HISTOIRE DES ARTS ET MATHEMATIQUES Mercredi 08 février 2012 Georges POIROUT C.P. Histoire-Géographie

RAPPEL DU CADRE INSTITUTIONNEL - Un enseignement qui concerne toutes les disciplines autour des enseignements artistiques et de l'histoire. - Cadre : les périodes historiques étudiées en cours d'histoire à chacun des niveaux. - Six grands domaines artistiques :  Arts de l'espace : architecture, arts des jardins ; Arts du langage : littérature (récit, poésie) ; Arts du quotidien : design, objets d'art ; Arts du son : musique (instrumentale, vocale) ; Arts du spectacle vivant : théâtre, danse, cirque, marionnettes ; Arts du visuel : arts plastiques, cinéma, photographie. - Type d'œuvres d'art : patrimoniales et contemporaines, savantes et populaires, nationales et internationales.

Inscrire les Mathématiques dans l’Histoire des Arts : PAR LA GEOMETRIE PAR LE CALCUL CONSTRUIRE : • Les proportions en architecture • La perspective en peinture • Les mappemondes QUOI CALCULER ? • Proportions, puissance, finances… POURQUOI CALCULER ? • Mesurer et ordonner le monde. DECONSTRUIRE : • Cubisme • Camouflage Nombre d’or COMMENT CALCULER ? • Abaque et machine à calculer. • Système décimal et autres systèmes. REPRESENTER L’IMPOSSIBLE : • Escaliers sans fin / logo Renault

NOMBRE D’OR ET MUSIQUE  BACH : Fugue n° 11 en FA Majeur du Clavier bien tempéré BWV 856. Utilisation du nombre d’or qui est exploité pour ses capacités « d’impression d’équilibre ». Bach l’emploie pour structurer ses œuvres. Dans cette pièce, on peut entendre comme une fin de période à la mesure 45, avec une cadence en ré mineur. Si on divise la totalité du morceau qui est égal à 72 mesures par 45, on obtient 1.6, soit le nombre d’or. Mais encore, divisons 45 par 27, 27 étant le nombre de mesures de cette suspension jusqu’à la fin du morceau, on obtient aussi le nombre d’or. BARTÓK : Musique pour cordes percussions et célesta SZ. 106. On trouve un autre exemple d’utilisation du nombre d’or dans Musique pour orchestre à cordes, percussion et célesta de Bela Bartók, au XXe siècle. Le xylophone commence seul une suite de rythmes. Bartók utilise au début du 3e mouvement une suite de notes. D’abord il fait entendre 3 fois une note puis 2 croches puis un triolet puis 5 notes plus rapides et enfin 8 triples croches. Puis il repart à l’envers : 5 3 2 1 et encore 1. On a donc l’impression d’une accélération puis d’une décélération. C’est la représentation de la suite de Fibonacci.

MATHEMATIQUES ET MUSIQUE SIGNATURE MUSICALE ET NUMERIQUE L’EXEMPLE DE J.-S. BACH

BACH, Magnificat BWV 243 Cette œuvre est composée de onze mouvements. Cependant, à l’écoute de l’œuvre entière, on en entend nettement quatorze. A l’intérieur de certains mouvements, il y a des changements importants de vitesse (de tempo) ou le passage d’un soliste au chœur, ce qui nous donne l’impression d’avoir plusieurs parties. 14 est la signature numérique de Bach. Car, dans l’alphabet : B = 2, A = 1, C = 3 et H = 8 ; le tout forme BACH. Or, 2 + 1 + 3 + 8 = 14. BACH : Prélude et fugue n°1 du Clavier bien tempéré BWV 846a Ce prélude, habituellement suivi d’une fugue, est composé de 549 notes, la fugue de 734. Le total des notes est donc de 1283. On retrouve la correspondance numérique de ses lettres : BACH = 2138. Et 1+2+3+8 = 14, une fois de plus. Tout est régi par le nombre 14 dans cette fugue : le nombre de notes du thème, les entrées, les répétitions. Dans J.-S. BACH. J vaut 9 (en allemand le i et le j comptent pour 1) et S vaut 18, on obtient un total de 9 + 1 8 + 1 4 = 41. Si on inverse 41, on obtient 14. L’intégralité de son prénom : Jean-Sébastien = 144 (14 est présent dans les deux premiers chiffres de ce nombre) et J.-S. BACH qui vaut 41, on obtient par l’addition de ces nombres 185. Et, 1 + 8 + 5 = 14.

 BACH : Fugue 14 de L’art de la fugue BWV 1080. Dans la fugue 14 de l’Art de la fugue, Bach utilise ces deux façons de se rendre hommage : mélodiquement et numériquement. Les allemands, au lieu d’utiliser do, ré, mi, fa, sol... pour désigner les notes, utilisent des lettres. La lettre A pour la note la, la lettre B pour la note Sib et ainsi de suite jusqu’au G qui correspond à la note Sol, plus le H pour la note Si bécarre. BACH s’écrit donc musicalement Sib/La/Do/Si bécarre. Dans cette fugue inachevée, il y a 238 mesures et une incomplète. Donc 2 + 3 + 8 + 1= 14, mais pas avec n’importe quels chiffres, avec les chiffres qui correspondent à son nom 2B, 3C, 8H et enfin 1A. On entend aussi à la mesure 194 (1 + 9 + 4 = 14) la signature mélodique Sib/La/Do/Si bécarre et il n’y a qu’une seule voix présente à ce moment. Cette signature est répétée 14 fois.

