Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Le calcul mental automatisé ou réfléchi 2 aspects du calcul mental. Définir le calcul automatisé Définir le calcul réfléchi La programmation des apprentissages doit permettre des passerelles vers l‘automatisation afin d‘assurer une plus grande efficacité et l‘accès à des procédures expertes. Pourquoi définir ces 2 approches ? De la même façon que l’apprentissage de la lecture distingue des compétences relevant de la reconnaissance immédiate de mots, de la mémorisation (mots outils, mots les plus fréquents) compréhension des textes lus et du décodage de mots, le calcul distingue des moments où on construit des stratégies de calculs, où on compare l’efficacité de procédures et d’autres moments où on stocke durablement des faits mathématiques. Se priver d’un accès au calcul automatisé c’est sans cesse reconstruire des procédures coûteuses qui détournent l’élève de la complexité du raisonnement. Automatiser c’est aussi acquérir suffisamment de confiance par la rencontre fréquente de faits mathématiques qui exemptent d’une re-vérification. Un exemple : je mémorise que 25x8=200 parce que j’ai une véritable expérience de 25x4=100 et des doubles ou d’une stratégie équivalente. En revanche si je n’ai pas automatisé, je vais poser l’opération. Les programmes insistent donc largement sur les enjeux des calculs mémorisés, automatisés, mais aussi sur l’utilité de construire, confronter des stratégies de calcul, en revanche, l’institutionnalisation de procédure est beaucoup moins affirmée. On n’enseigne pas de manière explicite les petits « trucs » qui constituent les stratégies de chacun pour un meilleur accès à un calcul rapide. Exemples : règle de multiplication par 11, ajout ou retrait de 9, 19, 29… Les documents d’accompagnement aux programmes déclinent avec précision les calculs mentaux qui relèvent du calcul automatisé ou réfléchi selon quelle progression. Le calcul réfléchi se heurte aussi à d’autres résistances : Il repose sur les capacités des élèves à sentir les nombres, à avoir construit une intimité avec le nombre, identifié des régularités. Il suppose l’existence simultanée et parallèles de procédures valides mais inégalement efficaces chez les élèves Mais surtout l’inhibition de procédures de bas niveau pour accéder à une efficacité plus grande et plus tard une automatisation. Enfin, pour l’enseignant, enseigner le calcul mental, c’est proposer distinctement et explicitement ces 2 approches aux élèves. Un exemple au cycle 2. Les dés tombent sur 6 et 5 L’élève dénombre un à un tous les points. L’élève reconnaît la constellation du 6, annonce 6 puis surcompte 7, 8, 9, 10, 11. L’élève mobilise sa connaissance des doubles 5 et 5 ça fait 10 alors 6 et 5 c’est un de plus donc 11 ou 6 et 6 ça fait 12 alors 6 et 5 c’est un de moins donc 11 L’élève passe par le complément à 10, il sait que le complément à 6 est 4 pour aller à 10, il utilise la décomposition (6 + 4)+1 L’élève répond instantanément 11 Les élèves connaissent en fait toutes ces procédures mais restent parfois bloqués sur des gestes mathématiques où ils comptent un à un, 6 doigts puis en ajoutent 5 en surcomptant. Se pose alors le problème pour l’enseignant du repérage de ces procédures coûteuses, de la manifestation des procédures personnelles et de l’incitation à utiliser des procédures plus expertes. On peut observer même chez des adultes des procédures de calcul non automatisés et qui reposent sur des stratégies construites en GS. Possibilité de présenter la vidéo de Cachin2 Exemple d’une élève qui ne connaît pas la table de 4 mais qui reconstruit à partir de la table de 2 systématiquement. Division posée simple entièrement effectuée par retraits successifs… Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser Ce qu’il faut être capable de reconstruire Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud De quoi parle-t-on ? Calcul mémorisé, automatisé, calcul rapide Connaître les tables Automatiser les calculs simples Mémoriser certains résultats pour faciliter la mise en