Résolutions et réponses Epreuve n°3 – CM2 RALLYE MATH 92 2ème Édition 2015-2016

Chères et chers élèves, Voici les réponses à l’épreuve 3. Pour vous prouver les résultats des énigmes, nous vous proposons à chaque fois une démarche avec des explications. Mais nous vous rappelons que ce ne sont que nos propositions et qu’il y avait bien souvent la possibilité de procéder autrement… Il est donc évident que dans chaque classe, des méthodes différentes ont été utilisées pour trouver les réponses.

Enigme 1 : SOMME AU SOMMET 20 points Trouvez et écrivez les nombres qu’il faut placer sur chacun des sommets. Les nombres écrits sur chaque face sont tous différents et sont compris entre 1 et 9. Les nombres placés sur un sommet du cube s’obtiennent en faisant la somme des trois faces se trouvant autour de ce sommet. Ainsi le 15 s’obtient en calculant : 8 + 4 + 3 Aide : Commencez par chercher les chiffres sur les faces non visibles.

la seule possibilité est donc 3 + 2 + 7 Et la réponse est … Première chose à trouver : les 3 chiffres des faces non visibles du cubes. Puisque 3,4 et 8 sont déjà sur des faces et que chaque chiffre ne peut être utilisé qu’une fois, ces 3 chiffres sont parmi 1, 2, 5, 6, 7 ou 9. Je cherche donc à obtenir 12 avec le 3. la seule possibilité est donc 3 + 2 + 7 Je cherche ensuite à obtenir 15 avec le 4. => 4 + 2 + 9 = 15 est une possibilité. => 4 + 5 + 6 = 15 est l’autre possibilité. 12 et 15 ont une face commune (celle du dessous du cube) : ils ont donc un chiffre en commun : il s’agit du 2. On a donc :

Et la réponse est … Je n’ai plus qu’à faire la somme des faces afin de trouver les nombres manquants, ce qui donne :

Enigme 2 : LE PETIT POUCET - 10 points Trouvez trois manières de répartir les 31 quignons de pain dans les assiettes en indiquant le nombre de quignons dans chacune d’elles. La marâtre prépare le repas du Petit Poucet et de ses six frères. Elle distribue 31 quignons de pain dur dans les 7 assiettes. Elle veut faire des parts toutes inégales, étant bien entendu qu’elle met au moins un quignon de pain dur dans chaque assiette.

Voici une démarche possible … Je commence par faire des essais en mettant un nombre de quignons dans une assiette et en répartissant les autres. Je dois faire attention à ce que les assiettes contiennent toutes un nombre différent de quignons de pain et en respectant le nombre de quignons (31). Aucune assiette ne peut être vide. Si je mets 11 quignons dans une assiette, il m’en reste 31-11 = 20 quignons à répartir dans 6 assiettes. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 quignons dans les 6 autres assiettes. => 11 + 21 = 32 ce n’est pas possible, il y a un quignon en trop. 11 1 2 3 4 5 6

Essai suivant : je mets 10 quignons. Une solution de trouvée. Maintenant je vais conserver les mêmes quantités dans certaines assiettes et en enlever d’une pour en mettre dans une autre. 10 1 2 3 4 5 6 10-1 = 9 1 2 3 4 5 6+1 = 7 9-1= 8 1 2 3 4 5+1= 6 7

Et voici les réponses… Il fallait faire attention à ce que les assiettes contiennent toutes un nombre de quignons de pain différent et respecter le nombre de quignons. Solution n° 1 Solution n° 2 Solution n° 3

Enigme 3 MANGEURS DE POULES - 15 points Combien de poules la famille de renards a-t-elle mangées le premier jour ? Chaque jour, une famille de renards mange 3 poules de plus que le jour précédent. Elle mange 55 poules en 5 jours.