LA VALEUR SYMBOLIQUE DES CHIFFRES LE 7 ET LE 12

BACH : Cantate IV Christ lag in Todesbanden BWV 4. Dans cette cantate, le nombre 7 est omniprésent. En effet, mis à part l’introduction instrumentale appelée sinfonia, elle est composée de 7 parties appelées versus. Dans chaque partie ou versus le nombre de voix est différent. Dans les trois premiers versus, nous pouvons observer que le nombre de voix est égal à 7. Le versus I est chanté à 4 voix, le versus II est chanté à 2 voix et le versus III est chanté à 1 voix. Dans les trois derniers versus, le nombre de voix est, là aussi, égal à 7. Le versus V est chanté à 1 voix, le versus VI est chanté à 2 voix et le versus VII est chanté à 4 voix. Enfin on peut dire que le versus IV est l’axe de symétrie de ces deux ensembles de versus, car de part et d’autre de ce versus, le nombre de voix est égal à 7. Le nombre 7 symbolise le rassemblement de la Terre et du Ciel. Le ciel est représenté par le nombre 3, symbole de la Trinité et la Terre par le 4 : 4 points cardinaux, 4 saisons... La cantate IV, est une cantate pascale ; elle est jouée le jour de la Résurrection de Jésus-Christ. Elle souligne donc qu’en Jésus-Christ, il y a une part de terrestre symbolisée par le nombre 4 et une part de céleste symbolisée par le nombre 3.

Le nombre 12 évoque une idée de cycle, comme pour les 12 mois d’une année qui, une fois finis, recommencent. Il peut aussi évoquer une action finie, une totalité, comme pour les 12 travaux d’Hercule. Nous retrouvons ainsi dans l’œuvre de Bach des mini-cycles de 6, comme par exemple :  6 chorals Schüber  6 partitas pour clavecin  6 sonates pour clavecin et violon  6 suites anglaises  6 suites françaises  6 concertos Brandenbourgeois  6 sonates en trio pour orgue N’omettons pas aussi les 6 Suites pour violoncelle et les 6 Sonates et partitas pour violon. Ces deux ensembles ont été composés durant la même période (1720 environ). Ils forment un grand cycle de 12 pièces.

BACH : Crucifixus de la Messe en Si mineur BWV 232. On trouve ce nombre 12 dans le Crucifixus de la Messe en Si mineur de J.-S. Bach. C’est une passacaille. Son principe est de répéter un thème plusieurs fois dans la partie de basse. Le thème est répété 12 fois plus une fois modifiée en fin de morceau. Les 12 premières fois en mineur et la dernière en Majeur. Ceci n’est pas un hasard. La répétition du thème 12 fois souligne la fin du cycle terrestre de Jésus. La vocation de la dernière présentation est d’annoncer l’espoir de la Résurrection, la venue d’un nouveau cycle, celui de sa vie céleste. D’où la modulation en Majeur qui permet d’enchaîner avec le chœur suivant : Et Resurrexit.

EXEMPLE DE THEMES PAR NIVEAU DE CLASSE AU COLLEGE : 6°- Calculer les proportions idéales : esthétique et perfection divine (nombre d’or). 6°- Les savants grecques. 5°- La figure géométrique dans l’art arabo-musulman. 5°- Un mathématicien au Moyen-Age : Fibonacci. 5°- De l’empirisme à la modélisation mathématique (Léonard de Vinci/Mercator). 4°- Géométrie : mesurer et ordonner (Jardins à la française, architecture classique). 4°- La Révolution : les mathématiques au service d’un nouvel ordre. 4°- De l’abaque aux machines à calculer : pascaline, cylindre liebniz, arithmomètre. 3° - Calcul balistique : du canon aux missile/fusée. 3°- Mathématiques, architecture (Le Corbusier) et arts décoratifs (Vasarély). 3°- 0 et 1 : aux origines de l’informatique.

Géométrie et décor architectural arabo-musulman http://www.clg-vallees-garenne.ac-versailles.fr/Apportcivilisation/picts/apport-science2.jpg

LA CALLIGRAPHIE COUFIQUE GEOMETRIQUE

http://img.over-blog.com/500x562/2/89/06/71/Byzance/Monastere-de-Daphni-Athenes.jpg Eglise de la Daphni XIIe s. mosaïque Christ Pantocrator

La Flagellation du Christ Pierro de la Francesca, 1455 http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Piero_della_Francesca_042.jpg

LE MODULOR DE LE CORBUSIER

Pyramide de Ieoh Ming Pei au Louvre http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Louvre_Museum_Wikimedia_Commons.jpg

Sculptures de Claes Oldenburg http://objetsnonidentifies.blogspot.com/2010/11/fantasia-2.html

Colloque de 1991 Mathématiques et Art sous la direction de Maurice Loi Editions Hermann — 1995 ISBN 2-7056-6254-5 Table des matières à consulter sur : www.ccic-cerisy.asso.fr/mathartTM95.html