place des techniques de calcul N’exclut pas le recours à l’écrit Se différencie des techniques écrites Est commun à tous les individus Il y a calcul automatisé chaque fois que nous faisons simplement appel à un résultat déjà mémorisé. Ex : nous savons que 3 x 7 = 21 sans avoir à réfléchir. Ce calcul est exécuté rapidement par réflexe. Le calcul automatisé est impersonnel, il est conduit de la même façon par tous les individus. Il y a également calcul automatisé quand nous nous limitons à utiliser un algorithme (ensemble de règles dont l'application permet d'effectuer une opération plus ou moins complexe) parfaitement mémorisé. Connaître les tables Il s’agit des tables de multiplication mais aussi d’addition Une progression est prévue dans les programmes 2008 à partir du CE1 (2, 3, 4, 5) Le reste au CE2 et un renforcement par la suite. Comment consolider les connaissances des élèves dans l’apprentissage des tables : Vidéo « la table de Pythagore » Automatiser les calculs simples Ajouter ou retrancher 1 c’est dire le nombre d’avant ou d’après Multiplier par 10, 100, 1000 Mémoriser certains résultats pour faciliter la mise en place des techniques de calcul Il s’agit par exemple d’automatiser des calculs du type 20+7 ou 40+20 Rapprocher 48 de la division de 50 par 8 Nous verrons plus loin quelques repères pour le C2&3 par rapport au 4 opérations sur ce qui doit être automatisé ou réfléchi. Le recours à l’écrit ne signifie pas opération posée mais facilite l’accès à la mémoire de travail, pour ne pas perdre le résultat d’un calcul intermédiaire. Les techniques écrites enseignées trop tôt conduisent l’élève à se réfugier dans les opérations posées. On verra par exemple des additions posées du type 5+4 ou 12+7 On n’additionne jamais un nombre à un chiffre en posant On pose seulement quand on ne peut résoudre mentalement. Enfin le calcul posé s’oppose au calcul mental par le sens du traitement droite/gauche pour +, x, - posés mais gauche/droite pour le calcul mental. Ceci s’explique par la mobilisation de la numération orale et le recours au calcul approché. Exemple : 350 + 250, le compte mentalement les « cents » il y en a 5 c’est un calcul approché puis je traite les deux 50. Certains élèves posent l’opération dans leur tête, ce qui les conduit à dire 0+0 ça fait 0, 5+5 ça fait 10… Autre exemple proposé par Butlen. Décompter de 5 en 5 à partir de 102. A l’écrit, l’élève s’appuis sur une alternance de 2 et de 7 pour automatiser son décompte, il diminue les dizaines de 1 tous les 2 coups. En revanche à l’oral, sans trace écrite, les procédures sont beaucoup plus complexes et les erreurs plus fréquentes. Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud De quoi parle-t-on ? Calcul, pensé, réfléchi Élaborer des procédures adaptées aux calculs proposés. Apprendre à s’appuyer sur des résultats mémorisés. Il y a calcul réfléchi chaque fois que nous avons à élaborer une procédure spécifique pour un calcul donné. Nous devons prendre pour cela des décisions personnelles. Ex : pour calculer 43 + 19 : - nous pouvons décider d'ajouter 40 + 10 d'une part puis 3 + 9 de l'autre et ensuite ajouter les deux résultats partiels obtenus. - mais nous pouvons aussi décider d'ajouter 10 + 43 puis 9 à 53. - ou alors ajouter 20 + 43 puis enlever 1, etc. Plusieurs procédures sont possibles. Un autre exemple : pour calculer 23 x 4 : - nous pouvons faire 20 x 4 puis 3 x 4 et ajouter les résultats partiels. - mais nous pouvons aussi nous appuyer sur 25 x 4 (connu comme égal à 100) et enlever 8 à ce nombre. - ou alors doubler deux fois le nombre 23 (46 puis 92) en utilisant le fait que 4 = 2 x 2, etc. Le calcul réfléchi est très personnel. Un même calcul peut être conduit en utilisant des procédures différentes selon les individus (notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations). Il nécessite plus d'effort que le calcul automatisé, le temps et la charge mentale sont donc plus importants. Proposer aux stagiaires de calculer 32x25 Voir les stratégies 32x25= 30x25 et 2x25 32x25= 8x4x25 32x25= 10x25 + 10x25 + 10x25 + 2x25 32x25=40x25 – 8x25 … Calculer mentalement (calcul réfléchi) c‘est donc : Estimer le calcul proposé et choisir qu‘on peut aboutir sans recourir à l‘opération posée ou à un outil de calcul. Mobiliser une stratégie connue, commutativité, distributivité, décomposition… Transformer les valeurs en nombres qui nous arrangent Garder des étapes intermédiaires en mémoire S’autoriser à des choix, s’assurer de la fiabilité de ses procédures Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Calcul automatisé / calcul réfléchi Les nombres sont remplacés par les lettres de l'alphabet A vaut 1, B vaut 2… On doit effectuer E + D Une procédure automatisée conduirait à répondre instantanément E + D = I Une procédure réfléchie conduirait à utiliser les doigts A,B,C,D,E A,B,C,D,E,F,G,H,I Vivre une situation de calcul automatisé et réfléchi A,B,C,D Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud 4

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Ou à l'aide de la suite numérique E, c'est 5 D, c'est 4 Donc E + D c'est 9 Et 9 c'est I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E F G H I J Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud 5

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Il faut distinguer 3 périodes distinctes pour le calcul mental à l‘école : Un longue période jusqu‘aux années 70 où le calcul permet de se débrouiller et de résoudre les situations de la vie quotidienne. La scolarité s‘arrête alors au certificat d‘étude. Il s‘agit dans une France agricole d‘assurer la résolution de problèmes mobilisant les 4 opérations par un entraînement intensif à des situations répétitives. Les mécanismes sont enseignés mais le sens des opérations et la compréhension des techniques absentes. Dans les années 70, la perspective du collège pour tous détourne le calcul des réalités du quotidien, il s‘agit de s‘inscrire dans la perspective du collège en privilégiant l‘abstraction. Même si le calcul mental n‘est pas absent des programmes, les pratiques rendent la mémorisation beaucoup plus aléatoires. Le lien avec la vie courante n‘est plus du tout prioritaire. L‘enjeu social réaffirmé dans les programmes de 2002 rappelle les enjeux de l‘école du milieu du Xxème siècle : l‘école prépare à la vie active. obstacles : Comment l‘école peut-elle assurer la rencontre de situations de vie courante avec les mathématiques ? Les programmes permettent-ils de mettre en valeur ce lien entre mathématiques et réalité sociale ? Le calcul instrumenté (calculette, tableur, affichages électroniques) rend le calcul mental beaucoup moins nécessaire. Dans les faits, ce lien semble peu présent et peu explicite pour les élèves. Les situations de jeux donnent des opportunités réelles mais on pourrait en trouver d‘autres : Le nombre est un outil de datation : nous datons La naissance, la mort, les évènements quotidiens, Les rendez-vous, les limites de consommation (date de péremption) Le nombre comme outil de quantification : nous dénombrons Les populations, le temps, le coût, le poids, la taille, la longueur, l'âge, le nombre de cartes à jouer par personne dans un jeu de cartes, le nombre de prises de médicaments par jour, le volume (recette de cuisine), les distances kilométriques En EPS, mesurer un parcours, compter sur plusieurs tours, comparer des performances mesurées Enjeux technologiques, constructions… A ce titre les manuels, même s’ils prennent en compte les réalités culturels de l’élève du XXIème siècle, ont du mal à proposer des pistes pour ancrer les mathématiques dans la vie réelle. Rendre les mathématiques plus pratiques, créer des liens avec la vie quotidienne est un véritable enjeu, à la fois pour rendre l’élève acteur dans le monde qui l’entoure mais aussi pour donner du sens aux mathématiques. La place de la calculatrice se définit dans une hiérarchie d'utilisation des moyens de calculs liés à la complexité du calcul demandé. Des calculs simples : mentalement Des calculs où les nombres ne permettent pas une gestion mentale : posé Des calculs complexes et nombreux : calculette 