MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-troisième cours ACT2025 - Cours 23

Rappel: Formule basique du prix d’une obligation ACT2025 - Cours 23

Rappel: Formule basique du prix d’une obligation Formule prime/escompte du prix d’une obligation ACT2025 - Cours 23

Rappel: Formule basique du prix d’une obligation Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation ACT2025 - Cours 23

Rappel: Formule basique du prix d’une obligation Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation Formule de Makeham du prix d’une obligation ACT2025 - Cours 23

Rappel: Formule basique du prix d’une obligation Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation Formule de Makeham du prix d’une obligation Valeur comptable d’une obligation ACT2025 - Cours 23

Rappel: Formule basique du prix d’une obligation Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation Formule de Makeham du prix d’une obligation Valeur comptable d’une obligation Amortissement d’une obligation ACT2025 - Cours 23

La formule basique pour le prix d’une obligation est Rappel: La formule basique pour le prix d’une obligation est ACT2025 - Cours 23

La formule prime/escompte pour le prix d’une obligation est Rappel: La formule prime/escompte pour le prix d’une obligation est ACT2025 - Cours 23

La formule du montant de base pour le prix d’une obligation est Rappel: La formule du montant de base pour le prix d’une obligation est ACT2025 - Cours 23

La formule de Makeham pour le prix d’une obligation est Rappel: La formule de Makeham pour le prix d’une obligation est ACT2025 - Cours 23

Rappel: Si P > C, nous disons que l’obligation est vendue à prime. Si P < C, alors nous disons que l’obligation est vendue à escompte. ACT2025 - Cours 23

Rappel: la valeur comptable de l’obligation après le versement du ke coupon sera notée par Bk la portion d’intérêt du ke coupon sera notée par Ik l’ajustement à être apporté à la valeur comptable de l’obligation dans le ke coupon sera notée Pk ACT2025 - Cours 23

Si l’obligation a n versements de coupon, alors Rappel: Si l’obligation a n versements de coupon, alors B0 = P et Bn = C . ACT2025 - Cours 23

Rappel: La valeur comptable Bk immédiatement après le ke coupon est obtenue en utilisant une des formules (formule basique ou encore formule prime/escompte ou les deux autres) du prix de l’obligation au taux de rendement i obtenu lors de l’achat de l’obligation. Il faut considérer la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur de remboursement. ACT2025 - Cours 23

Rappel: La portion d’intérêt Ik du ke coupon est iB(k- 1) . C’est ce que doit nous rapporter l’obligation pour une période au taux i. L’ajustement Pk à apporter à la valeur comptable dans le ke coupon est Pk = Fr - Ik . Nous avons Bk = Bk-1 - Pk . ACT2025 - Cours 23

Considérons maintenant la table d’amortissement d’une obligation dont la valeur de remboursement C = 1 dollar et les montants des coupons sont égaux. Par la définition de taux modifié d’intérêt, les coupons sont au montant de g dollars. Le prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif. ACT2025 - Cours 23

À cause de la formule prime/escompte, nous avons où i est le taux de rendement . ACT2025 - Cours 23

Mais nous aurions aussi pu utiliser la formule basique et obtenir où i est le taux de rendement . ACT2025 - Cours 23

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Exemple 1: Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 6% par année. Déterminons son prix et sa table d’amortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = 50$ à chaque année. ACT2025 - Cours 23

En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Exemple 1: (suite) En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Cette obligation est achetée à escompte, car son prix P = 1010.68 est inférieur à sa valeur de remboursement C = 1100. ACT2025 - Cours 23

Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk 1010.68 1 50 60.6408 -10.6408 1021.32 2 61.2792 -11.2792 1032.60 3 61.956 -11.956 1044.56 4 62.6736 -12.6736 1057.23 5 63.4338 -13.4338 1070.66 6 64.2396 -14.2396 1084.90 7 65.094 -15.094 1099.99 ACT2025 - Cours 23

Dans l’exemple précédent, si nous voulons calculer la valeur comptable B4, nous utilisons la formule basique et obtenons puisqu’il reste 3 périodes de capitalisation et 3 coupons de 50$ . Donc ACT2025 - Cours 23

Nous aurions aussi pu calculer cette valeur comptable B4, rétrospectivement. Dans ce cas nous utilisons la valeur accumulée du prix au taux de rendement à la date du 4e coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des coupons versés à la même date, à savoir celle du 4e coupon. Il faut inclure le 4e coupon. Donc ACT2025 - Cours 23

Exemple 2: Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 4% par année. Déterminons son prix et sa table d’amortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = 50$ à chaque année. ACT2025 - Cours 23

En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Exemple 2: (suite) En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Cette obligation est achetée à prime, car son prix P = 1136.01 est supérieur à sa valeur de remboursement C = 1100. ACT2025 - Cours 23

Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk 1136.01 1 50 45.4404 4.5596 1131.45 2 45.258 4.742 1126.71 3 45.0684 4.9316 1121.78 4 44.8712 5.1288 1116.65 5 44.666 5.334 1111.32 6 44.4528 5.5472 1105.77 7 44.2308 5.7692 1100.00 ACT2025 - Cours 23

Ainsi nous avons deux approches pour calculer la valeur comptable Bk d’une obligation: prospectivement ou encore rétrospectivement. ACT2025 - Cours 23

Prospectivement il suffit d’utiliser une des formules du prix pour calculer la somme des valeurs actuelles des (n - k) coupons non versés et la valeur actuelle de la valeur de remboursement pour (n - k) périodes de capitalisation. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de l’achat ACT2025 - Cours 23

Rétrospectivement il suffit de calculer la valeur accumulée du prix d’achat P de l’obligation après le ke coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des k premiers coupons. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de l’achat ACT2025 - Cours 23

Exemple 3: Reprenons l’exemple 1 du 22e cours. Considérons une obligation dont la valeur nominale est 75000$ d’une durée de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée semestriellement et qui sera remboursé à 78000$ si cette obligation est achetée pour que le taux de rendement soit 10% par année capitalisé semestriellement. ACT2025 - Cours 23

Exemple 3: (suite) Avec nos notations précédentes, nous avons F = 75000$ C = 78000$ r = 8%/2 = 4% par semestre n = 15 x 2 = 30 semestres i = 10%/2 = 5% par semestre Nous avons aussi calculé le prix P = 64164.79$ ACT2025 - Cours 23

Exemple 3: (suite) Déterminons la valeur comptable B17 immédiatement après le 17e coupon, la portion d’intérêt I18 de la 18e période et l’ajustement à apporter P18 à la valeur comptable au 18e coupon. ACT2025 - Cours 23

Prospectivement nous obtenons que Exemple 3: (suite) Prospectivement nous obtenons que Rétrospectivement nous obtenons que ACT2025 - Cours 23

La portion d’intérêt I18 de la 18e période est Exemple 3: (suite) La portion d’intérêt I18 de la 18e période est L’ajustement P18 à apporter à la valeur comptable est ACT2025 - Cours 23

Exemple 3: (suite) Conséquemment la valeur comptable à la fin de la 18e période est B18 = B17 - P18 = 69545.78 - (-477.29) = 70023.07. Nous pourrions vérifier aussi ceci. Prospectivement ou encore rétrospectivement ACT2025 - Cours 23

Lorsque les coupons de l’obligation sont égaux, nous pouvons remarquer que les ajustements Pk de la valeur comptable forment une suite géométrique de raison (1 + i). ACT2025 - Cours 23

L’amortissement est tout à fait similaire à ce qui se produit pour l’amortissement des prêts. Lorsque les coupons sont égaux pour l’obligation et que les paiements sont égaux pour le prêt. La valeur comptable de l’obligation au ke coupon est similaire au solde restant du prêt après le ke paiement. La portion d’intérêt de la ke période pour l’obligation correspond à la portion d’intérêt du ke paiement. ACT2025 - Cours 23

Finalement l’ajustement pour l’obligation est similaire à la portion de principal. Cependant pour l’obligation, l’ajustement peut être négatif ou positif; alors que la portion de principal pour les prêts est toujours positive. ACT2025 - Cours 23

Nous avons décrit jusqu’à maintenant la méthode actuarielle pour la construction de la table d’amortissement de l’obligation. Il existe une seconde méthode beaucoup plus simple: la méthode linéaire. ACT2025 - Cours 23

Dans la méthode linéaire, l’ajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à s’il y a n coupons. La portion d’intérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - Pk = Fr - [(P-C)/n]. ACT2025 - Cours 23

Exemple 4: Reprenons l’exemple 1. Cette obligation est achetée au prix de 1010.68 pour un taux de rendement de 6% par année. Le coupon est de 50$ à chaque année et sa valeur de remboursement est 1100. Dans ce cas, l’ajustement sera toujours (1010.68 - 1100)/7 = -12.76$ La table d’amortissement est alors ACT2025 - Cours 23

Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk 1010.68 1 50 62.76 - 12.76 1023.44 2 1036.20 3 1048.96 4 1061.72 5 1074.48 6 1087.24 7 1100.00 ACT2025 - Cours 23

Nous allons maintenant considérer le prix d’une obligation entre des paiements de coupon. Avant d’analyser plus en détail ceci, nous allons illustrer ce prix en faisant l’hypothèse que le taux de rendement demeure constant pour toute la durée de vie de l’obligation. ACT2025 - Cours 23

Considérons le prix P(x) d’une obligation au moment x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, d’une durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8. ACT2025 - Cours 23

Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant: Alors P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Nous obtenons donc que Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant: ACT2025 - Cours 23

ACT2025 - Cours 23

Notons qu’il y a un saut à chaque x égal à un entier et il est égal à -4. En effet, ACT2025 - Cours 23

À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme (« flat price ») et le prix du marché (« market price ») ou encore la valeur comptable de l’obligation. ACT2025 - Cours 23