Trigonométrie s α R s= α R α= s/R longueur d’un arc Sur un cercle, l’ensemble de la circonférence mesure s=2π R 2π correspond à un tour complet s Si l’on ne veut parcourir qu’un arc, remplaçons 2π par α dans la longueur α R s= α R On appellera alors α la mesure de l’angle en radian : α= s/R

Trigonométrie M(α) α R=1 arc= mesure d’un angle Trigonométrie Nous travaillerons sur un cercle de rayon R=1, appelé cercle trigonométrique, M(α) nous munissons d’un repère orthonormé avec l’origine au centre du cercle α et mesurerons les arcs à partir de l’axe des x vers l’axe des y pour α>0 (sens direct) R=1 M(α) est le point représentant l’angle α L’arc mesure alors S= α R = α × 1 S= α On appellera cette valeur α (c’est à dire la longueur de son arc sur un cercle de rayon R=1) la mesure de l’angle en radians

Trigonométrie M(π/2) M(π) M(2π) M(0) angles remarquables un angle α=0 Est représenté par le même point qu’un angle α=2π M(π/2) un angle α=π un angle α=π/2 M(π) M(2π) M(0)

Trigonométrie M(π/3) M(π/4) autres angles remarquables un angle α=π/4 (45°) un angle α=π/3 (60°) M(π/3) un angle α=π/6 (30°) M(π/4) un angle α=2π/3 (120°)

Trigonométrie M(α) R=1 cos, sin Chaque point M(α) du cercle trigonométrique a : M(α) pour abscisse cos(α) sin(α) pour ordonnée sin(α) cos(α) R=1

Trigonométrie M(π/2) M(π/3) M(π/4) M(π/6) M(0) cos, sin des angles remarquables Trigonométrie On notera les valeurs remarquables de ces fonctions dans le tableau: M(π/2) M(π/3) M(π/4) sin(α) On parcours d’abord les sinus : M(π/6) Sinus est une suite croissante Puis les cosinus : Cosinus est une suite décroissante M(0) cos(α) α (angle) π/6 π/4 π/3 π/2 sin (α) cos (α) tan (α) √1 /2 √2 /2 √3 /2 1 1 √3 /2 √2 /2 √1 /2 1/√3 1 √3 1

Trigonométrie M(α) tangente tan(α) tan(α) sin(α) sin(α) cos(α) cos(α) Traçons la tangente au cercle Si nous prolongeons le rayon, quelle est la longueur du segment de tangente? M(α) D’après Thalès, nous avons : tan(α) tan(α) R=1 sin(α) sin(α) cos(α) cos(α) 1 1

Trigonométrie cos2 α+ sin2 α = 1 M(α) Pythagore sin(α) cos(α) D’après le théorème de Pythagore : cos2 α+ sin2 α = 1 M(α) R=1 sin(α) cos(α)

Trigonométrie cos (-α) = cos (α) M(α) sin (-α) = - sin (α) M(-α) formules Trigonométrie On notera que : cos (-α) = cos (α) M(α) sin (-α) = - sin (α) sin(α) cos(α) sin(-α) M(-α)

Trigonométrie = cos (α) sin (π/2 -α) M(π/2 -α) = sin (α) cos (π/2 -α) formules Trigonométrie On notera que : = cos (α) sin (π/2 -α) cos(π/2 -α) M(π/2 -α) = sin (α) cos (π/2 -α) sin(π/2 -α) M(α) sin(α) cos(α)