrat + 3 M. On calcule le taux ZC(365j) à partir des taux ZC(318j) qui correspond à l ’échéance 18/03/01, et ZC(411j) qui correspond à l’échéance 19/06/01. 19/06/00 19/09/00 95.5775 4.4225% 4.4842% 18/09/00 18/12/00 95.2925 4.7075% 4.6466% 18/12/00 18/03/01 95.0175 4.9825% 4.7895% 19/03/01 19/06/01 94.9425 5.0575% 4.8995% 18/06/01 18/09/01 94.8375 5.1625% 4.9898% 17/09/01 17/12/01 94.7475 5.2525% 5.0578%

La courbe interbancaire Exemple de reconstitution (5) 3- Calcul des taux zéro-coupon implicites à partir des taux de swap Pour les swaps standards, les taux de swaps sont des taux de rendement au pair. Cela provient directement de la formule d’évaluation d’un swap. Si R(0,t) désigne le taux zéro coupon de maturité t, le taux de swap TS(n) de maturité n est calculé comme suit: d’où

La courbe interbancaire Exemple de reconstitution (6) L’idée consiste donc à déterminer de proche en proche les taux zéro-coupon. Connaissant le taux zéro-coupon à 1 an, on en déduit le taux zéro-coupon à 2 ans à partir du taux de swap 2 ans. Puis, le taux zéro-coupon à 3 ans à partir du taux de swap 3 ans ... On se retrouve donc avec une série de taux zéro-coupon pour les maturités correspondant aux maturités des instruments du panier. Il faut ensuite raccorder ces points pour obtenir une véritable courbe continue. Les méthodes d’interpolation classiques (linéaire et cubique) peuvent être utilisées. Il existe une méthode donnant de meilleures résultats qui consiste à écrire les taux zéro-coupon sous forme de sommes de B-splines cubiques.

La courbe interbancaire Reconstitution à partir des B-splines On dispose de N taux zéro-coupon notés R(0,s) déduits des prix des instruments de marché. L’idée consiste à écrire le taux zéro-coupon théorique sous la forme de sommes de B-splines cubiques: Puis on minimise la somme des écarts au carré entre les taux théoriques et les taux zéro-coupon issus des prix de marché:

La courbe interbancaire Reconstitution à partir des B-splines (2) Il existe une autre façon de procéder en transformant les prix des instruments de marché (taux de dépôt, contrats futures et swaps) en équivalent prix d’une obligation, puis à écrire classiquement la fonction d’actualisation sous forme de B-splines cubiques (comme nous l’avons fait pour la courbe d’Etat). Les résultats en termes de reconstitution de cette méthode sont très proches de ceux obtenus avec la méthode précédente. Nous traçons le 19/10/2000 la courbe interbancaire selon les deux méthodes (voir slides suivantes) à l’aide de B-splines cubiques et des splines suivantes: [0,1/2], [1/2,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,8] et [8,10]. cf MP pages 176 à 178

La courbe interbancaire Reconstitution à partir des B-splines - Exemple

La courbe interbancaire Reconstitution à partir des B-splines - Exemple (2)

La courbe interbancaire Reconstitution à partir des B-splines - Exemple (3)

Les courbes «corporate» Nous nous intéressons au cas d’une courbe «corporate» qui correspond à un rating particulier ou à un rating et un secteur économique particulier. Il est fréquent de tracer la structure par terme des spreads zéro-coupon. Cette courbe fournit l’écart en termes de taux zéro-coupon entre la courbe «corporate» et la courbe de référence qui peut être soit la courbe d’Etat, soit la courbe interbancaire. Il existe deux façons de procéder pour obtenir la courbe des spreads zéro-coupon: - la méthode disjointe qui consiste à estimer séparément la courbe «corporate» et la courbe de référence, puis à en faire la différence pour obtenir la courbe des spreads. - la méthode jointe qui consiste à générer la courbe de référence et la courbe des spreads à partir d’une procédure en une étape.

