Programme de seconde 2009 Géométrie Académie de Nancy-Metz novembre 2009

Les intentions du programme de seconde Laisser du temps pour une véritable recherche de problèmes : expérimentation et conjecture (avec si besoin utilisation d’un logiciel), recherche d’une preuve, mise en forme d’une solution Fournir un domaine propice au raisonnement et à la logique S’appuyer sur les acquis de collège et les consolider Introduire un nouveau cadre pour résoudre des problèmes : la géométrie analytique 1. Laisser du temps : D’où un nombre limité de contenus à introduire expérimentation et conjecture (avec si besoin utilisation d’un logiciel), Rendre les élèves capables d’étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs de distances, la démonstration d’un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche des coordonnées du point d’intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée. 3. Exploiter les acquis de collège Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquels la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants (toute autonomie pouvant être laissée sur l’introduction ou non d’un repère, l’utilisation ou non de vecteurs). 4. Introduire un nouveau cadre pour résoudre des problèmes : la géométrie analytique : calcul de distances, milieu d’une segment, équation de droite, caractérisation analytique de l’alignement et du parallélisme

Le programme de troisième Ce qui a disparu Géométrie repérée: distance et milieu Transformations planes : translation et rotation Géométrie vectorielle

Les contenus du programme de seconde Géométrie Ce qui disparaît Les triangles isométriques et les triangles de même forme Les isométries en tant qu’outil de résolution de problèmes Le calcul vectoriel Géométrie dans l’espace : l’orthogonalité

Les contenus du programme de seconde Géométrie plane Ce qui est nouveau Dans un repère (orthonormé) : coordonnées du milieu d’un segment, calcul de la distance de deux points Introduction des vecteurs Définition à partir de la translation Égalité de deux vecteurs Somme de deux vecteurs Produit d’un vecteur par un réel : définition analytique Plus de calcul vectoriel L’accent est mis sur la notion de repérage: assurer à l’ensemble des élèves la maîtrise indispensable en ce domaine. Les vecteurs sont introduits pour donner la caractérisation de l’alignement et du parallélisme à appliquer dans le cadre de la géométrie analytique

Les contenus du programme de seconde Géométrie dans l’espace entretenir les acquis du collège concernant les solides usuels ; introduire les notions de plans et droites de l’espace et leurs positions respectives ; fournir des configurations conduisant à des problèmes aptes à mobiliser d’autres champs des mathématiques (géométrie plane, fonctions…). Le développement de la vision dans l’espace reste un objectif de la classe de seconde la géométrie dans l'espace constitue un lieu de mise en oeuvre des acquis des autres chapitres du programme.

Les contenus et les capacités dans le programme de seconde un exemple de progression en géométrie

Exemple d’activité : le théorème de Varignon ABCD est un quadrilatère. On note I, J,K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Cette activité va permettre de travailler sur logique et raisonnement 8

Quel que soit le quadrilatère convexe ABCD. Propriété 1  Quel que soit le quadrilatère convexe ABCD. Si I, J,K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA], alors le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. Sur papier, les élèves vont obtenir des figures variées, certaines dans des configurations particulières. On est conduit à la conjecture : IJKL est toujours (nécessairement) un parallélogramme. Propriété que l’on démontre.

A quelle condition obtient-on un losange ? Propriété 2 Si le quadrilatère ABCD est un rectangle et I, J,K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] d’un rectangle ABCD, alors le quadrilatère IJKL est un losange Après expérimentation avec un logiciel, on conjecture : lorsque ABCD est un carré, IJKL est un losange ou lorsque ABCD est un rectangle, IJKL est un losange. La condition n’est pas nécessaire, il suffit d’exhiber un contre-exemple   Cette condition est suffisante, est-elle nécessaire ?

Cette condition est suffisante, est –elle nécessaire ? Propriété 3 Si le quadrilatère ABCD est tel que IJKL est un losange, alors ses diagonales ont la même longueur. On peut affirmer que La contraposée : Si ABCD a ses diagonales de longueurs différentes, alors IJKL n’est pas un losange.   Question : La condition « avoir des diagonales de même longueur » est-elle une condition suffisante ou non pour ABCD pour que IJKL soit un losange ? Autrement dit, la réciproque de la propriété 3 est-elle vraie ? La formuler Donc : Si ABCD a ses diagonales de longueurs différentes, alors IJKL n’est pas un losange. Cette condition est suffisante, est –elle nécessaire ?

etc

Que se passe-t-il si on itère la construction ?