2 points de vigilance incontournables à ne pas perdre de vue : le calcul approché, la disponibilité du calcul mémorisé. Souligner le peu d’importance donné au calcul approché à l’école. Initier à l'estimation d'un résultat. Dès le milieu du CP, l'élève peut commencer à anticiper sur le résultat du calcul, il ne peut à se moment de sa scolarité se réfugier dans la technique posée. Quelques pistes : choisir le résultat le plus probable QCM Faire des paris sur le résultat Résoudre des problèmes sans calculer, comme acheter 4 articles à moins de 10€ et se demander si avec 40€ on aura assez. On n'hésitera pas à proposer des formulations du type : « ça fait à peu près combien. » On attendra des prises d'initiative du type 42 c'est un peu plus de 40, 38 c'est un peu moins que 40... Prenons un problème simple du type : Je vaux acheter un téléviseur à 545€ et une machine à laver à 510€. J'ai 1000€, est-ce que j'ai assez d'argent. Le calcul approché permettra d'accéder à la bonne réponse avant d'effectuer le calcul posé, ce qui constitue un avantage certain dans la résolution de problème. Cette habitude d'estimation du résultat peut paraître lourde, les élèves auront sans douté l'impression de répondre au hasard. Les progrès lents mais déterminants permettront aux élèves d'habiles calculateurs. Une absence de progrès dans l'estimation des résultats est révélatrice d'une incompréhension dans la structuration du nombre. On peut s'attendre au CE1 à ce que 29x3 soit estimé comme presque 90 Et plus tard, 29,3 : 3 c'est moins que 10. Insérer vidéo CP le jungle speed compléments à 10 Les enjeux Enjeu social Une bonne maîtrise du calcul mental est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne La calculette ne doit pas être systématiquement mobilisée Le calcul approché est un bon moyen de contrôle La disponibilité de calculs mémorisés est nécessaire Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Les enjeux Enjeu scolaire le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2 (programmes 2008) Le calcul mental est déterminant dans la compréhension des notions mathématiques Aide à la structuration du nombre (décomposition) Assure la compréhension des opérations et de leurs propriétés Assure le maniement des notions mathématiques complexes (proportionnalité, fractions, entiers relatifs) Développe les capacités de raisonnement, l’expression de choix Aide à la résolution de problèmes (par l’emploi de nombres plus petits par exemple) Sur chacun des 5 points, un éclaicissement : 1. Le calcul structure le nombre (BRISSIAUD) les albums à calculer. La décomposition du nombre en somme ou en somme de produits. 2. La compréhension des opérations : casser la dizaine dans la soustraction, 23 – 5 donne 10 + (10 +3) – 5 soit 10 + (13 -5) soit 10 +8 Ou la distrutivité : 5 x 23 c‘est 5 x (20 + 3) = (5x20) + (5x3) = 100 +15 Entiers relatifs (calcul mental sur le jeu de l‘autobus) Raisonnement : encore le jeu de l‘autobus BUTLEN ROUSSIES Revenir sur l‘évaluation CM2 2009 avec les tours de cours. Le tour de la cour de l’école mesure 165 m. Pendant la récréation, Dimitri, Antoine et Fadila font 5 fois le tour de la cour en courant. Calcule la distance parcourue par Dimitri à la fin de la récréation. Si on ramène le problème en changeant 165 en 100, le problème traité mentalement générera moins d'erreurs de calculs mais aussi une plus grande initiative dans le choix de l'opération. Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Les conditions de la mémorisation Deux organisations pédagogiques possibles : Des moments d’entaînement et de contrôle de la mémoire En collectif (Lamartinière) / petits groupes (supports écrits différenciés) Sur des séances courtes Avec des objectifs de fiabilité et de rapidité Une correction immédiate Des moments de calcul réfléchi En collectif Sur des séances plus longues Avec une phase de recherche et d‘échange En autorisant les solutions personnelles En synthétisant les stratégies disponibles par écrit Vers une systématisation et un entraînement des