M. YAMANAKA – Cours de mathématiques. Classe de 4ème. Triangle rectangle et Théorème de Pythagore. Théorème et réciproque, applications et utilisation pour démontrer. M. YAMANAKA – Cours de mathématiques. Classe de 4ème.

Cahier de cours Chapitre 4 – Triangle rectangle et Théorème de Pythagore. Info : voir dans le manuel pages 157 à 178 (chapitre 9). Objectifs : Reconnaître si un triangle est rectangle ou s’il ne l’est pas quand on connaît la longueur de ses trois côtés. Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand on connaît les longueurs des deux autres côtés.

Cahier de cours 1 – Le théorème de Pythagore Définition et propriété (admis) : Dans un triangle rectangle, le plus grand côté est celui qui est opposé à l’angle droit. C’est l’hypoténuse du triangle rectangle. hypoténuse

Cahier de cours Théorème de Pythagore (admis) – énoncé 1 Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Théorème de Pythagore (admis) – énoncé 2 Si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴 alors : 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2

Cahier de cours Remarque : pour trouver un nombre positif dont on connaît le carré, on utilise la touche de la calculatrice. Exemple : si 𝐵𝐶 2 =7 alors 𝐵𝐶= 7 ≈

Cahier de cours C 5 3 A B 4 Exemples : Soit le triangle ABC, rectangle en A : Quelle égalité est donnée par le théorème de Pythagore ? C 5 3 A B 4

Cahier de cours B 8 cm 4,8 cm C A 6,4 cm Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4,8 cm et AC = 6,4 cm : Calculer BC puis vérifier la vraisemblance du résultat sur le dessin. B 8 cm 4,8 cm C A 6,4 cm

Cahier de cours B 9 cm 5 cm C A 7,5 cm Calculer AB dans le triangle suivant. Donner la valeur arrondi au dixième de cm près. B 9 cm 5 cm C A 7,5 cm

Cahier de cours Réciproque du théorème de Pythagore (admis) – énoncé 1 Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce plus grand côté pour hypoténuse. Réciproque du théorème de Pythagore (admis) – énoncé 2 Si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle et 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 alors 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴.

Cahier de cours Exemple :

Cahier de cours 2 – Démonstrations avec le théorème de Pythagore a) Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle : Exemple : dans le triangle ABC rectangle en B, on donne : AB = 3 cm et AC = 5 cm. Calculer BC. On sait que ABC est rectangle en B, AB = 3 cm et AC = 5 cm. Comme le triangle ABC est rectangle, l’égalité de Pythagore est vérifiée. Donc : 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 5 2 = 3 2 + 𝐵𝐶 2 25=9+ 𝐵𝐶 2 𝐵𝐶 2 =25−9=16 𝐵𝐶= 16 =4 Donc BC = 4 cm.

Cahier de cours b) Montrer qu’un triangle est rectangle : La réciproque du théorème de Pythagore permet de montrer qu'un triangle est rectangle. Exemple : DEF est un triangle tel que DE = 4 cm ; EF = 7,5 cm et DF = 8,5 cm. Montrer que DEF est un triangle rectangle. Le plus grand côté du triangle DEF est [DF]. Le carré de sa longueur est égal à 𝐷𝐹 2 = 8,5 2 =72,25. Les deux autres côtés sont [DE] et [EF]. On a : 𝐷𝐸 2 + 𝐸𝐹 2 = 4 2 + 7,5 2 =16+56,25=72,25. Comme l’égalité de Pythagore est vérifiée, le triangle DEF est rectangle en E.

Cahier de cours c) Montrer qu’un triangle n’est pas rectangle : Exemple : les côtés du triangle ABC ont pour longueurs : AB = 12 cm ; BC = 13,1 cm et AC = 4,9 cm. ABC est-il rectangle ? Le plus grand côté de ABC est [BC]. Le carré de sa longueur est égal à 𝐵𝐶 2 = 13,1 2 =171,61. Les deux autres côtés sont [AB] et [AC]. On a : 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 = 12 2 + 4,9 2 =144+24,01=168,01. Comme la relation de Pythagore n'est pas vérifiée, le triangle ABC n'est pas rectangle.