Géométrie et communication graphique Cours 3: Courbes enveloppes Edouard Rivière-Lorphèvre Edouard.riviere@umons.ac.be

Famille de courbes à un paramètre Ajout d’un paramètre (avec domaine de variation) à une des représentations de courbes L’ensemble des courbes pour les différentes valeurs du paramètre s’appelle une famille de courbes 𝐹 𝑥,𝑦,𝑚 ≡𝑦−𝑚𝑥−2=0 𝐹 𝑥,𝑦,𝑝 ≡𝑦−𝑥−𝑝=0

Exemple d’application Soit une bielle dont les extrémités glissent sur deux glissières E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple y m=tan(-q) p=L.sin q L q x y=mx+p On va tenter de rechercher l’enveloppe des différentes positions de la bielle dans son mouvement Éviter les interférences avec d’autres pièces On est en présence d’une famille de courbes (droite) à un paramètre y=mx+p y m=tan(-q) p=L.sin q 𝑦=− tan 𝜃 .𝑥+𝐿. sin 𝜃 L q 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 ≡ 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃 −𝐿=0 x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Approche graphique Première approche de l’enveloppe: construction de droites de la famille E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Points de l’enveloppe 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃+∆𝜃 =0 Les points de la frontière sont ceux pour lesquels deux courbes successives (infiniment proches) se coupent L’intersection est obtenue en résolvant le système formé par Quand Dq tend vers 0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃+∆𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Enveloppe de famille de courbes Le système peut également s’écrire À la limite quand q tend vers zéro, ce système est équivalent à 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃+∆𝜃 −𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 ∆𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝜕𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 𝜕𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Si on reprend notre exemple, on obtient En éliminant le paramètre entre les deux équations, on peut obtenir l’équation implicite de l’enveloppe E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃= 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 1+ 1 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃= 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 1+ 1 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃= 1 1+ 1 𝑦/𝑥 2/3 = 1 1+ 𝑥 2/3 𝑦 2/3 = 𝑦 2/3 𝑦 2/3 + 𝑥 2/3 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple De même E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 ≡ 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃 −𝐿=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Au final … Courbe enveloppe (astroïde) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme paramétrique de l’enveloppe Obtention de la forme implicite de l’enveloppe pas toujours réalisable Par contre, la forme paramétrique est toujours disponible E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme paramétrique de l’enveloppe Équation paramétrique de l’enveloppe E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme paramétrique de l’enveloppe Equivalence entre les deux approches E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Propriété des points de la courbe enveloppe Les points de la courbe enveloppe sont appelés points caractéristiques Les points de la courbe enveloppe appartiennent aux courbes de la famille Au point de contact courbe – enveloppe, les tangentes sont communes (si le point est un point régulier) 2 types de solution au système d’équation Courbe enveloppe Lieu des points singuliers des courbes 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝜕𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 𝜕𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Rechercher l’enveloppe d’une famille de paraboles semi-cubiques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Première solution  y=5x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Deuxième solution E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