procédures Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Les conditions de la mémorisation Des points de vigilance Un contraste important pour les élèves face aux apprentissages en calcul Un apprentissage dans la durée Un constant transfert du calcul réfléchi vers le calcul automatisé La nécessité de construire et déconstruire des procédures La construction d‘outils permettant de piloter ses apprentissages La mobilisation de la mémoire de travail et de la mémoire à long terme Un contraste important pour les élèves face aux apprentissages en calcul Video Croix Duny maternelle, les doubles Un apprentissage dans la durée Un constant transfert du calcul réfléchi vers le calcul automatisé Prendre un exemple : On imagine bien que pour calculer 7+8=15 au cycle 2, l’élève passera par des stratégies multiples : Doubles 7+7+1 ou 8+8-1 7+3+5; 8+2 +5, pourquoi pas 5+5 et 2+3 Voire du surcomptage, les doigts, le dessin de 15 bâtons… Il est clair que l’élève qui n’aura pas automatisé ce type de calcul rencontrera de sérieuses difficultés ultérieurement. La nécessité de construire et déconstruire des procédures C’est le principal obstacle pour les élèves les plus fragiles. C’est tellement difficile de s’installer dans une stratégie qui marche, que l’abandonner au profit d’une autre est beaucoup trop coûteux. L’enseignante préfère d’ailleurs parfois sécuriser l’élève pour ne pas l’embrouiller. C’est ainsi qu’en fin de C3 on rencontre des élèves qui surcomptent, utilisent les doigts. Il s’agit donc de créer des conditions de progrès liées à la taille des nombres, à la nécessité d’aller plus vite. La construction d‘outils permettant de piloter ses apprentissages Feuille de progrès des produits et tables connus et automatisées La mobilisation de la mémoire de travail et de la mémoire à long terme Faire travailler sa mémoire de travail : vidéo Ferry sur la mémorisation Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Des stratégies favorables à la mobilité mentale et à la construction de procédures Construire et mobiliser différentes représentations du nombre Utiliser le surcomptage Passer par le « 5 » pour appréhender les nombres entre 5 et 10 Passer par la dizaine supérieure Repérer les fréquences dans la suite des nombres Pour apprendre les tables de multiplication, compter de n en n Prendre appui sur les doubles mémorisés, les carrés Conscientiser la préférence dans la commutativité Varier les formulations d’un même calcul Construire et mobiliser différentes représentations du nombre Constellation, cartes à points, doigts, boîtes de 10… Utiliser le surcomptage En GS, référence à la video de Cachin2 mais à abandonner ensuite Passer par le « 5 » pour appréhender les nombres entre 5 et 10 Passer par la dizaine supérieure 5+8 c’est 5+5+3 Repérer les fréquences dans la suite des nombres Stabilité de la dizaine, de la centaine, récurrence de l’unité Pour apprendre les tables de multiplication, compter de n en n Savoir dire 5, 10, 15, 20, 25… favorise la connaissance de la table de 5 Prendre appui sur les doubles mémorisés, les carrés Les doubles pour additionner, les carrés pour prendre des repères dans la table de Pythagore (les nombres les plus facilement mémorisés) Conscientiser la préférence dans la commutativité Faciliter la mémorisation des tables en remarquant la diagonale de la table et la commutativité dans le calcul (attention pas dans le sens de l’opération) Il y a préférence entre 6x4 et 4x6 Varier les formulations d’un même calcul Dire 6x8 ou 8x6, par combien faut-il multiplier 6 pour obtenir 48, Combien de fois 8 y a-t-il dans 48… Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud

Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Le Calcul à l’école primaire 14/04/2010 _ Argenteuil Sud Le calcul mental _ février 2010 ARGENTEUIL SUD Programmer les apprentissages Addition Soustraction Ce qui relève du calcul automatisé Multiplication Division Cycle 2&3 Addition Soustraction Ce qui relève du calcul réfléchi Multiplication Division Conférence mathématiques "le calcul à l'école primaire" 14/04/2010_Argenteuil Sud