Propriétés de la fonction quadratique Remarque : Tu devrais visionner les présentations : - Sommet, axe de symétrie, extrémum, ordonnée à l’origine .ppt - Zéros de fonction .ppt avant de visionner celle-ci.
Pour analyser une fonction quadratique, il faut au préalable, déterminer certaines informations : - le sommet de la fonction : S (h , k); 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x - h : l’axe de symétrie pour connaître les intervalles de croissance et de décroissance; - k : pour connaître l’extrémum et déterminer le codomaine; + + - les zéros de fonctions : pour connaître les intervalles sur lesquels la fonction est positive et négative; - - - l’ordonnée à l’origine.
∞ ∞ ∞ ∞ Analysons la fonction suivante : f(x) = 2 (x – 1)2 – 8 Sommet : (h , k) = (1 , - 8) -k a h ± Zéros : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x = -1 et 3 Ordonnée à l’origine : f(0) = -6 dom : R [ - 8 , + ∞ codom : - ∞ , 1] f(x) : ∞ [ 1 , + f(x) : ∞ - , -1 ] [ 3 , + f(x) ≥ 0 : f(x) ≤ 0 : [ -1 , 3 ] f(0) : - 6 Axe de symétrie : x = 1 Extrémum : min. abs. : - 8
∞ ∞ ∞ ∞ Analysons la fonction suivante : f(x) = -x2 + 2x + 8 -b 2a , 4ac – b2 4a Sommet : = ( 1 , 9 ) 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x Zéros : - b ± b2 – 4ac 2a = -2 et 4 Ordonnée à l’origine : f(0) = 8 dom : R - ∞ , 9 ] codom : ∞ [ 1 , + f(x) : - ∞ , 1] f(x) : f(x) ≥ 0 : [ -2 , 4 ] ∞ - , -2 ] [ 4 , + f(x) ≤ 0 : f(0) : 8 Axe de symétrie : x = 1 Extrémum : max. abs. : 9
Les propriétés d’une fonction sont différentes lorsqu’elle est en contexte, c’est-à-dire, lorsqu’on l’étudie en lien avec une situation réelle. Exemple : Un ballon est botté dans les airs. La hauteur H du ballon (en mètres) selon le temps t (en secondes) est donnée par la règle H(t) = -2t2 + 12 t. Décris cette fonction. 2 4 6 18 temps (sec) 8 10 12 14 16 1 3 5 7 9 Tir d'un ballon Hauteur (m) dom : [ 0 , 6 ] sec codom : [ 0, 18 ] sec f(x) : [ 0 , 3 ] sec f(x) : [ 3 , 6 ] sec f(x) ≥ 0 : [ 0 , 6 ] sec f(x) < 0 : aucun intervalle f(0) : 0 m Axe de symétrie : x = 3 sec Extrémum : max. abs. : 18 m; min. abs. : 0 m