Et la réponse est … Je fais des essais : Si le jour 5, la famille mange 20 poules, alors : Le jour 4 elle en mange 20 – 3 = 17 poules Le jour 3 elle en mange 17 – 3 = 14 poules Le jour 2 elle en mange 14- 3 = 11 poules Le jour 1 elle en mange 11 – 3 = 8 poules. Je vérifie en additionnant le nombre de poules mangées en 5 jours : 20 + 17 + 14 + 11 + 8 = 70 c’est trop, je réduis le nombre de poules mangées le jour 5. Si le jour 5, la famille mange 17 poules, alors : Le jour 4 elle en mange 17 – 3 = 14 poules Le jour 3 elle en mange 14- 3 = 11 poules Le jour 2 elle en mange 11 – 3 = 8 poules. Le jour 1 elle en mange 8 – 3 = 5 poules. 17 + 14 + 11 + 8 + 5 = 55 c’est juste ! Donc, le premier jour, la famille de renards a mangée 5 poules.

Enigme 4 SYMBOLES - 10 points Dans chaque case de la grille doit figurer un des symboles suivants : Chacun de ces symboles représente un nombre entier différent. Complétez la grille pour que la somme des quatre nombres de chacune des lignes ou colonnes de la grille soit le nombre indiqué par la flèche.

Et la réponse est … Je cherche en premier la valeur de chaque symbole qui représente chacun un nombre entier différent.

Et la réponse est … Je complète ainsi le tableau :

Enigme 5 ROULETABILLE - 15 points Combien de billes possède Jamel ? Combien de billes possède Eric ? 2 enfants, Eric et Jamel, comptent leurs billes de la même manière. S’ils les comptent par 2, il en reste une. S’ils les comptent par 3, il n’en reste pas. S’ils les comptent par 5, il en reste 2. Chacun a moins de 70 billes et Jamel en a plus qu’Eric.

Et la réponse est … Je sais que les 2 nombres que je cherche, sont des multiples de 5 plus 2, soit : J’observe bien et je constate que les nombres que je cherche, ont donc 2 ou 7 comme chiffre des unités. Je sais que ces nombres sont aussi des multiples de 3, soit : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69. J’élimine les nombres multiples de 3 et multiples de 5 (plus 2) qui ne sont pas communs :  J’élimine les nombres multiples de 3 qui n’ont pas 2 ou 7 comme chiffre des unités : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69. OU Dans les 2 cas, et c’est normal, il me reste comme nombres possibles : 12, 27, 42 et 57.

Et la réponse est … Je sais que les nombres que je cherche sont aussi des multiples de 2 plus 1. Or : 12 n’est pas un multiple de 2 +1 (il est multiple de 2 tout court !) 27 est un multiple de 2 + 1 => 26 + 1 = 27 42 n’est pas un multiple de 2 + 1 (il est multiple de 2 tout court !) 57 est un multiple de 2 + 1 => 56 + 1 = 57   Donc les 2 nombres que je cherche sont 27 et 57. Comme je sais que Jamel a plus de billes qu’Eric, alors Jamel a 57 billes et Eric en a 27.

Enigme 6 LA PISCINE 30 points Pour remplir la piscine de son enfant, Madame Maillot a besoin de 70 litres d’eau. Le robinet se trouve à 50 mètres de la piscine. Elle utilise un arrosoir de 9 litres. Malheureusement, tous les 10 mètres, elle perd 0,5 litre car son arrosoir est percé. Combien de fois au minimum faudra t-il qu’elle remplisse son arrosoir pour remplir la piscine ?

Il n’y a personne qui pourrait lui dire de s’acheter un tuyau ou un nouvel arrosoir à cette pauvre dame !!!

Et la réponse est … Tous les 10 mètres, elle perd 0,5 litre et elle parcourt 50 mètres à chaque fois. 50 c’est 5 × 10 donc au bout de 50 mètres, elle aura perdu : 5 × 0,5 = 2,5 litres A chaque fois qu’elle arrive à la piscine pour y verser son eau, il lui reste donc 9 – 2,5 = 6,5 litres dans son arrosoir. Au bout de 10 trajets elle aura versé 10 x 6, 5 = 65 litres, ce qui n’est pas assez car il manque 5 litres pour remplir la piscine. Elle devra donc faire encore un trajet ce qui fait qu’elle devra remplir 11 fois son arrosoir (et il restera 9 – 5 – 2,5 = 1,5 litre dans son arrosoir.)

Prochaine épreuve : épreuve 4 La prochaine épreuve se déroulera du lundi 14 mars au vendredi 18 mars 2016 durant la Semaine des mathématiques.