graphique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite 1 (0,0) racine double (point singulier) (5;11,18) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 = 3 𝑥 2 2𝑦 = 0 0 (0,0) racine double (point singulier) (5;11,18)  La droite 1 est le lieu des points singuliers E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite 2 (11,11;37,04) racine double (2,77;-4,62)  La droite 2 est une courbe enveloppe à proprement parler E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite 3 (11,11;-37,04)  La droite 3 est donc à rejeter E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Propriété des points de la courbe enveloppe Les points de la courbe enveloppe sont appelés points caractéristiques Les points de la courbe enveloppe appartiennent aux courbes de la famille Au point de contact courbe – enveloppe, les tangentes sont communes (si le point est un point régulier) 2 types de solution au système d’équation Courbe enveloppe Lieu des points singuliers des courbes 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝜕𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 𝜕𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Famille de courbe avec plusieurs paramètres Exemple: famille d’ellipses dont les mesures des axes sont les projections du rayon d’un cercle E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Enveloppe ? Deux possibilités: Éliminer un des paramètres entre les relations Analyse de la dérivée composée E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Dérivée composée E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Au final Soit une famille de courbe à deux paramètres et une relation entre les deux paramètres La courbe enveloppe est obtenue par l’élimination des paramètres dans le système: 𝐹 𝑥,𝑦,𝛼,𝛽 =0 𝜙 𝛼,𝛽 =0 𝐽= 𝜕𝐹 𝜕𝛼 𝜕𝐹 𝜕𝛽 𝜕𝜙 𝜕𝛼 𝜕𝜙 𝜕𝛽 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Retour à l’exemple Dans (1)  y²=µ² 1 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Enveloppe E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbe donnée par ses équations paramétriques Le principe de calcul est le même: emploi du Jacobien E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple d’application Zone de sécurité dans une carrière: Explosion en un point donné au sol Projection de fragments dans l’espace avec une vitesse initiale de 20 m/s Accélération de la pesanteur 9,81 m/s² Quelle est la forme de l’enveloppe de toutes les trajectoires ? Quelle est la distance de sécurité (pas de rebond) ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Zone de sécurité y 20 m/s x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | représentation courbe |Tangente 1e possibilité y=f(x)  𝑥= 𝑓 1 (𝑝) 𝑦= 𝑓 2 (𝑝) Éliminer le paramètre 𝑥=𝑉0. cos 𝜃 .𝑡 𝑦=ℎ0+𝑉0 sin 𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 𝑡= 𝑥 𝑉0. cos 𝜃 𝑦=ℎ0+𝑉0 sin 𝜃. 𝑥 𝑉0. cos 𝜃 −𝑔 𝑥 𝑉0. cos 𝜃 2 2 𝑦=ℎ0+ tan 𝜃.𝑥− 𝑔 2 𝑉0. cos 𝜃 2 𝑥 2 Parabole E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

2e possibilité 𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 Paramètre 𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 Paramètre (au sens de la famille paramétrique) Paramètre (au sens de l’équation paramétrique)

𝑥= 𝑉 0. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑡 𝑦= 𝑉 0. 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑡−𝑔 𝑡 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝜃 =− 𝑉 0 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝜃 =− 𝑉 0 𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 = 𝑉 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜃 = 𝑉 0 𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 = 𝑉 0 𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑔𝑡

𝐽= 𝜕𝑥 𝜕𝑡. 𝜕𝑦 𝜕𝜃 − 𝜕𝑦 𝜕𝑡. 𝜕𝑥 𝜕𝜃 = 𝑉 0 𝑡 𝑉 0 −𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑔 𝐽= 𝜕𝑥 𝜕𝑡 . 𝜕𝑦 𝜕𝜃 − 𝜕𝑦 𝜕𝑡 . 𝜕𝑥 𝜕𝜃 = 𝑉 0 𝑡 𝑉 0 −𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑔.𝑡 =0 𝑡=0 𝑜𝑢 𝑡= 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑔 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 2 2

𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑔 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 2 2 𝑥= 𝑉 0 ² 𝑔.𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 ² 𝑔 1− 1 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 1− 1 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃−1 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃− 𝑐𝑜𝑠²𝜃+𝑠𝑖𝑛²𝜃 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 1 2 1− 1 𝑡𝑎𝑛²𝜃

𝑦= 𝑉 0² 2𝑔 1− 𝑔 2 𝑉 0 4 𝑥²  parabole 𝑍𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é:𝑦=0 𝑥= 𝑉 0 ² 𝑔.𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 ² 2𝑔 1− 1 𝑡𝑎𝑛²𝜃 𝑦= 𝑉 0² 2𝑔 1− 𝑔 2 𝑉 0 4 𝑥²  parabole 𝑍𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é:𝑦=0 𝑥= 𝑉 0 ² 𝑔 = 400 9,81 =40,774 𝑚