Le modèle de Black & Litterman Equilibre et croyances

Les motivations du modèle de Black- Litterman  La performance limitée des exercices d’optimisation.  In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black: o “Our asset allocation optimizer is extremely sensitive to its inputs. What can we do?”

Black & Litterman (1992) Black and Litterman (1992) “Global Portfolio Optimization” use the same formula to combine a prior, “Equilibrium” with an investor’s “Views”

Le modèle de B&L L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions, Notamment pour gérer les erreurs d’estimation

B & L : un a priori L’ « information » additionnelle de Black & Litterman : l’a priori que l’économie doit graviter autour du CAPM, Donc les rendements des titres doivent être liées à ceux du CAPM

B&L Comment calculer les rendemnts du CAPM? Quelles views?

Les rendements du CAPM Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp

Deux approches pour déterminer le rendement implicite  le CAPM  le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta  l’optimisation inverse (Sharpe (1974))

L’optimisation inverse Les conditions marginales (avec actif sans risque) Où est le portefeuille de marché

L’optimisation inverse (suite) Le coefficient d’aversion au risque

Le portefeuille de marché

Mixer diverses informations Les fondements statistiques

Les fondations statistiques La réponse statistique :  Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information :  La théorie économique Pour Fischer Black, le CAPM décrivait l’état autour duquel devait graviter l’économie réelle.

Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information (suite) :  Des opinions informées (views) Sur les niveaux des rendements Sur les différences des rendements.

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques Pour le système :

Les fondations statistiques Pour le système :

Les fondations statistiques Pour le système :

Le modèle de B & L

Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information :  La théorie économique Pour Fischer Black, le CAPM décrivait l’état autour duquel devait graviter l’économie réelle.

B & L : un a priori L’ « information » additionnelle de Black & Litterman : l’a priori que l’économie doit graviter autour du CAPM, Donc les rendements des titres doivent être liées à ceux du CAPM

B & L : un outil L’estimation mixte  Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

La formule de B&L La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé au rendement d’équilibre P la matrice des opinions (KxJ) définissant les actifs impliqués dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans les opinions Q le vecteur des opinions (Kx1)

La formule de B&L

Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information (suite) :  Des opinions informées (views) Sur les niveaux des rendements Sur les différences des rendements.

Le mécanisme de B&L Évaluation des « rendements du marché » par l’optimisation inverse Prise en compte des opinions :  opinion absolue : « l’actif A aura un rendement de x% »  opinion relative : « l’actif A sur- performera l’actif B par x points de % »

Le mécanisme de B&L La nature des opinions  Des intuitions d’investisseurs  Des données empiriques (valeurs des rendements moyens récents)  Des prévisions économétriques des rendements

Exemples de views Un univers de 3 titres 1, 2, 3 2 opinions d’analystes financiers :  Le rendement moyen du titre 1 est de 5%  Celui du titre 3 de -2% Comment entrer ces opinions dans un modèle économétrique?

Exemples de views

Exemples de views

Exemples de views Dont la matrice P décrit les portefeuilles associées aux views  Si l’on a N views et J titres alors P sera une matrice (N,J)  Dans l’exemple, P sera alors

Exemples de views L’équation sera donc :

Exemples de views Un exemple de views relatives 2 opinions d’analystes financiers :  Le rendement moyen du titre 2 dépassera celui du titre 3 de 2%  Le rendement des valeurs bancaires (par exemple le titre 1) sera inférieur de 2% à celui des valeurs technologiques (les titres 2 et 3 dans notre univers).

Exemples de views

Exemples de views L’équation sera donc :

Black & Litterman (1992) Black and Litterman (1992) “Global Portfolio Optimization” use the same formula to combine a prior, “Equilibrium” with an investor’s “Views”

Quelles views ? Par exemple : les rendements historiques (bruités)  La contribution de B & L :  « ancrer » les données observées à la théorie pour filtrer le bruit.

Un autre exemple (Idzorek)

Un exemple 3 opinions :  Intern’ Developped Equity va avoir un rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%)  Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%)  US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)

Mise en oeuvre

La matrice de covariance des erreurs des opinions

La matrice de « participation » Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)

Idzorek

et ? La solution de He & Litterman (1999) Numériquement :

Variances des « individual portfolio view »

Un exemple de mise en oeuvre A partir d’un échantillon initial Resampling des données pour créer des échantillons artificiels Et comparaison des résultats obtenus en appliquant Markowitz, Black & Litterman, ou en sélectionnant le portefeuille equipondéré.

nompériodicitédébutfinobserv. capitalisati on US LARGE CAP VALUEmensuelledéc-92sept ,74% US MID CAP VALUEmensuelledéc-92sept ,02% US SMALL CAP VALUEmensuelledéc-92sept ,61% US LARGE CAP GROWTHmensuelledéc-92sept ,01% US MID CAP GROWTHmensuelledéc-92sept ,61% US SMALL CAP GROWTHmensuelledéc-92sept ,85% EM ASIAmensuelledéc-92sept ,19% EM EUROPEmensuelledéc-92sept ,61% EM LATIN AMERICAmensuelledéc-92sept ,12% EMUmensuelledéc-92sept ,25% JAPANmensuelledéc-92sept ,62% UNITED KINGDOMmensuelledéc-92sept ,36%

Markowitz Eu ratio de SharpeErvolatilitéVAR 5%TE equipondéré5,47%0,5611,51%15,55%-14,06%2,53% marché5,76%0,5610,29%13,47%-11,86%2,43% optimal9,78%0,8614,30%13,45%-7,83% moyenne3,10%0,5512,23%18,40%-18,03%3,58% écart-type5,28%0,202,80%5,18%8,37%1,84% 5,00%-6,84%0,176,67%12,75%-32,53%0,47% 25,00%-1,22%0,4211,26%13,61%-25,17%1,98% 50,00%4,65%0,5712,73%17,23%-16,16%3,61% 75,00%7,60%0,7014,21%22,10%-10,38%4,96% 95,00%9,65%0,8516,25%29,50%-7,90%6,65%

Back & Litterman Eu ratio de SharpeErvolatilitéVAR 5% equipondéré5,47%0,5611,51%15,55%-14,06% marché5,76%0,5610,29%13,47%-11,86% optimal9,78%0,8614,30%13,45%-7,83% moyenne7,30%0,6711,59%13,10%-9,96% écart-type0,25%0,020,22%0,28%0,45% 5,00%6,95%0,6511,16%12,58%-10,48% 25,00%7,22%0,6711,54%13,01%-10,17% 50,00%7,30%0,6711,64%13,16%-10,02% 75,00%7,40%0,6811,70%13,26%-9,80% 95,00%7,60%0,7011,80%13,39%-9,23%

Au-delà du problème d’erreurs d’estimation, La richesse de B & L : sa capacité à intéger n’importe quel type de views.

Les fondements de B&L La statistique bayésienne  A priori sur les paramètres + vraissemblances  C. Robert La décision bayésienne Les modèles bayésiens de choix de portefeuille  Scherer & McDouglas