Géométrie et algorithmes Exemple 1: Calculer la longueur d’un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités 14

Langage naturel On lit les coordonnées (a ; b) de A et les coordonnées (c ; d) de B. On calcule On appelle cette valeur E. On conclut E = … Langage algorithmique  Entrées : Saisir a, b, c, d # A(a,b) et B(c,d) Traitement : Affecter à E la valeur Sortie Afficher E

Langage calculatrice Entrées: Input a Input b Input c Input d Traitement : Sortie Disp “E=”,E

Langage Algobox

Langage Python from math import * a=float(input ("Entrez l'abscisse de A:")) b=float(input ("Entrez l'ordonnée de A:")) c= float(input ("Entrez l'abscisse de B:")) d=float(input ("Entrez l'ordonnée de B:")) D=sqrt((c-a)**2+(d-b)**2) print("D=",D)

On connaît les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère ABCD. Exemple 2 On connaît les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère ABCD. Est-ce un parallélogramme? Il vaut mieux préciser ici « quadrilatère ABCD » que « quadrilatère », sinon l’algorithme doit prendre en compte toutes les configurations possibles.

Je lis les coordonnées des points A, B, C et D. Langage « naturel » Je lis les coordonnées des points A, B, C et D. Je calcule les coordonnées du milieu K de [AD] et du milieu L de [BC]. Si les coordonnées de K sont égales aux coordonnées de L alors je conclus que ABCD est un parallélogramme. Sinon ABCD n’est pas un parallélogramme.  

Langage algorithmique Variables xA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD Entrées Saisir xA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD Traitement Affecter à xK la valeur (xA + xD)/2 Affecter à yK la valeur (yA + yD)/2 Affecter à xL la valeur (xB + xC)/2 Affecter à yL la valeur (yB + yC)/2  Sortie Si xK = xL et yK = yL Alors Afficher ABCD est un parallélogramme Sinon Afficher ABCD n'est pas un parallélogramme Différents logiciels : Calculatrice Algobox Python

comparaison des milieux des diagonales ; comparaison de vecteurs ; Plusieurs démarches sont possibles, donnant lieu à des algorithmes différents : comparaison des milieux des diagonales ; comparaison de vecteurs ; comparaison de longueurs Cette séance de travail peut ainsi être l’occasion d’un travail en groupes, d’une révision de géométrie, d’une exploration et d’une comparaison des efficacités des différents algorithmes produits. On pourrait aussi utiliser une telle séance pour introduire les vecteurs en proposant un algorithme utilisant la comparaison des différences de coordonnées et en s’interrogeant sur sa validité : voir diapo suivante.

Cet algorithme est-il valide ? Variables xA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD Entrées Saisir xA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD Traitement Affecter à xu la valeur (xB - xA) Affecter à yu la valeur (yB - yA) Affecter à xv la valeur (xC - xD) Affecter à yv la valeur (yC - yD) Sortie Si xU = xV et yU = yV Alors afficher ABCD est un parallélogramme Sinon afficher ABCD n'est pas un parallélogramme Cet algorithme est-il valide ?

On connaît les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère ABCD. Exemple 3 On connaît les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère ABCD. Quelle est la nature de ce quadrilatère ? Scratch (quadrilatère) Algobox(quadrilatère) Un autre prolongement pourrait être le cas où le quadrilatère n’est pas nommé.

Exercices possibles dans différentes parties du programme Exemples

Langage Scratch Les variables a, b, c, d sont définies à l’aide des curseurs. Le programme tient en une ligne.

Langage Scratch version 2 On utilise l’interface graphique pour montrer le déplacement en plus du calcul de la distance.

Langage Scratch version 3 Utilisation de scratch avec davantage de fonctionnalités : deux programmes en parallèles, choix du deuxième point à la souris, calcul de la distance…