Les courbes «corporate» La méthode disjointe Pour mettre en place cette méthode, il suffit de constituer: - la courbe de référence (Etat ou interbancaire); - et la courbe «corporate» désirée en utilisant un panier d’obligations appartenant au secteur économique et au rating auquel on s’intéresse. Les méthodes utilisées pour tracer la courbe «corporate» sont identiques à celles que l’on utilise pour tracer la courbe d’Etat.

Les courbes «corporate» La méthode jointe On suppose que l’on souhaite générer en une seule étape la courbe de référence (Etat ou interbancaire) et les courbes de spreads pour n classes de risque différentes. On définit à la date t de reconstitution: : nombre d’obligations de la i-ème classe de risque. : prix de marché du j-ème titre de la i-ème classe de risque : prix théorique du j-ème titre de la i-ème classe de risque : flux futur tombant à la date s (s > t) pour le j-ème titre de la i-ème classe

Les courbes «corporate» La méthode jointe (2) Soient: : prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la i-ème classe de risque. : prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la classe de référence (Etat ou interbancaire). Il y a deux façons de décomposer le facteur d’actualisation: - de façon additive: où - de façon multiplicative:

Les courbes «corporate» La méthode jointe (3) Le premier cas est particulièrement avantageux car on écrit les fonctions d’actualisation sous forme de fonctions linéaires des paramètres à estimer. Le deuxième cas est beaucoup plus intuitif dans la mesure où il se simplifie en: si bien que le taux zéro-coupon risqué apparaît comme la somme du taux zéro-coupon de référence (Etat ou interbancaire) et d’un spread. L’idée consiste alors à écrire les fonctions d’actualisation sous forme de fonctions splines, et à minimiser la somme des écarts au carré entre les prix de marché et les prix théoriques des obligations.

Les courbes «corporate» La méthode jointe (4) On obtient ainsi en une seule procédure l’ensemble des paramètres pour les différentes fonctions d’actualisation, et par conséquent la courbe de référence et les i courbes de spread. L’exemple ci-dessous reprend les méthodes disjointe et jointe. Nous considérons une seule classe risquée, en l’occurrence une sélection de banques de la zone Euro de rating A. La courbe de référence est la courbe interbancaire (de meilleur rating moyen que la classe risquée). La fonction d’actualisation est décomposée sous forme additive. Les 2 fonctions d’actualisation sont modélisées sous forme de B-splines cubiques. Nous retenons les splines [0,1], [1,5] et [5,10] pour la fonction d’actualisation correspondant à la courbe interbancaire, et les splines [0,3] et [3,10] pour la fonction d’actualisation de la classe risquée.

Les courbes «corporate» Exemple de reconstitution

Les courbes «corporate» Exemple de reconstitution (2)

Les courbes «corporate» Exemple de reconstitution (3)

Bond picking strategies Rich/cheap analysis Bond picking strategies

The bond relative value analysis The goal of that analysis is to detect rich and cheap securities that historically present abnormal yields to maturity, taking as reference a theoretical zero-coupon yield curve fitted with bond prices. The method can be developed both for Treasury and corporate bonds. We take here the example of the French Treasury bond market. We build a strategy that belongs to alternative fixed-income strategies, and back-test it from 1995 to 2001.

How it works ? Bond rich-cheap analysis proceeds in five steps 1- We construct the adequate current zero-coupon yield curve with a spline model using data for assets with the same characteristics in terms of liquidity and risk. 2- Then compute a theoretical price for each asset to obtain the spread between the market yield to maturity and the theoretical yield to maturity. 3- For each asset, we implement a Z-score analysis so as to distinguish actual inefficiencies from abnormal yields. This statistical analysis provides signals of short or long positions to take in the market. 4- Short and long positions are unwound according to a criterion that is defined a priori.

Z-score analysis At date t and for a given bond, we use the historical of the 60 last spreads. 1- We define the value Min such that x% of the spreads are below that value, and the value Max such that x% of the spreads are above that value. is the value of the spread at date t+1. 2- When converges to 1 or exceeds 1, the bond is considered cheap. On the other hand, when this ratio converges to zero or becomes negative, the bond is considered expensive. For other values of this ratio, we conclude that the bond is fairly priced.

Example of Z-score analysis Suppose that we obtain the following historical distribution for the spread of a given bond over the last 60 working days For x = 5, Min = -0.0888% and Max = 0.0677%. One day later, the new spread is 0.0775% so that the ratio is equal to 1.063. The bond is cheap.

When to unwind the position ? The issue lies in the decision timing to reverse the position in the market. Many choices are possible. We expose here two of them: - it can be the first time when the position generates a profit net of transaction costs - another idea is to define new values Min (Max) such that y% of the spreads are below this value. For example, if the signal is detected for x = 1, the position can be reversed in the market for y = 15, which means that the spread has now a more normal level.

Back-test of a systematic method on the French market - We boost the performance of a monetary fund of Eur 50 million by benefiting of arbitrage opportunities detected by our model. - Two different funds are created: one is defensive with a leverage coefficient of 2 as the other one is offensive with a leverage coefficient of 4. - The Z-score analysis is performed over a 100-day period. The value x, which provides the signal to enter the position is equal to 3%. The fixed level, which is chosen to reverse the position is equal to 25%. - Short and long positions are financed by means of the repo market. The repo rate raises by 50bp when the bond is cheap and decreases by 50bp when the bond is expensive.

Back-test of a systematic method on the French market (2) - An arbitrage opportunity is a pair of bonds which meets the three following rules: * one bond cheap and one bond expensive * the difference of maturity between the two bonds is inferior to 1 year. * we buy a nominal of Eur 50 million of the cheap bond and sell the expensive bond for a nominal amount N such that the global position is $duration neutral. - We applicate a stop-time of 30 calendar days on each position.

Graph results

Regular performances nb of months with positive performance for the defensive fund: 84 (100%) mean of monthly total returns: 0.48% higher total return: 3.47% (sept. 95) lower total return: 0.04% (oct. 95)

An uncorrelated strategy / An attractive Sharpe ratio Money French govt MSCI Euro MSCI Euro Defensive Market 10Y corporate Debt SP 500 CAC 40 Fund Money Market 1,00 0,34 0,39 0,33 -0,06 -0,21 0,22 French govt 10Y 1,00 0,87 0,94 0,00 0,03 -0,06 MSCI Euro corporate 1,00 0,80 0,06 0,04 0,11 MSCI Euro Debt 1,00 0,12 0,13 -0,01 SP 500 1,00 0,68 0,08 CAC 40 1,00 -0,12 Defensive Fund 1,00 Money French govt MSCI Euro MSCI Euro Def. Fund market 10Y corporate Debt SP 500 CAC 40 risk 0,29% 2,96% 3,20% 3,66% 16,09% 20,31% 1,73% return 3,85% 6,54% 6,27% 7,93% 11,24% 13,33% 5,75% Sharpe 0,912 0,758 1,115 0,460 0,467 1,097

Risk measures Skewness 3.84 Kurtosis 17.58 Downside deviation 0.18% Upside deviation 0.46% Maximum drawdown 0.97% Sortino ratio 3.08

Leverage coefficients for the defensive fund PON: Difference between bonds bought and bonds sold as a multiple of the initial value of the funds (Eur 50 million) POA: Total of bonds bought as a multiple of the initial value of the funds (Eur 50 million) POV: Total of bonds sold as a multiple of the initial value of the funds (Eur 50 million) Leverage coefficients are multiplied by 2 for the offensive fund.

Statistics on arbitrages 172 arbitrage opportunities from 31/05/95 to 31/12/01 average length of an arbitrage: 2 weeks 1- Total of transaction costs: Eur 7.5 million 2- Total of repo costs: Eur -0.7 million 3- Total of gains: Eur 7.6 million 4- Total of gains for positive arbitrages: Eur 9 million 5- Total of losses for negative arbitrages: Eur 1.4 million 6- Maximum gain for one arbitrage: Eur 344616 7- Maximum loss for one arbitrage: Eur -138452

Conclusion At the moment, the number of arbitrage opportunities detected by the market is about 15 in a year. To be really competitive, this method needs to be implemented on all the T-Bond markets of the Eurozone. The model is also robust to consider arbitrage opportunities on investment grade markets.